Unidade teórica 7 . ACTIVOS FINANCEIROS COMPLEXOS: OPÇÕES E CONTRATOS A PRAZO Inclui notas de curso retirados da internet Carlos Arriaga Costa 2005/06 Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Questões desta unidade . O que diferencia um activo financeiro simples de um activo complexo? . O que é uma opção? Call e put? . Qual a relação de paridade put-call? . Como se avalia uma opção? . O que é um activo financeiro sintético? Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

conceitos A. Definição: Direito de comprar ou vender um título específico a um preço determinado (preço de exercício) na data ou antes de acordo com o valor de mercado do título subjacente na data em que a opção é exercida. B. Call: Direito de comprar um título. C. Put: Direito de vender um título. Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Terminologia Comprar - Longo Vender - Curto Call Put Elementos chave Preço de exercício Prémio ou preço da opção Maturidade ou data de expiração Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Preço de mercado e Preço de exercício Quando o exercício da opção tem ganho Call: preço de mercado > preço do exercício Put: preço do exercício > preço de mercado Quando o exercício da opção tem perda Call: preço de mercado < preço do exercício Put: preço do exercício < preço de mercado Sem ganhos ou perdas – preço de exercício igual ao preço do activo subjacente. Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Relação entre a acção e a opção Empresa O mercados de títulos (subjacentes) e de opções não se encontram relacionados excepto no preço do título no mercadod e títulos e no de exercício no mercado de opções. Mercado Títulos Mercado de opções Investidor em opções Investidor Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Opção americana e opção europeia Op Americana: A opção pode ser exercida em qualquer altura antes da data de expiração. Op Europeia: A opção pode ser somente exercida na data de expiração. Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Diferentes tipos de opções Stock Options Index Options Futures Options Foreign Currency Options Interest Rate Options Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Recebimentos (payoffs) de call(s) na data de expiração Notação Stock Price = ST Exercise Price = X Payoff to Call Holder (ST - X) if ST >X 0 if ST < X Lucro do possuidor de um Call Pagamento – Preço de compra Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Recebimentos (payoffs) de um vendedor de um call na data de expiração Payoff to Call Writer - (ST - X) if ST >X 0 if ST < X Profit to Call Writer Payoff + Premium Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Lucro de call Lucro Preço da acção Vendedor de call Comprador de Call Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Recebimentos (payoffs) de compradores de PUT na data de expiração Payoffs de um comprador de Put 0 if ST > X (X - ST) if ST < X Lucro de um comprador de Put Payoff - Premium Remind the students that if we increase the amount of debt in a restructuring, we are decreasing the amount of outstanding shares. Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Recebimentos (payoffs) de um vendedor de Put na data de expiração 0 if ST > X -(X - ST) if ST < X Lucro de um vendedor de um Put Payoff + Premium Click on the Excel icon to go to a spreadsheet that contains all of the information for the example presented in the book. Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Lucros de um Put Lucro Vendedor de put Comprador de put Preço da acção Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Relação de paridade Put-Call . ST < X ST > X Payoff de Comprador de Call 0 ST - X Vendedor call -( X -ST) 0 Payoff total ST - X ST - X Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Payoff de Long Call e Short Put Combinação = Leveraged Equity Click on the Excel icon to see the graph of the break-even analysis Preço acção Short Put Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Arbitragem de uma paridade Put-Call Desde que o recebimento de uma combinação de um long call e de um short put são equivalentes , os preço devem ser C - P = S0 - X / (1 + rf)T Se os preços não forem iguais haverá possibilidade de arbitragem. The choice of capital structure is irrelevant if the investor can duplicate the cash flows on their own. Note that all of the positions require an investment of $2000. We are still ignoring taxes and transaction costs. If we factor in these market imperfections, then homemade leverage will not work quite as easily, but the general idea is the same. Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Paridade Put-Call – em desequilíbrio Exemplo Stock Price = 110 Call Price = 17 Put Price = 5 Risk Free = 10.25% Maturity = .5 yr X = 105 C - P > S0 - X / (1 + rf)T 17- 5 > 110 - (105/1.05) 12 > 10 Como o ponto de equilíbrio (leveraged equity) tem um custo menor, adquire-se a de menor custo e vende-se a alternativa de maior custo. Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Arbitragem na paridade Put-Call Cashflow em seis meses Posição Cashflow ST<105 ST> 105 Comprar Stock -110 ST ST Emprestimo X/(1+r)T = 100 +100 -105 -105 Vender Call +17 0 -(ST-105) Comprar Put -5 105-ST 0 Total 2 0 0 Remind students that if the firm is financed with 45% debt, then it is financed with 55% equity. At this point, you may need to remind them that one way to compute the D/E ratio is %debt / (1-%debt) The second question is used to reinforce that RA does not change when the capital structure changes Many students will not immediately see how to get the % of equity from the D/E ratio. Remind them that D+E = V. We are looking at ratios, so the actual $ amount of D and E is not important. All that matters is the relationship between them. So, let E = 1. Then D/1 = 1.5; Solve for D; D = 1.5. Then V = 1 + 1.5 = 2.5 and the percent equity is 1 / 2.5 = 40%. They often don’t understand that the choice of E = 1 is for simplicity. If they are confused about the process, then show them that it doesn’t matter what you set E equal to, as long as you keep the relationships in tact. So, let E = 5; then D/5 = 1.5 and D = 5(1.5) = 7.5; V = 5 + 7.5 = 12.5 and E/V = 5 / 12.5 = 40%. Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Estratégias de opções Put de protecção Long Stock Long Put Call coberto Short Call Straddle- estrela (mesmo preço exercício) Long Call Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Estratégias com opções Spreads – Uma combinação de duas ou mais opções de call ou de put sobre o mesmo activo subjacente com diferentes preços de exercício ou datas de expiração. Vertical (money spread) Mesma maturidade preços de exercício diferentes Horizontal ( time spread) Datas de maturidade diferentes Intuitively, an increase in financial leverage should increase systematic risk since changes in interest rates are a systematic risk factor and will have more impact the higher the financial leverage. The assumption that debt is riskless is for simplicity and to illustrate that even if debt is default risk-free, it still increases the variability of cash flows to the stockholders and thus the systematic risk. Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Valor de uma opção Valor intrínseco = Lucro que pode ser obtido se a opção for exercida de imediato. - Call: preço da acção – preço de exercício Put: preço de exercício – preço da acção Valor no tempo = Diferença entre o preço da opção e o valor intrínseco. Point out once again that this result assumes that the debt is risk-free. The effect of leverage on financial risk will be even greater if the debt is not default free. Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Time Value de Opções: Call Valor opção Valor call Point out that the government effectively pays part of our interest expense for us; it is subsidizing a portion of the interest payment. Valor tempo X Stock Price Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Determinantes do valor de uma opção: Calls Factores Consequencia sobre o valor Preço da acção Aumenta Peço exercício Diminui Volatilidade do preço da acção Aumenta Time to expiration Aumenta Taxa de juro Aumenta Dividend Rate Diminui The levered firm has 6250 in 8% debt, so the interest expense = .08(6250) = 500 CFFA = EBIT – taxes (depreciation expense is the same in either case, so it will not affect CFFA on an incremental basis) Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Preço de uma opção: modelo Binomial 75 200 100 C 50 Point out that the increase in cash flow in the example is exactly equal to the interest tax shield The assumption of perpetual debt makes the equations easier to work with, but it is useful to ask the students what would happen if we did not assume perpetual debt. Preço da acção Preço exercicio da Call X = 125 Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Preço de uma opção: modelo Binomial 150 Portfolio Alternativo Comprar 1 acção a $100 cada Pedir Emprestado $46.30 (8% Rate) Valor liquido $53.70 Payoff Valor acção 50 200 Reemb.emprest - 50 -50 Net Payoff 0 150 Estrutura do Payoff é exactamente 2 vezes a the Call Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Preço de uma opção: modelo Binomial 150 75 C 53.70 RU is the cost of capital for an unlevered firm = RA for an unlevered firm VU is jus the PV of the expected future cash flow from assets for an unlevered firm. 2C = $53.70 C = $26.85 Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Outra maneira de replicar os Payoffs e o valor das opções Porfolio alternativo – um acção e duas vendas de call (X = 125) O Portfolio é perfeitamente coberto Stock Value 50 200 Obrigação Call 0 -150 payoff líquido 50 50 Aqui 100 - 2C = 46.30 ou C = 26.85 Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Valor d euma opção segundo Black-Scholes Co = Soe-dTN(d1) - Xe-rTN(d2) d1 = [ln(So/X) + (r – d + s2/2)T] / (s T1/2) d2 = d1 - (s T1/2) Onde Co = valor corrente de uma call. So = preço corrente de uma acção N(d) = probabilidade que um valor aleatório com distribuição normal seja inferior a d. Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Valor de uma opção segundo Black-Scholes X = Preço exercício. = Rendimento anual do dividendo do activo subjacente e = 2.71828, base do logaritmo natural. r = Taxa de juro sem risco (anualiza continuamente e de forma composta com a mesma maturidade da opção). T = Duração até a maturidade da opção em anos. ln = Função log natural s = DEsvio padrão da taxa de retorno (composta) da acção Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Exemplo da opção Call utilizando Black-Sholes So = 100 X = 95 r = .10 T = .25 (quarter) s = .50 d = 0 d1 = [ln(100/95)+(.10-0+(.5 2/2))]/(.5 .251/2) = .43 d2 = .43 - ((.5)( .251/2) = .18 Remind students that a D/E ratio = 1 implies 50% equity and 50% debt. The amount of leverage in the firm increased, the cost of equity increased, but the overall cost of capital decreased. Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Probabilidade tendo em conta a distribuição normal d N(d) .42 .6628 .43 .6664 Interpolation .44 .6700 Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Probabilidade tendo em conta a distribuição normal d N(d) .16 .5636 .18 .5714 .20 .5793 Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Valor de uma opção call Co = Soe-dTN(d1) - Xe-rTN(d2) Co = 100 X .6664 - 95 e- .10 X .25 X .5714 Co = 13.70 Volatilidade implícita Utiliando Black-Scholes e o preço actual da opção, resolver em ordem a volatilidade. A volatilidade implícita é consistente com a acção? Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Valor da opção Put : Black-Scholes P=Xe-rT [1-N(d2)] - S0e-dT [1-N(d1)] Usando os mesmos dados do exercicio anterior P = $95e(-.10X.25)(1-.5714) - $100 (1-.6664) P = $6.35 Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Avaliação da opção Put : Utilizando a paridade Put-Call P = C + PV (X) - So = C + Xe-rT - So Utlizando os mesmos dados: C = 13.70 X = 95 S = 100 r = .10 T = .25 P = 13.70 + 95 e -.10 X .25 - 100 P = 6.35 Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira

Utlizando a formula de Black-Scholes Cobertura: racio de cobertura ou delta O número de acções requeridos para cobrir o risco de uma opção Call = N (d1) Put = N (d1) – 1 Elasticidade da Opção Mudança em percentagem do valor de uma opção dado uma mudança de 1% do valor da acção subjacente. Carlos Arriaga CostaUMinho Ec Financeira