Séries e Sequências 1. Sequências Uma sequência infinita, ou simplesmente uma sequência é uma sucessão sem fim de números, chamados termos. Esses termos têm uma ordem definida, em geral a1 , a2 , a3 , .... 1, 2, 3, 4, ... - números naturais 2, 4, 6, 8, ... - números pares 1, 5, 9, 13, ... - PA com a1 = 1 e razão r = 4 1, 1 2 , 1 4 , 1 8 , . . . PG com a1 = 1 e razão q = 1 2 1, , 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , ...,
Sequência de Fibonacci Leonardo Pisa (Fibonacci) - século XIII, {0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …} Cada elemento, a partir do terceiro, é obtido somando-se os dois anteriores: 0 + 1 = 1, 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5 ... .
Uma sequência {an} pode ser representada como uma função de n an = f(n) onde n é um número natural 1, 2, 3, 4, ... = {n} an = f(n) = n, n ∈𝑁={1,2,3, …} 2, 4, 6, 8, ... = {2n} an = f(n) = 2n, n ∈𝑁= 1,2,3, … 1, 5, 9, 13, ... = {1 + 4(n-1)} = {a1 + r(n – 1)} an = f(n) = 1 + 4(n-1) , n ∈𝑁={1,2,3, …}
{1, 1 2 , 1 4 , 1 8 , . .} = {1. (1/2)(n-1)} = {a1.q(n – 1)} an = f(n) = 1 . (1/2)(n-1) = 1 2 (𝑛−1) , n ∈𝑁={1,2,3, …} { 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 5 , ...} = { 𝑛 𝑛+1 } an = f(n) = 𝑛 𝑛+1 , n ∈𝑁={1,2,3, …} Na sequência de Fibonacci {0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …} (an = an-1 + an – 2)
Exemplo: Determinar an 1 3 , 2 9 , 4 27 , 8 81 , ... 1 3 , 2 9 , 4 27 , 8 81 , ... 1 3 , − 2 5 , 3 7 , − 4 9 , ... Sequência como funções de n e de x { 1 𝑛 }n = 1 f(n) = 1 𝑛 n ∈𝑁= 1,2,3, … (função discreta) f(x) = 1 𝑥 𝑥∈ 𝑅 + ∗ (função contínua) n x
Limite de uma sequência {n+1} n = 1 { (−1) 𝑛+1 }n = 1 { 𝑛 𝑛+1 } 𝑛=1 {1+ − 1 2 𝑛 } 𝑛=1
Analogia entre a sequência f(n), para n > 1 e a função real f(x) 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 { 𝑎 𝑛 } 𝑛=1 quando n ∞ ou lim 𝑛→∞ { 𝑎 𝑛 } 𝑛=1 corresponde a lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 A sequência { 𝑎 𝑛 } 𝑛=1 converge para um número real L se lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 = L A sequência { 𝑎 𝑛 } 𝑛=1 diverge quando não convergir para algum limite finito Exemplos: Exercícios: