Algoritmos para Geração de Variáveis Aleatórias Distribuições Teóricas de Probabilidade

Geração de Variáveis Aleatórias Métodos e procedimentos computacionais para a geração de variáveis aleatórias com características específicas de alguma das diversas distribuições teóricas de probabilidades. A necessidade de tais variáveis: tempos entre chegadas; tempos de serviço; demandas por produtos, etc.

x expresso como uma função explícita de R.. Métodos de Geração Os métodos baseiam-se na prévia geração de um número aleatório R, uniformemente distribuído sobre o intervalo (0, 1). x expresso como uma função explícita de R.. Métodos básicos: Transformação Inversa; Transformação Direta; Convolução; Aceitação/Rejeição; Propriedades Especiais

Distribuição Geométrica Uma variável com distribuição geométrica representa o número de falhas observadas em uma seqüência de provas do tipo Bernoulli, sua função densidade é: p(x) = p(1 - p)x , x = 1, 2, ... Pelo método da transformação inversa, obtém-se a seguinte relação:

Distribuição Geométrica Para a obtenção de uma variável com distribuição geométrica, necessitamos do parâmetro (probabilidade de um sucesso) p. Obtido tal elemento, os seguintes passos devem ser considerados: Gerar R; Calcular x = A função (arredondamento para o maior inteiro) atribui a x o maior inteiro que satisfaz a relação anterior.

Exemplo Gerar três valores de uma distribuição geométrica com p = 1/2. Usando uma tabela de valores aleatórios, obtemos R1 = 0,932; R2 = 0,105 e R3 = 0,687. Primeiramente calculamos o valor da constante 1/ln (1-p) = 1/ln (1-0,5) = -1,443. Na seqüência, obtemos os valores dos xi’s a partir dos Ri’s .

Exemplo

Distribuição de Poisson A distribuição de Poisson se caracteriza pela seguinte função densidade de probabilidade: a qual representa a probabilidade de ocorrência de x sucessos, num dado intervalo de tempo. Onde , é o valor esperado do número de ocorrências por unidade de tempo.

Distribuição de Poisson Geração de uma variável aleatória Poisson, considerando o método da Aceitação/Rejeição: Fazer n = 0, e P =1; Gerar um número aleatório Rn+1 e substituir P por P.Rn+1; Se, , aceitar X = n, caso contrário, rejeitar n atual, fazer n = n +1, e retornar aos procedimentos no passo 2. A idéia básica por traz do método da Aceitação/Rejeição, é gerar um número aleatório e testar uma determinada condição de “aceitação”. Caso esta condição seja satisfeita, o valor gerado é aceito, caso contrário os passos são repetidos.

Exemplo Gerar três números, segundo uma distribuição de Poisson, com = 0,2. Primeiramente, computamos o valor de . Na seqüência, obtemos um conjunto de números aleatórios e iniciamos os procedimentos estabelecidos nos passos de 1 a 3 anteriormente firmados

Exemplo

Distribuição Empírica Discreta Para gerar uma variável aleatória que tenha um comportamento semelhante ao determinado por distribuição empírica discreta conhecida, é necessário, inicialmente, determinarmos as freqüências relativas acumuladas da distribuição. Por exemplo: Uma vez que tais informações estejam disponíveis, aplicamos o método da transformação inversa que, neste caso, torna-se um processo de pesquisa em uma tabela de valores, num procedimento muito semelhante ao que realizamos no capítulo 1, quando tratamos do método de Monte Carlo.

Procedimentos Os procedimentos de busca são facilitados pela construção de uma tabela para a geração dos valores de x: Esquematizando os procedimentos: 1. Gerar R; 2. Descobrir i, tal que ri-1 < R ri; 3 Fazer X = xi. Por exemplo: para i=1, temos: F(x1-1)= F(x0)=0,50 logo temos r1-1=r0=0,50 F(x1)=0,80 logo temos r1=0,80 R1=0,73 como: r0 =0,50 < R1=0,73 < r1=0,80 para i=1, fazemos X1 = xi = x2 = 1

Exemplo Suponha uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidades: Dados R1= 0,43; R2=0,61 e R3=0,83; gerar três valores para a variável X, que pertençam a esta distribuição. R1= 0,43 < F(x=2) = 0,45; logo X=2; F(x=2) = 0,45 < R2= 0,61 F(x=3) = 0,80 ; logo X=3; F(x=3) = 0,80 < R3= 0,83 F(x=5) = 1,00 ; logo X=5;

Distribuição Uniforme Uma variável aleatória x tem distribuição uniforme sobre um intervalo [a, b], se sua função densidade de probabilidade (fdp) é dada por: A técnica mais utilizada para a obtenção de uma variável aleatória uniformemente distribuída é a da transformação inversa. A fórmula é a seguinte: Os parâmetros necessários para a obtenção de uma variável com distribuição uniforme são apenas os valores extremos do intervalo [a, b]. Uma vez definidos, os seguintes passos devem ser considerados: Gerar R; Calcular

Exemplo Gerar três valores de uma distribuição uniforme no intervalo [10, 50]. Usando os seguintes valores aleatórios R1 = 0,932; R2 = 0,105 e R3 = 0,687. Aplicando o método proposto teremos:

Distribuição Triangular Uma variável aleatória x tem uma distribuição triangular se sua fdp é dada por: onde . A moda b = 3 E (x) - (a + c). Pelo método da transformação inversa obtém-se a fórmula para gerar amostras com distribuição triangular. A variável x com esta distribuição é obtida por:

Exemplo Gerar três valores de uma distribuição triangular com parâmetros (0, 1, 2). Obtidos R1 = 0,544; R2 = 0,747 e R3 = 0,449.

Distribuição Exponencial Uma variável aleatória x tem uma distribuição exponencial se sua fdp é dada por: O parâmetro é interpretado como sendo o número médio de ocorrências por unidade de tempo, enquanto a razão representa o tempo médio entre as ocorrências. Aplicando-se o método da transformação inversa para a obtenção de uma variável aleatória x com distribuição exponencial resulta na seguinte relação: Uma vez que (1-Ri), da mesma forma que Ri, possui distribuição uniforme no intervalo [0, 1], podemos substituir (1-Ri) por Ri na expressão acima.

Exemplo Gerar valores de uma distribuição exponencial com parâmetro =1.

Distribuição Normal Uma variável aleatória x tem uma distribuição normal se sua fdp é dada por: Método de Box-Muller

Exemplo Considerando as equações anteriores, gerar dois valores com distribuição normal padronizada a partir de R1 = 0,1758 e R2 = 0,1489. Z1 = [-2 ln (0,1758)]½ cos ( 0,1489) = 1,11 Z2 = [-2 ln (0,1758)]½ sen ( 0,1489) = 1,50 Para a obtenção de uma variável aleatória normal com média  e desvio padrão , deve-se aplicar a transformação xi =  + .Zi aos valores da normal padronizada. Por exemplo, para transformar os valores obtidos de Z1 e Z2 em uma Normal (10; 2), calcula-se: