UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” CAMPUS DE PRESIDENTE PRUDENTE Campus de Presidente Prudente Refinamentos Adaptativos Bidimensionais de Delaunay Aluno:Danillo Roberto Pereira Orientador: Marco Antônio Piteri Faculdade de Ciências e Tecnologia

Organização  Contextualizaçao/Enquadramento do Trabalho;  Arquitetura do Sistema;  Triangulação de Delaunay;  Refinamentos Adaptativos de Delaunay;  Exemplos de Malhas;  Considerações Finais.

ENQUADRAMENTO MEF pós- processador pré- processador Análise Adaptativa

4 Características do sistema Remexe-2D  Capaz de gerar malhas triangulares e quadrangulares;  Malhas adaptativas (Refinamentos Adaptativos);  Desenvolvido em ANSI C;  Interface Gráfica Tcl/Tk; Portabilidade  Arquitetura do Sistema sob a E.D.T. (winged-edge modificada);  Decomposição... em regiões convexas;  Domínio Público; Uso Didático; Geração de pontos e de Malhas;

Arquitetura: Modelo Bidimensional MODELO BIDIMENSIONAL geometria Modelo Hierárquico Topológico topologiaatributos MODELO TOPOLÓGICO MODELO GEOMÉTRICO componente conexa... curvas...

geo_shell geo_face geo_aresta geo_vértice geometria atr_face atr_loop atr_aresta atr_vértice atributos atr_shell ptr... Arquitetura: Modelo hierárquico topológico shell face aresta vértice ciclo topologia

Arquitetura: Winged-edge modificada pccw nccw pcw ncw face 1 ciclo 1 ciclo 2 face 2 v2v2 v1v1 e

Operadores de Euler msflv make shell, face, loop and vertex shell ciclo face v ksflv

e 1 v 2 v 1 e 1 v 2 v 1 e v mve Operadores de Euler make vertex and edge kve

mfle Operadores de Euler make face, loop and edge v i v j ciclo 1 face 1 v i v j ciclo 1 ciclo 2 face 1 face 2 kfle

mev Operadores de Euler make edge and vertex e ciclo 1 2 v v 1 v 1 kev

ciclo 2 ciclo 1 mekl Operadores de Euler e ciclo 1 make edge and kill loop keml

Arquitetura: Remexe-2D INTERFACE BASE DE DADOS winged-edge modificada ANÁLISE ADAPTATIVA PÓS-PROCESSADOR OPERADORES DE EULER PRÉ-PROCESSADOR ADAPTATIVO FUNÇÕES análise numérica gráficas operadores de alto nível atualização FUNÇÕES consulta busca...

Triangulação de Delaunay  Propriedades:  Todos triângulos possuem a circunferência que o circunscreve vazia;  Possui unicidade; exceto em casos degenerados onde 4 ou mais pontos são co-circulares;  Garante a maximização do menor ângulo da triangulação;

Triangulação de Delaunay

Algoritmo de Lawson

Malhas de Delaunay

Refinamentos... Análise Pós-processamento Qualidade Satisfeita? PARE SIM Pré-processamento NÃO

Refinamentos Adaptativos Geração Inicial de Malha Condições de Fronteira, Carregamentos, etc PRÉ-PROCESSADOR ADAPTATIVO ANÁLISE ADAPTATIVA PARE SIM UTILIZADOR INTERFACE NÃO ERRO < Tolerância ? ( para todo elemento ) Análise Cálculo do Estimador de ERRO e dos Indicadores de Refinamento Geração da Malha Adaptativa

Refinamentos Adaptativos de Delaunay: Motivação  Surgiu a partir da constatação de que a posição e o tamanho dos elementos influencia a qualidade da solução obtida pelo MEF;  Reconhecendo primeiramente que é necessário concentrar elementos em determinadas regiões do domínio que não atendem os requisito de precisão inicialmente proposto.  Um dos grandes paradigmas de refinamentos adaptativos encontra-se na obtenção de de uma malha ótima no sentido de se obter uma solução com um número de elementos mínimos para satisfazer o erro inicialmente pré- estabelecido.

Refinamentos Adaptativos de Delaunay: Chew antes depois  O Critério de Chew insere um novo vértice no circuncentro de todo elemento que possui o raio do circuncírculo maior que o tamanho da menor aresta.

Exemplo de malha refinada pelo critério de Chew

Refinamentos Adaptativos de Delaunay: Ruppert  Caso a inserção de um novo vértice resultar na invasão de algum segmento, tal inserção é cancelada e o segmento que seria invadido deve ser subdividido.

Exemplo de malha refinada pelo algoritmo de Ruppert

Problemas do princípio de Ruppert a b c d e f a b c e f d

Propostas de solução Idéia de Bern Idéia de Ruppert

Refinamentos Adaptativos de Delaunay: Shewchuk  Shewchuk criou um processo de decisão mais elaborado, onde algumas condições são verificadas para se garantir a subdivisão de um segmento invadido s, ou não. Essas condições encontram-se listadas abaixo.  Se nenhum dos vértices que definem s possuírem ângulos inferiores a 60º, ou se ambos possuírem, então s é subdividido;  Caso contrário, seja a o menor ângulo entre duas arestas consecutivas incidentes a um dos vértices que determinam s. Vamos referenciar esse vértice por v. Neste caso, devemos criar um cluster de segmentos que será composto por todos os segmentos incidentes a v e que se encontram separados de s ou de algum outro segmento do cluster por menos de 60º.

Refinamentos Adaptativos de Delaunay: Shewchuk  Após a definição do cluster de segmentos, o segmento invadido s será subdivido, se e somente se, pelo menos uma das seguintes situações for verdadeira:  Primeiramente devemos dividir todos os segmentos do cluster que possuírem tamanho superior a |s| com a inserção de um novo vértice em seu ponto médio. Se algum desses novos segmentos possuírem tamanho inferior a algum segmento incidente ao vértice que ocasionou a inserção de v, então s é subdivido;  Se algum segmento do cluster possuir tamanho que não seja potencia de 2 (com certa tolerância), então s deve ser subdivido.

Exemplo de malha refinada pelo algoritmo de Ruppert

Comparação das metodologias

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” CAMPUS DE PRESIDENTE PRUDENTE Campus de Presidente Prudente Refinamentos Adaptativos Bidimensionais de Delaunay Danillo Roberto Pereira Aluno do Curso de Ciência da Computação da Faculdade de Ciência e Tecnologia/UNESP