Universidade Federal de Pernambuco Anjolina Grisi de Oliveira 2007 Ordens Parciais Universidade Federal de Pernambuco Anjolina Grisi de Oliveira 2007

Centro de Informática / UFPE Definições Ordem Parcial Uma relação R em um conjunto S com as seguintes propriedades Reflexiva Anti-simétrica Transitiva Conjunto Parcialmente Ordenado (poset) - Um conjunto S juntamente com uma ordem parcial R: (S,R) Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Exemplos Mostre que (Z,) é um poset Temos que a  a para todo inteiro a: reflexiva Se a  b e b  a então a = b: anti-simétrica Se a  b e b  c então a  c: transitiva Logo  é uma ordem parcial no conjunto dos inteiros e (Z,  ) é um conjunto parcialmente ordendo. Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Exemplos Mostre que a relação de inclusão  é uma ordem parcial no conjunto das partes de um conjunto S. Ou seja, (P(S),  ) é um poset. Mostre que a relação de divisibilidade no conjunto dos inteiros positivos é uma ordem parcial. Ou seja, (Z+,|) é um poset. Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Em um poset a notação a  b denota que (a,b) pertence a R A relação “menor ou igual” é um paradigma para ordens parciais A notação a  b denota que a  b, mas a  b. Dizemos que “a é menor que b” ou “b é maior que a”. Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Por quê o nome ordem parcial? Em (P(Z),), {1,4} não se relaciona com {1,2} e nem vice-versa Em (Z+,|), 2 não se relaciona com 5 e nem vice-versa Os elementos a e b em um poset (S,) são chamados de comparáveis se ou a  b ou b  a. Caso contrário, eles são ditos incomparáveis. Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Se (S,) é um poset e cada par de elementos de S são comparáveis, dizemos que S é um conjunto totalmente ordenado ou linearmente ordenado, e  é chamada de ordem total ou linear. Um conjunto totalmente ordenado é chamado de cadeia O poset (Z,  ) é uma cadeia O poset (Z+,|) não é totalmente ordenado Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Ordem Lexicográfica As palavras em um dicionário são listadas em ordem alfabética ou ordem lexicográfica, que é baseada na ordem das letras do alfabeto. Esse exemplo é um caso especial onde é possível ordenar cadeias a partir de uma ordem parcial sobre o alfabeto em que as cadeias são construídas. Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Como construir uma ordem parcial no produto cartesiano de dois posets (A,1) e (B, 2) A ordem lexicográfica  em A  B é definida da seguinte forma: (a1,b1)  (a2,b2) se ou a1 <1 a2 ou a1 = a2 e b1 <2 b2 A ordem parcial é obtida adicionando a igualdade à ordem < em A  B Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Exemplo Seja o poset (ZZ, ), onde  é a ordem lexicográfica construída a partir da ordem usual  no conjunto dos inteiros. Determine se (3,5) < (4,8); (3,9)<(3,10); (6,8) < (6,9) Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Uma ordem lexicográfica pode ser definida no produto cartesiano de n posets: (A1, 1), (A2, 2)...,(An, n). Defina a ordem parcial em A1A2...An por: (a1,a2,...,an) < (b1,b2,...,bn) Se a1<1b1ou se existe um inteiro i>0 t.q. a1=b1...ai=bi e ai+1<i+1 bi+1. Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Ordem lexicográfica de cadeias Considere as cadeias distintas a1a2...am e b1b2...bn sobre um conjunto parcialmente ordenado S; Seja t o menor dentre m e n a1a2...am < b1b2...bn se e somente se (a1,a2...,at ) < (b1,b2...,bt ) ou (a1,a2...,at) = (b1,b2...,bt) e m<n Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Diagrama de Hasse Seja o poset ({1,2,3,4,6},|). Qual é a representação da relação | usando grafos? 6 4 3 2 1 Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Diagrama de Hasse A relação é reflexiva: possui laços em todos os nós Não é preciso colocar os laços Transitiva: não precisamos colocar as arestas que ilustram a transitividade Desenhamos o diagrama de forma que não é preciso colocar setas 6 4 3 2 1 Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Diagrama de Hasse Desenhe o diagrama de Hasse para os seguintes posets (P({a,b,c},) ({2,4,5,10,12,20,25},|) Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Elementos Maximais e Minimais 20 12 10 4 25 5 2 Seja um poset (S,). O elemento a é maximal nesse poset se não existe b  S de forma que a < b. O elemento a é minimal nesse poset se não existe b  S de forma que b < a. Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Maior elemento/ Menor elemento a é o maior elemento no poset (S, ) se b  a para todo b  S a é o menor elemento no poset (S, ) se a  b para todo b  S Quando existem, o maior e o menor elementos são únicos Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Limitante superior/inferior Seja A um subconjunto do poset (S, ). Se u  S e a  u para todo a  A, então u é chamado de limitante superior de A. Se i  S e i  a para todo a  A, então i é chamado de limitante inferior de A. Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Limitante superior/inferior Limitantes superior e inferior dos subconjuntos {a,b,c}, {j.h} e {a,c,d,f} do seguinte poset. h j g f e d b c a De {a,b,c}: sup= {e,f,h,j}; inf={a} De {j,h}: sup=; inf={f,d,e,b,c,a} De {a,c,d,f}: sup={f,j,h}; inf={a} Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Supremo e ínfimo Supremo: o menor dos limitantes superiores Ínfimo: o maior dos limitantes inferiores Quando existem são únicos Qual o supremo e o ínfimo de {b,d,g} do poset do exemplo anterior? Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Exemplo Seja P o conjunto das cadeias de 0´s e 1´s (incluindo a cadeia vazia). Defina a ordenação  sobre P da seguinte forma: u  v se e somente se v é prefixo de u. (Considere que a cadeia vazia é prefixo de qualquer cadeia). Mostre que (P,  ) é um poset Desenhe o diagrama de Hasse para as cadeias cujo tamanho é menor ou igual a 3 Encontre os elementos maximais e minimais Existe o menor/maior elemento? Qual? Encontre os limitantes superiores/inferiores de {01,10} Encontre o supremo e ínfimo de {0} (caso existam) Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Reticulados Um poset onde cada par de elementos possui um supremo e um ínfimo é chamado de reticulado f d e c b a O segundo diagrama não é um reticulado. Os elementos b e c não têm supremo. Os elementos d,e e f são limitantes superior de b e c, no entanto não existe o menor entre eles. Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Exemplo Em muitos sistemas o fluxo de informação entre pessoas e programas é gerenciado por políticas de segurança. O seguinte reticulado modela uma determinada política de segurança. Cada pedaço de uma informação é associado a uma classe de segurança, representada por um par (A,C). Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Exemplo No par (A,C), A significa o nível de autoridade, que pode ser: 0 – não classificado; 1 – confidencial; 2 – secreto; e 3 – altamente secreto C são categorias representadas por subconjuntos de todos os cargos ou compartimentos relevantes de uma determinada área. Se o conjunto de cargos é {agentes, espiões, agentes duplos}, então temos 8 categorias. Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE

Centro de Informática / UFPE Exemplo As classes de segurança podem ser ordenadas especificando que (A1,C1)  (A2,C2) se e somente se A1  A2 e C1  C2 As informações podem ser passadas de uma classe de segurança (A1,C1) para (A2,C2) se e somente se (A1,C1)  (A2,C2) . Que classe de segurança seria o supremo e ínfimo de cada par de classe? Supremo: (maior(A1, A2), C1C2) Ínfimo: (menor(A1, A2), C1C2) Matemática Discreta – if670 Centro de Informática / UFPE