Simetrias do Plano e Grupos de Friso

1. Isometrias no Plano

ransformação identidade é a rotação (de centro ) A rotação inversa T - 1 ® é a rotação de centro O e amplitude a . A t ransformação identidade é a rotação (de centro ) em que =0º (ou um múltiplo de 360º).

r + v 1.5. Algumas propriedades das isometrias 1.5.1.Composta de duas translações B'' C'' C' B' C B A A' A'' 2 1 v r + Figura 7. A translação T , de vector , transforma ABC D em ¢ . é a composta da translação (que transforma ), com a translação (que ).

1.5.2.Composta de duas rotações com o mesmo centro A composta de duas rotações R 1 ( O ; a ) e 2 b ) é rotação + ). Prova: Omitida (ver trabalho escrito) . € Figura 8 A rotação ) transforma ABC D em C B A ¢ e a . A rotação ) é a composta da com , transformando B'' A'' C'' C' B' A'

1.5.2.Composta de duas reflexões B'' C' A' B' A B C d 1 Figura 9 a. A composta de duas reflexões de eixos paralelos é uma translação. A reflexão R , de eixo 1, transforma ABC D em ¢ e a reflexão , . A translação T , de vector é a composta da com , transformando .

Figura 9 b. C'' A'' B'' C' A' B' A composta de duas reflexões de eixos concorrentes é uma rotação. A reflexão R 1 , de eixo e transform a ABC D em C B A ¢ e a reflexão 2 , transforma . A rotação ( O ; 2 ) é a composta da com , transformando . C'' A'' B'' C' A' B'

2. Simetrias do Plano

Exemplos de figuras simétricas A reflexão de eixo deixa a figura 1 invariante. A figura tem uma simetria de reflexão.

3. Frisos e grupos de friso

ó Figura 3a Figura 1 Figura 3b Figura 2 da figura 1. . Motivo do padrão da figura 2. Figura 2 v r Figura 1 ó Figura 3a da figura 1.

Crowe para classificação de frisos Fluxograma de Washburn - Crowe para classificação de frisos n ão Existe uma reflexão de eixo vertical? não sim Existe uma reflexão de eixo horizontal? Existe uma reflexão de eixo horizontal ou uma reflexão deslizante? meia volta? pmm 2 pma pm 11 p 1 m a 112 111 (fig. 11) (fig. 10) (fig. 9) (fig. 8) (fig. 7) (fi g. 6) (fig. 5)

FIM (da 1ª parte)

4. Padrões Periódicos ou Papeis de Parede

Definição Padrões periódicos ou papeis de parede são figuras planas caracterizadas por terem uma região fundamental (motivo) e duas translações linearmente independentes

17 Grupos de Simetria dos Padrões Periódicos

Grupos Sem Rotações

Grupo p1 Apenas estão presentes translações; É um grupo de translações.

Grupo pm Além das duas translações presentes que formam um subgrupo de qualquer papel de parede, estão presentes reflexões.

Grupo pg Além do subgrupo das translações estão presentes também as reflexões deslizantes.

Grupo cm Grupo onde estão presentes as reflexões. Reflexões deslizantes onde o eixo não é das reflexões.

Grupos Com Rotações de Grau 2 - 180 Graus

Grupo p2 Rotações de 180 graus e translações.

Grupo pgg Rotações de 180 graus; Não há reflexões; Há reflexões deslizantes.

Grupo pmg Para além das translações e rotações de 180 graus, estão presente reflexões em uma só direcção.

Grupo pmm Rotações de 180 graus Reflexões em duas direcções. Os centros de rotação estão sobre os eixos de reflexão.

Grupo cmm Rotações de 180 graus onde os centros de rotação não estão sobre os eixos de reflexão. Reflexões em duas direcções.

Grupos Com Rotações de Grau 4 - 90 Graus

Grupo p4 Não tem reflexões nem reflexões deslizantes, apenas rotações de 90 e 180 graus.

Grupo p4m Rotações de 90 e 180 graus. Reflexões onde os eixos fazem um ângulo de 45 graus.

Grupo p4g Rotações de 90 e 180. Reflexões onde os eixos não fazem ângulo de 45 graus.

Grupos Com Rotações de Grau 3 - 120 Graus

Grupo p3 Apenas rotações de 120 graus.

Grupo p31m Rotações de 120 graus. Reflexões. Os centros de rotação não estão todos sobre os eixos de reflexão.

Grupo p3m1 Rotações de 120 graus. Reflexões. Os centros de rotação estão todos sobre os eixos de reflexão.

Grupos Com Rotações de Grau 6 - 60 Graus

Grupo p6 Rotações de 60, 120 e 180 graus.

Grupo p6m Acrescenta reflexões às simetrias do grupo anterior

Pavimentações Cada um dos motivos é isolado por uma figura geométrica. A reunião destas figuras geométricas gera uma rede, que cobre todo o plano.

Pavimentações Com as pavimentações pretende-se cobrir completamente o plano, através de um conjunto numerável de ladrilhos que não se sobrepõem e não deixam espaços em branco.

Conjuntos não conexos e cuja fronteira não é uma curva fechada ou que se cruza não são aceitáveis para construir uma pavimentação. Conjuntos não aceitáveis para ladrilhos de uma pavimentação Conjuntos aceitáveis para ladrilhos de uma pavimentação

Pavimentações Regulares São constituídas apenas por polígonos regulares do mesmo tipo Só é possível construir 3.

Lados Ângulo Interno Nº de Polígonos 3 60 6 4 90 5 108 3,333333333 120 7 128,5714286 2,8 8 135 2,666666667 9 140 2,571428571 10 144 2,5 11 147,2727273 2,444444444 12 150 2,4 13 152,3076923 2,363636364 14 154,2857143 2,333333333 15 156 2,307692308 16 157,5 2,285714286 17 158,8235294 2,266666667 18 160 2,25 19 161,0526316 2,235294118 20 162 2,222222222

Pavimentações Semi-Regulares ou Arquimedianas São as que não são formadas apenas por um polígono regular. Em torno de cada vértice pode encontrar-se triângulos equiláteros, hexágonos, quadrados e pentágonos regulares. Chama-se espécie de um vértice aos polígonos regulares que se intersectam nesse vértice. Chama-se tipo de vértice à ordem pela qual estão colocados os polígonos em torno do vértice.

17 espécies de vértices e 21 tipos É condição necessária para que uma pavimentação formada por polígonos regulares seja de um dos seguintes dos 21 tipos

17 espécies de vértices e 21 tipos

17 espécies de vértices e 21 tipos

Exemplos

FIM