1 Teoria de 1ª Ordem Def. 18  Dado um conjunto A, dizemos que um subconjunto A’ de A é decidível se e somente se existir um procedimento efetivo (um algoritmo) tal que, dado qualquer a  A, pare com SIM se a  A’ e pare com NÃO se a  A’. Def. 19  Uma Teoria de 1ª Ordem (ou simples- mente uma Teoria) é um par T =, onde S é um alfabeto de 1ª ordem e  é um conjunto de sentenças de L(S) fechado por consequência lógica.

2 Teoria de 1ª Ordem Def.20  Uma teoria T = é axiomatizável se e somente se existe um subconjunto decidível  ’ de  tal que    se e somente se  ’ |= . As sentenças em  ’ são os axiomas de T. Def.21  Uma teoria T é finitamente axiomatizável se e somente se T for axiomatizável por um conjunto finito de sentenças (axiomas). Def.22  Um modelo para uma teoria T = é um modelo para .

3 Teoria de 1ª Ordem Podemos expandir uma teoria com novos símbolos predicativos ou funcionais. Exemplo: Suponha uma teoria sobre os naturais onde “=“ e “>“ são símbolos predicativos binários do alfabeto definido.O que fazer para usar o símbolo “  ”? Solução 1: “  ” significa “t = u  t > u”. Solução 2: Expandir a teoria incluindo o predicado “  ” no alfabeto e acrescentando o axioma de definição de “  ”  x  y(x  y  x = y  x > y)

4 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema Descrição do Problema considere um dicionário contendo os programas e os arquivos usados em um determinado sistema. cada programa possui como atributo apenas a linguagem em que foi escrito. cada arquivo possui como atributo apenas o tipo de organização física. o dicionário mantém os arquivos usados e os programas chamados por cada programa.

5 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) Formalização do Problema T = como descrever a organização lógica do dicionário (o alfabeto - S) como descrever um estado consistente do dicionário em um determinado instante (as sentenças sobre a teoria -  )

6 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) Alfabeto do dicionário (AD): constantes: letras minúsculas do alfabeto da Língua Portuguesa símbolos predicativos binários: “programa”, “arquivo”, “chama”, “usa”, “depende”

7 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) Significados pretendido em AD : constantes : nomes de programas, arquivos, linguagens de programação e tipos de organização de arquivos. programa(n, m): o programa n é escrito na linguagem m. arquivo(n, m) : o arquivo n tem organização m. chama(n, m) : o programa n chama o programa m. usa(n, m) : o programa n usa o arquivo m. depende(n, m) : o programa n usa ou chama direta ou indiretamente m.

8 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) Definição da teoria do Dicionário (restrições): 1. As únicas Linguagens permitidas são Fortran, Java ou Pascal 2. Todo programa é escrito em uma única linguagem 3. As únicas organizações de arquivos permitidas são Sequencial, Direta ou Indexada

9 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) Definição da teoria do Dicionário (restrições): 4. Todo arquivo possui uma única organização física 5. Se x chama y então x e y são programas no dicionário 6. Se x usa y então x é um programa e y é um arquivo no dicionário

10 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) Definição da teoria do Dicionário (restrições): 7. Se x chama y então x depende de y 8. Se x usa y então x depende y 9. Se x depende de z e z depende de y então x depende de y

11 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) Escrevendo a teoria no alfabeto de 1a Ordem 1. As únicas Linguagens permitidas são Fortran, Java ou Pascal  x  y( programa(x, y)  (y = fortran  y = Java  y = pascal) ) 2. Todo programa é escrito em uma única linguagem  x  y  z( (programa(x, y) & programa(x, z))  (y = z))

12 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) Escrevendo a teoria no alfabeto de 1a Ordem 5. Se x chama y então x e y são programas  x  y(chama(x, y)  (  z(programa(x, z))&  w(programa(y, w)))) 9. Se x depende de z e z depende de y então x depende de de y  x  y  z(  x  y  z((depende(x, z) & depende(z, y))  depende(x, y))

13 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) Teoria do Dicionário no alfab. de 1a Ordem 1.  x  y(programa(x, y)  (y = fortran  y = java  y = pascal)) 2.  x  y  z((programa(x, y) & programa(x, z))  (y = z)) 3.  x  y(arquivo(x, y)  (y = sequencial  y = direto  y = indexado))

14 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) Teoria do Dicionário no alfab. de 1a Ordem 4.  x  y  z ((arquivo(x, y) & arquivo(x, z))  (y = z)) 5.  x  y(chama(x, y)  (  z(programa(x, z))&  w(programa(y, w)))) 6.  x  y(usa(x, y)  (  z(programa(x, z))&  w(arquivo(y, w))))

15 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) Teoria do Dicionário no alfab. de 1a Ordem 7.  x  y(chama(x, y)  depende(x, y)) 8.  x  y(usa(x, y)  depende(x, y)) 9.  x  y  z((depende(x, z) & depende(z, y))  depende(x, y))

16 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) Segue exemplo de uma interpretação I que satisfaz as restrições desse dicionário, ou seja, que é um modelo para  ou ainda, que é um estado consistente para esse dicionário

17 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) programa I (A, FORTRAN)usa I (A, D) programa I (B, PASCAL)usa I (B, E) programa I (C, FORTRAN) depende I (A, B) arquivo I (D, SEQUENCIAL) depende I (A, C) arquivo I (E, DIRETO)depende I (A, D) depende I (B, E) chama I (A, B)depende I (A, E) chama I (A, C)

18 Um exemplo sobre Teoria: Dicionário de um Sistema (continuação) É interessante observar que um determinado estado consistente, como a interpretação I, também pode ser escrito por uma teoria cujos axiomas representam: os dados (fatos) armazenados no Dicionário, através de fórmulas atômicas as propriedades desejadas de “depende”

19 Teoria equivalente a Interpretação I 1.programa(a, fortran) 2.programa(b, pascal) 3.programa(c, fortran)F 4.arquivo(d, sequencial)A 5.arquivo(e, direto)T 6.chama(a, b)O 7.chama(a, c)S 8.usa(a, d) 9. usa(b, e) R 10.  x  y(chama(x, y)  depende(x, y))E 11.  x  y(usa(x, y)  depende(x, y))G 12.  x  y  z((depende(x, z) & depende(z, y))  R depende(x, y))A S

20 Um Sistema Formal Axiomático (SFA) Apresentação de um “cálculo” permitindo verificar se uma fórmula de 1ª ordem é consequência lógica de um conjunto de fórmulas.

21 Um SFA Def.23   é uma generalização de  se e somente se  for da forma  x 1...  x n (  ), para n > 0 e variáveis x 1,...,x n. Def.24  Uma fórmula de 1ª Ordem é uma tautologia se ela puder ser mapeada em uma tautologia da Lógica Proposicional.

22 Um SFA Def.25  Um Sistema Formal Axiomático é uma tripla S =, onde: L : uma linguagem de 1ª ordem A : um conjunto de sentenças chamadas axiomas lógicos R : um conjunto de regras de inferência

23 Um SFA Exemplo:Um SFA denominado S. S =, onde: L : uma linguagem de 1ª ordem R: uma regra de inferência Modus Ponens: {  →  } ├  A: um conjunto de axiomas classificados em 5 Grupos:

24 Um SFA A : todas as generalizações de fórmulas da forma: Grupo 0: traduz a Lóg. Proposicional p/ S (A v B)  (~A  B) (A ^ B)  ~(A  ~B) (A  B)  (A  B)^(B  A) Grupo 1: traduz  em  ~  x(  ) →  x(~  )  x(  )  ~  x(~  )

25 Um SFA Os três grupos que seguem dizem respeito às propriedades do  Grupo 2:  x 1...  x n (  )   [x 1 /t 1,...,x n /t n ] (se x i for substituível por t i em  Grupo 3:  x(    )  (  x(  )   x(  )) Grupo 4:    x(  ) (se x não ocorre livre em 

26 Um SFA: Exemplo de uma derivação (prova) em S {  x(P(x)  Q(x)),  x(P(x))} |-  x(Q(x)) 1.  x(P(x)  Q(x))P (   ) 2.  x(P(x))P (   ) 3.  x(P(x)  Q(x))  (  x(P(x))   x(Q(x))) Grp  x(P(x))   x(Q(x)) 1, 3 MP 5.  x(Q(x)) 2, 4 MP

27 Um SFA: Um outro Exemplo de derivação (prova) em S Seja  a formalização de um estado do “Dicionário” como uma teoria e  a fórmula : depende(a, e). A derivação de  a partir de  no sistema S,  —  é dada a seguir:

28  — depende (a,e) 1. chama(a, b)   2. usa(b, e)   3.  x  y(chama(x, y)  depende(x, y))   4.  x  y(usa(x, y)  depende(x, y))   5.  x  y  z((depende(x, z)  (depende(z, y)  depende(x, y)))  6.  x  y (chama(x, y)  depende(x, y))  (chama(a, b)  depende(a, b))Grupo 2 7. chama(a, b)  depende(a, b)3, 6 MP 8. depende(a, b)1, 7 MP 9.  x  y(usa(x, y)  depende(x, y))  (usa(b, e)  depende(b, e))Grupo usa(b, e)  depende(b, e)4, 9 MP 11. depende(b, e)2, 10MP 12.  x  y  z((depende(x, z)  (depende(z, y)  depende(x, y)))  (depende(a, b)  (depende(b, e)  depende(a, e))) Grupo depende(a, b)  (depende(b, e)  depende(a, e)) 5, 12 MP 14. depende(b, e)  depende(a, e) 8, 13 MP 15. depende(a, e) MP 11c/14