Explorando a ideia de número positivo e número negativo Fuso horário civil Adaptado de: CALENDARIO Atlante De Agostini 2010. Novara: Instituto Geografico De Agostini, 2009. Se em Londres for meia-noite, no Brasil serão 9 horas da noite, pois o fuso horário de Brasília em relação a Londres é –3 (menos 3 ou 3 negativo).

Explorando a ideia de número positivo e número negativo Temperatura No Brasil, a unidade de medida de temperatura que usamos é o grau Celsius (ºC). As temperaturas maiores do que 0 ºC são as de medidas acima de zero. Dizemos que elas têm valor positivo (+3 ºC, +25 ºC, +36 ºC, etc.). As temperaturas menores que 0 ºC são medidas abaixo de zero. Dizemos que elas têm valor negativo (‒4 ºC, ‒9 ºC, ‒25 ºC, etc.). PAULO MANZI/ARQUIVO DA EDITORA

O conjunto dos números inteiros ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} ou ℕ = {0, +1, +2, +3, +4, +5, +6, ...} Observe agora o conjunto dos números inteiros negativos: {..., ‒6, ‒5, ‒4, ‒3, ‒2, ‒1} Reunindo os números naturais (ℕ) com os números inteiros negativos, obtemos o conjunto dos números inteiros, que é representado assim: ℤ = {..., ‒6, ‒5, ‒4, ‒3, ‒2, ‒1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6 }

O conjunto dos números inteiros 1 2 3 4 ℕ • ‒2 ‒1 1 2 ℤ • ‒1 ‒2 ‒3 ‒4 • + =

O conjunto dos números inteiros A representação dos números inteiros em uma reta r ... ‒5 ‒4 ‒3 ‒ 2 ‒ 1 +1 +2 +3 +4 +5 ...

O conjunto dos números inteiros A representação dos números inteiros em uma reta S R P Y O I X W r +5 +4 +3 +2 +1 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12 +13 +14 ‒10 ‒11 ‒ 12 ‒9 ‒8 ‒7 ‒6 ‒5 ‒4 ‒3 ‒2 ‒1 O ponto X está no sentido positivo, a 3 unidades de O: corresponde ao número inteiro 3 ou +3. O ponto Y está no sentido negativo, a 1 unidade de O: corresponde ao número inteiro –1.

O conjunto dos números inteiros Módulo ou valor absoluto de um número inteiro ‒1 ‒2 ‒3 +3 +2 +1 A O B A distância do ponto A (representado por –2) à origem (O) é 2 unidades. O número 2, que expressa a distância de A à origem, é chamado de valor absoluto ou módulo do número inteiro –2. Indicamos assim: |–2| = 2. módulo Note que a distância do ponto B (representado por +2) à origem (O) também é 2 unidades, ou seja, o valor absoluto ou o módulo de +2 também é 2. Simbolicamente |+2| = 2.

O conjunto dos números inteiros Módulo ou valor absoluto de um número inteiro O módulo de um número diferente de zero é sempre positivo. |–3| = 3 |23| = 23 |–21| = 21 |–105| = 105

Números opostos ou simétricos A O B ‒1 ‒2 ‒3 ‒4 +4 +3 +2 +1 ... ‒2 e +2 são números simétricos O simétrico de +3 –(+3) = ‒3 O oposto de –4 –(‒4) = +4 ou 4

O conjunto dos números inteiros Comparação de números inteiros Comparar dois números significa dizer se o primeiro é maior do que (>), menor do que (<) ou igual (=) ao segundo número. PAULO MANZI/ARQUIVO DA EDITORA –3 < +3

O conjunto dos números inteiros Comparação de números inteiros Qualquer número negativo é menor que o número positivo. O menor número entre dois números negativos é aquele tem o maior módulo. PAULO MANZI/ARQUIVO DA EDITORA –1 > –3

Adição de números inteiros Somando inteiros positivos Quando as duas parcelas são positivas, o resultado da adição é sempre positivo e o módulo do resultado é obtido somando os módulos das parcelas. (+4) + (+3) = 4 + 3 = 7 ou +7 (+5) + (+6) = +5 + 6 = +11 Somando inteiros negativos Quando as duas parcelas são negativas, o resultado da adição é sempre negativo e seu módulo é obtido somando os módulos das parcelas. (–4) + (–3) = –4 – 3 = – 7 (–2) + (–1) = –2 – 1 = –3

Adição de números inteiros Somando inteiros opostos Quando as duas parcelas são dois números inteiros opostos ou simétricos, o resultado é zero. (–7) + (+7) = –7 + 7 = (–5) + (+5) = –5 + 5 = 0 Somando inteiros não opostos Quando as parcelas têm sinais diferentes e não são números opostos, o sinal do resultado é o sinal do número que tem maior módulo. E o módulo do resultado é obtido subtraindo o módulo menor do módulo maior. (–2) + (+5) = –2 + 5 = +3 (–9) + (+3) = –9 + 3 = –6

Propriedades da adição Propriedade comutativa A ordem das parcelas não altera a soma. (–3) + (+7) = +4 (–3) + (+7) = (+7) + (–3) (+7) + (–3) = +4 Propriedade associativa [(–7) + (+4)] + (+3) = [–3] + (+3) = 0 [(–7) + (+4)] + (+3) = (–7) + [(+4) + (+3)] (–7) + [(+4) + (+3)] = (–7) + (+7) = 0 Propriedade do elemento neutro (+5) + 0 = 0 + (+5) = +5 O zero é o elemento neutro da adição. (–3) + 0 = 0 + (–3) = (–3) = –3 Propriedade do elemento oposto O oposto de –5 é +5, pois (–5) + (+5) = 0

Subtração de números inteiros O sinal de menos na frente do parênteses, colchetes ou chaves indica o oposto do número. (–9) – (+2) = –9 – 2 = –11 o sinal de “menos” indica o oposto do +2, ou seja, –2. (–5) – (– 3) = –5 + 3 = –2 oposto de (–3), que é +3 No conjunto dos números inteiros (ℤ), a subtração é sempre possível.

Adição algébrica e soma algébrica Uma expressão numérica que contém somente as operações de adição e subtração representa uma adição algébrica. 15 – [18 – (–6 – 9)] = 10 + {–12 + [5 – (1 – 9)] – 7} = = 15 – [18 – (–15)] = = 10 + {–12 + [5 – (–8)] – 7} = = 15 – [18 + 15] = = 10 + {–12 + [5 + 8] – 7} = = 15 – 33 = = 10 + {–12 + 13 – 7} = = –18 = 10 + {–6} = Assim, –18 é a soma da expressão 15 – [18 – (–6 – 9)]. = 10 – 6 = = 4 Assim, 4 é a soma da expressão 10 + {–12 + [5 – (1 – 9)] – 7}.

Multiplicação de números inteiros Multiplicação de dois números inteiros positivos (+3) . (+5) = +15 0 . (+8) = 0 (+10) . (+5) = +50 3 . 5 = 15 A multiplicação de dois números inteiros positivos dá como resultado um número inteiro positivo. Os módulos devem ser multiplicados. Multiplicação de dois números inteiros com sinais diferentes (+5) . (– 3) = 5 . (– 3) = (– 3) + (– 3) + (– 3) + (– 3) + (– 3) = – 15 (– 7) . (+5) = – (+7) . (+5) = – (+35) = –35 O resultado da multiplicação (produto) de dois números inteiros de sinais diferentes é sempre negativo e seu módulo é o produto dos módulos dos dois fatores.

Multiplicação de dois números negativos O resultado da multiplicação de números com sinais diferentes é sempre um número negativo. O resultado da multiplicação (produto) de dois números inteiros negativos é sempre positivo, e seu módulo é o produto dos módulos dos dois fatores. (–5) . (–3) = – (+5) . (–3) = – (–15) = +15 (–5) = – (+5) Nos demais casos, contamos o número de fatores negativos: se esse número for par, o resultado será positivo; se esse número for ímpar, o resultado será negativo. (–5) . (–3) . (+2) = (+15) . (+2) = +30 (–5) . (–3) . (–2) = (+15) . (–2) = –30

Propriedades da multiplicação em ℤ Propriedade comutativa (–2) . (+5) = –10 A ordem dos fatores não altera o produto. (–2) . (+5) = (+5) . (–2) (+5) . (–2) = –10 Propriedade associativa [(–8) . (+9)] . (+3) = (–72) . (+3) = –216 [(–8) . (+9)] . (+3) = (–8) . [(+9) . (+3)] (–8) . [(+9) . (+3)] = (–8) . (+27) = –216 Propriedade do elemento neutro (+6) . (+1) = (+1) . (+6) = +6 O número +1 é o elemento neutro da multiplicação. Propriedade distributiva (+3) . [(+2) + (–5)] = (+3) . (+2) + (+3) . (–5) = +6 – 15 = –9

Divisão de números inteiros A divisão é a operação inversa da multiplicação. Se 3 . 5 = 15, então 15 : 5 = 3 e 15 : 3 = 5. (+20) : (+5) = (+4) (–30) : (–6) = (+5) Não existe divisão por zero. Nem sempre é possível realizar a divisão em ℤ. Por exemplo, (–7) : (+2) não pode ser realizada em ℤ, pois o quociente não é um número inteiro. sinais diferentes (+40) : (–5) = (–8)

Potenciação: número inteiro na base e número natural no expoente Base 0 e expoente diferente de 0 01 = 0 02 = 0 . 0 = 0 Base positiva (+8)1 = +8 (+2)3 = (+2) . (+2) . (+2) = +8 Base negativa (–5)1 = –5 (–6)2 = (–6) . (–6) = +36 Quando o expoente é ímpar, o sinal do resultado é negativo e seu módulo é obtido fazendo a potenciação do módulo da base. Quando o expoente é par, o sinal do resultado é positivo e seu módulo é obtido fazendo a potenciação do módulo da base.

Propriedades da potenciação em ℤ Produto de potências de mesma base: am . an = am + n Potência de uma potência: (am)n = am . n Quociente de potências de mesma base: am : an = am – n, com a ≠ 0 Potência de um produto ou de um quociente: (a . b)n = an . bn = , (b ≠ 0)

Raiz quadrada exata de número inteiro Raiz quadrada exata dos números inteiros positivos e do zero Por exemplo: = 3 , pois 3 . 3 = 9, podemos escrever = +3, pois (+3)2 = +9. é impossível em ℤ, pois não existe número inteiro que elevado ao quadrado dê +10. A raiz quadrada de um número negativo é impossível em ℤ Por exemplo: é impossível em ℤ, pois não existe número inteiro que elevado ao quadrado dê –9.

Representação de pares ordenados de números inteiros no plano Coordenadas cartesianas Cada quadrado representa 1 quarteirão (–2, 4) Localiza-se a piscina (2, –2) Localiza-se o supermercado PAULO MANZI/ARQUIVO DA EDITORA

Outras expressões numéricas com números inteiros Exemplos: (–3 + 9 – 1 – 7)2 = : (+2) + (–5)2 . (–4) = = (–11 + 9)2 = = (+6) : (+2) + (+25) . (–4) = = (–2)2 = = (+3) + (–100) = = +4 = –97 (–2) . [(–3) – (–2)] = = (–2) . [(–3) + (+2)] = = (–2) . (–1) = = +2

Alguns tipos de figuras geométricas Contornos (linhas fechadas) Linhas abertas Contorno e linhas abertas têm uma única dimensão, o comprimento.

Alguns tipos de figuras geométricas Figuras espaciais ou sólidos geométricos As figuras espaciais também são chamadas de tridimensionais. Regiões planas As regiões planas também são chamadas de bidimensionais.

Sólidos geométricos Poliedros: Corpos redondos: Apresentam somente faces planas. Apresentam partes não planas. Outros sólidos geométricos: Possuem partes não planas e planas.

Poliedros Prismas Prismas retos Prismas oblíquos vértice aresta base face lateral base

Tetraedro: quatro faces. Pirâmides retas Link para ambiente online ZORAN KARAPANCEV / SHUTTERSTOCK / GLOW IMAGES Pirâmides oblíquas O tetraedro regular Tetra: quatro; edro: face; Tetraedro: quatro faces. face lateral base

Relação de Euler V + F = A + 2

Corpos redondos Cilindros oblíquos e retos Esfera Cone oblíquo e reto base centro base diâmetro Cone oblíquo e reto base

Polígonos Polígono é uma linha fechada simples (que não se cruza), formada apenas por segmentos de reta, todos de um mesmo plano. Polígonos convexos Polígonos não convexos Triângulo (3 lados) Quadrilátero (4 lados) Pentágono (5 lados) Hexágono (6 lados) Heptágono (7 lados) Octógono (8 lados) Eneágono (9 lados) Decágono (10 lados) Icoságono (20 lados)

Polígonos Diagonais de um polígono convexo Se um polígono convexo tem n lados, então o número de diagonais (d) é obtido pela fórmula: d =

Regiões planas região plana cubo região plana circular ou círculo região plana triangular região plana circular ou círculo região retangular região plana retangular

Regiões planas poligonais Região plana cujo contorno é um polígono. Regiões poligonais convexas Regiões poligonais não convexas

Regiões planas e arte PAUL KLEE / GALERIA ROSENGART, LUCERNA (SUÍÇA) TARSILA DO AMARAL / MAC-USP, SÃO PAULO / CEDIDO POR TARSILA

Vistas de uma figura espacial pirâmide vista superior vista inferior vista das faces

Simetria Figuras com simetria em relação a mais de um eixo GABOR NEMES / KINO ROBERT MCGOUEY / ALL CANADA PHOTOS / CORBIS / LATINSTOCK Figuras com simetria em relação a mais de um eixo