Cultura Alexandrina ASSUNTO: EUCLIDES Componentes: Isaias, Marcos e Raimundo

 OBJETIVO O presente trabalho tem como meta de aprimorarmos nossos conhecimentos a: Biografia do Euclides; Contexto Histórico; Postulados e Teoremas; Obra dos “Elementos”; Algoritmo de Euclides e Conclusão

Biografia Euclides de Alexandria (360 a.C. — 295 a.C.), Professor, matemático platônico e escritor de origem desconhecida, criador da famosa geometria euclidiana: o espaço euclidiano, imutável, simétrico e geométrico, metáfora do saber na antiguidade clássica, que se manteve incólume no pensamento matemático medieval e renascentista, pois somente nos tempos modernos, puderam ser construídos modelos de geometrias não-euclidianas.

Biografia Teria sido educado em Atenas e freqüentado a Academia de Platão, em pleno florescimento da cultura helenística, em Atenas, mas não há provas.

Contexto Histórico Em 338 a.C., Filipe II, da Macedônia, passou a controlar a maior parte do mundo grego. Após ser assassinado em 336 a.C., o poder passou às mãos de seu filho, Alexandre de apenas 20 anos. Em 334 a.C., Alexandre deu início à conquista do Império Persa. O Egito foi conquistado em 332 a.C., e ali no delta do Nilo, ele fundou Alexandria

Contexto Histórico Após sua morte, em 323 a.C., o império foi dividido, cabendo o Egito a Ptolomeu, terminando a dinastia com Cleópatra. Criação da Universidade de Alexandria Por volta de 300 a.C., surgiu um gênio que se encarregou de sintetizar e sistematizar o conhecimento matemático. Este homem foi Euclides, autor dos Elementos.

Contexto Histórico Não se sabe onde nasceu; Parece provável que tenha estudado em Atenas; Revelou seu talento em Alexandria, onde dirigiu a área de Matemática do Museu e escreveu vários livros, entre eles os célebres Elementos.

Postulados e Teoremas Euclides recolheu todo o saber matemático, organizá-lo, suprimir lacunas, e introduzir novas noções. O resultado desse trabalho foi uma obra imortal Os Elementos , compêndio em treze livros, dos quais cinco dedicados à geometria de figuras planas, e três versando a geometria a três dimensões.  

Postulados e Teoremas Postulados - Duas coisas iguais a uma terceira são iguais entre si. Axiomas - Dados dois pontos, há um segmento de reta que os une. Postulados - Se parcelas iguais forem adicionadas a quantidades iguais, as somas continuarão a ser iguais. Axiomas - Um segmento de reta a pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta .

Postulados e Teoremas Postulados - Se as mesmas quantidades forem subtraídas de quantidades iguais, os restos continuarão a ser iguais. Axiomas - Dados um ponto qualquer e uma distância qualquer pode-se construir um circulo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada.

Postulados e Teoremas Postulados - Coisas que coincidem uma com a outra são iguais. Axiomas - Todos os ângulos retos são iguais. Postulados - 0 todo é maior que as partes. Axiomas - Se uma reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor do que dois retos, então essas duas retas, quando suficientemente prolongadas, cruzam-se do mesmo lado em que estão esses dois ângulos.

Os elementos Trata-se de um texto introdutório cobrindo toda a matemática elementar; Aritmética – teoria dos números; Geometria sintética – pontos, retas, círculos e esferas; Álgebra – no campo geométrico e Foi considerada a mais renomada na historia da matemática

Os elementos Os Elementos de Euclides chegaram até nós através de numerosas transcrições, sobretudo de copistas árabes, e tiveram um profundo impacto não apenas na matemática, mas na construção da própria identidade lógica do mundo ocidental. Escritos em 13 livros, realizam o prodigioso trabalho de sistematizar os conhecimentos da Geometria elementar, de forma rigorosa e , partindo de um mínimo de definições e de verdades aceitas sem provas.

Os elementos Os elementos trata-se de um texto introdutório cobrindo toda a matemática elementar – isto é , ( no sentido da “teoria dos números” ), geometria sintética ( de pontos, retas, círculos e esferas ), e álgebra ( não no sentido simbólico moderno, mas um equivalente em roupagem geométrica ).

Outras Obras Os Dados; Divisão de figuras – Divisão de configurações planas. Os fenômenos – Semelhante a A esfera de Autolico (geometria usada para uso dos astrônomos) Optica – Grande influencia em fenômenos físicos.

Algoritmo de Euclides algoritmo de Euclides busca encontrar o máximo divisor comum entre dois números inteiros diferentes de zero. É um dos algoritmos mais antigos conhecidos, desde que apareceu na obra Elementos de Euclides por volta de 300 aC. O algoritmo não requer fatoração.

Algoritmo de Euclides O Algoritmo de Euclides para a obtenção do máximo divisor comum entre dois números naturais é um processo bem simples. Não desista ao ler a explicação pelo roteiro, mas acompanhe o roteiro juntamente com os exemplos numéricos que virão a seguir - vai ficar bem mais fácil.

Algoritmo de Euclides Obtendo o mdc entre dois números naturais X e Y onde X > Y. Divida X por Y e obtenha o resto R1. Se R1 for zero, o mdc entre X e Y é Y. Se R1 não for zero, divida Y por R1 e obtenha o resto R2. Se R2 for zero, o mdc entre X e Y é R1. Se R2 não for zero, divida R1 por R2 e obtenha o resto R3. Se R3 for zero, o mdc entre X e Y é R2. ... Se Rn não for zero, divida Rn-1 por Rn e obtenha o resto Rn+1. Se Rn+1 for zero, o mdc entre X e Y é Rn.

Algoritmo de Euclides Exemplo - Obter, pelo Algoritmo de Euclides, o mdc entre 10 e 15. Dividimos 15 por 10 (porque 15 é maior que 10). Dividendo: 15 Divisor: 10 Resto: 5 Quociente: 2

Algoritmo de Euclides Como o resto é 5 (não vale zero), devemos dividir o divisor 10 por 5, temos: Dividendo: 10 Divisor: 5 Resto: 0 Quociente: 2 O resto é zero, portanto o mdc entre 15 e 10 é 5 (o divisor da divisão cujo resto é zero).

Algoritmo de Euclides O Algoritmo de Euclides pode requistar muitas divisões sucessivas até que se chegue ao resto zero (sempre se chegará). Por conta disso, é melhor usar uma chave que aproveita melhor os resultados anteriores deixa espaços para os próximos, caso sejam necessários.

CONCLUSÃO Esperamos contribuir com todos que, de uma forma ou de outra, participam do processo de ensino-aprendizagem do conteúdo Histórico de Euclides na matemática e de uma maneira direta com a Geometria e na algebra. Todo esforço é no intuito de mostrar nós, futuros docentes o que houve no passado e que se aplica nos dias atuais.

BIBLIOGRAFIA Biblioteca da Matemática Moderna; BOYERR, Carl Beijamin, História da Matemática 2ª ed. São Paulo, Edgard Blucher, 1996.

FIM