Probabilidade Modelo matemático para incerteza Desenvolvimento relativamente recente Cardano (século XVI) Pascal (século XVII) Peter Bernstein, Against the Gods

Primeira Tentativa Espaço amostral (W): resultados possíveis para um experimento aleatório. Probabilidade: número não negativo atribuído a cada um destes resultados, de modo que a soma seja 1 (intuição: frequência a longo prazo)

Primeira Tentativa Adequado para o caso discreto = {w1, w2, ...} p1 +p2 + ... = 1 Para cada A  W , P(A) = wi  A P(wi)

Como atribuir probabilidades? Estatística: estimar através de frequência observada Explorar simetria: modelos equiprováveis W = {w1, w2, ..., wn } p1 = p2 = ... = pn = 1/n Moedas, bolas em urnas, cartas, dados, etc

Exemplo Uma moeda “honesta” é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de sair 2 caras? Espaço amostral: W = {0, 1, 2, 3} (número de caras) Probabilidade de sair 2 caras = P({2}) = ¼.

Exemplo Uma moeda “honesta” é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de sair 2 caras? Espaço amostral: W = {0, 1, 2, 3} (número de caras) Probabilidade de sair 2 caras = P({2}) = ¼.

Exemplo Uma moeda “honesta” é lançada 3 vezes. Qual é a probabilidade de sair 2 caras? Espaço amostral: W = {ccc, cck, ckc, kcc, ckk, kck, kkc, kkk} Probabilidade de sair 2 caras = P({cck, ckc, kcc}) = 3/8.

Observação É óbvio que kkk e ckc têm a mesma chance de ocorrer? E kkkkkkkkkk e ckkckckckk? Mega-sena: 1-2-3-4-5-6 e 7-16-24-28-41-52? Nassim Taleb, Fooled by Randomness

Caso contínuo Roleta “real”, com números de 0 a 360. Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a 316,43? Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a maior que 300?

Caso contínuo Roleta “real”, com números de 0 a 360. Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a 316,43? zero Qual é a probabilidade de tirar resultado igual a maior que 300? 1/6

Caso contínuo Probabilidade de eventos não pode ser calculada simplesmente somando as probabilidades associadas a pontos de W. Necessidade de atribuir probabilidades diretamente aos subconjuntos de W. Mas não a todos os subconjuntos (Teoria da Medida)

Modelo Probabilístico Revisado Espaço amostral (W): conjunto de resultados possíveis para um experimento aleatório. s-álgebra de eventos (A): subconjuntos de W aos quais se atribui probabilidade. W  A, A  A  Ac  A , Ai  A   Ai  A Probabilidade (P): função definida em A P(A)  0, P(W) =1, P( Ai ) = i P(Ai) (Ai disjuntos 2 a 2)

Consequências P(Ac) = 1 – P(A) P() = 0 An  A  P(An)  P(A)

Caso discreto A = todos os subconjuntos de W. Probabilidades pi atribuídas aos eventos unitários {wi} (como antes)

Caso contínuo W = R A = menor s-álgebra que contém todos os intervalos (s-álgebra de Borel) Probabilidades atribuídas aos intervalos (ou aos intervalos da forma (–, x]) (tipicamente através da integral de uma função de densidade) Por exemplo, no caso da roleta:

Probabilidade Condicional Probabilidade condicional do evento A na certeza do evento B Tudo se passa como se, na certeza de B, B fosse o novo espaço amostral.

Exemplo Um dado é lançado 2 vezes. Dado que a soma é 4, qual é a probabilidade condicional de ter saído 1 no primeiro lançamento? W = {(1,1), …, (6, 6)} A = [1 no 1o] = {(1, 1), …, (1, 6)} B = [soma 4] = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)} AB = {(1, 3)}

Observação De , resulta: P(AB) = P(B). P(A | B) = P(A) . P(B | A) A e B são independentes quando P(AB) = P(A). P(B)

Exemplo Em uma urna há 6 bolas brancas e 4 pretas. As bolas são retiradas sequencialmente, sem reposição.

Exemplo 1) Probabilidade de a 1a bola retirada ser branca?

Exemplo 2) Probabilidade de a 1a bola retirada ser branca e a 2a preta?

Exemplo 3) Probabilidade de a 2a bola retirada ser preta?

Exemplo 4) Probabilidade de a 1a bola retirada ter sido preta sabendo que a 2a foi branca?

Teoremas Probabilidade Total Bayes Sejam B1, B2, … disjuntos 2 a 2 tais que Bi = W Probabilidade Total Bayes

Exemplo Em uma população, 1% das pessoas têm uma certa doença. Um exame para esta doença tem probabilidade de falso-positivo igual a 2% e de falso negativo igual a 1%. Se uma pessoa escolhida ao acaso é examinada e o exame dá positivo, qual é a probabilidade de que ela tenha a doença?

Solução Dados: P(Doente) = 0.01 P(Positivo|Doente) = 0.99 P(Positivo|Doentec) = 0.02 Pede-se: P(Doente|Positivo)

Solução P 0,99 D 0,01 0,01 P 0,99 0,02 Dc 0,98

Solução P 0,99 D 0,01 0,01 P 0,99 0,02 Dc 0,98