MATEMÁTICA BÁSICA TERCEIRAO/PRE-ENEM TEORIA de CONJUNTOS I I Prof. Junior Barreto TEORIA de CONJUNTOS Baixe esses slides em www.profjuniorbarreto.com

Descrição pela citação dos elementos: NOTAÇÃO: Descrição pela citação dos elementos: A = {1,2,3,4,5} B = {a,e,i,o,u} X = {2,4,6,8,...} Descrição por uma propriedade: A = { x I x é uma pessoa que habita a Terra } X = { x I x é um número primo positivo }

Pelo diagrama de Venn-Euler: NOTAÇÃO: Pelo diagrama de Venn-Euler: A = {a,e,i,o,u} B = {1,3,7,10} A a e i o u B 1 3 7 10

São usados apenas para relacionar ELEMENTOS com CONJUNTOS RELAÇÕES: De PERTINÊNCIA: ,  São usados apenas para relacionar ELEMENTOS com CONJUNTOS

São usados apenas para relacionar CONJUNTOS com CONJUNTOS RELAÇÕES: De INCLUSÃO:  ,  São usados apenas para relacionar CONJUNTOS com CONJUNTOS

U A a e i o u Ex: b w a A b A e A w A Conjunto Universo É o conjunto mais amplo em que está inserido o conjunto em estudo U pode ser um conjunto com letras do Alfabeto e A o conjunto das vogais Ex:

Conjunto Unitário: Conjunto Vazio: B a Aquele que possui um único elemento B = {2} Conjunto Vazio: Aquele que não possui nenhum elemento A = { x I x é um habitante da Terra com mais de 200 anos } A = { } ou A = 

Subconjuntos: A é subconjunto de B se cada elemento do conjunto A é também elemento do conjunto B . A 1 5 7 9 10 B U A é subconjunto de B A está contido em B B contém A

Subconjuntos: B  A A  B A é subconjunto de B se cada elemento do conjunto A é também elemento do conjunto B . A 1 5 7 9 10 B U A é subconjunto de B B  A B contém A A  B A está contido em B

Conjunto das partes: n(P(A)) = 2n(A) n(P(A)) = 23 = 8 Chamamos de conjunto das Partes do conjunto A e representamos por P(A), o conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A. A = {x, y, z} P(A) = { , {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z} } n(A) = número de elementos de A = 3 n(P(A)) = 2n(A) n(P(A)) = 23 = 8

OPERAÇÕES: UNIÃO (): A = {2, 3, 5, 6} B = {3, 5, 6, 7} A  B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou que pertencem ao conjunto B, sem repetição . A = {2, 3, 5, 6} B = {3, 5, 6, 7} A  B = {2, 3, 5, 6, 7}

OPERAÇÕES: UNIÃO (): A  B A B

OPERAÇÕES: INTERSECÇÃO (): A = {2, 3, 5, 6} B = {3, 5, 6, 7} A  B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e que pertencem ao conjunto B, ao mesmo tempo . A = {2, 3, 5, 6} B = {3, 5, 6, 7} A  B = {3, 5, 6}

OPERAÇÕES: INTERSECÇÃO (): A  B A B

OPERAÇÕES: DIFERENÇA (-): A = {2, 3, 5, 6} B = {3, 5, 6, 7} A – B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e que não pertencem ao conjunto B, nesta ordem. A = {2, 3, 5, 6} B = {3, 5, 6, 7} A – B = {2}

OPERAÇÕES: DIFERENÇA (-): A – B B – A B A A B

OPERAÇÕES: COMPLEMENTAR (CA): CA = {4, 5, 6} A = {2, 3} Sendo A e B dois conjuntos onde A  B, CA é o conjunto de todos os elementos que faltam ao conjunto A para que ele fique igual ao conjunto B A = {2, 3} B = {2, 3, 4, 5, 6} CA = {4, 5, 6}

OPERAÇÕES: COMPLEMENTAR (CA): CA A B C

Contando os elementos de um CONJUNTO

Problemas de contagens Percebeu a incoerência? Em uma pesquisa de informação, 500 moradores de uma cidade foram entrevistados acerca de sua preferência em relação aos jornais T e G. Os resultados obtidos foram: Todos os entrevistados são leitores dos jornais. 400 leem o jornal T 300 leem o jornal G OPA! Percebeu a incoerência? 400 + 300 ≠ 500

Qual é o número de elementos comuns a todos os conjuntos? A INFORMAÇÃO PRIMORDIAL É: Qual é o número de elementos comuns a todos os conjuntos? Se essa informação foi dada, inicie a distribuição dos elementos nos diagramas por ela. Lembre-se de DIMINUIR SEMPRE OS ELEMENTOS COMUNS, partindo sempre de dentro para fora dos diagramas. Se essa informação NÃO foi dada, coloque um x na região dos elementos comuns e vá diminuindo de dentro para fora os valores que virão daí para frente. CUIDADO com as palavras SOMENTE, APENAS, EXCLUSIVOS.

1ª informação a ser usada Pelas informações dadas, temos que: T G 400 - x x 300 - x 1ª informação a ser usada 400 – x + x + 300 – x = 500 x = 200

Numa prova constituída de dois problemas, temos que: 300 acertaram somente um dos problemas 260 acertaram o segundo 100 acertaram os dois problemas 210 erraram o primeiro Quantos alunos fizeram a prova?

25 leram apenas o livro Iracema. 15 alunos leram os dois livros. Um professor de Português sugeriu em uma classe de Pré-Vest com 98 alunos a leitura dos livros Helena (de Machado de Assis) e Iracema (de José de Alencar). O resultado foi:   40 alunos leram Helena. 25 leram apenas o livro Iracema. 15 alunos leram os dois livros. De acordo com os dados apresentados, determine: Quantos alunos leram o livro Iracema? Quantos alunos leram apenas o livro Helena? Quantos alunos não leram nenhum dos livros?

Em um grupo n de cadetes da aeronáutica, 17 nadam,19 jogam basquetebol, 21 jogam voleibol,5 nadam e jogam basquetebol,2 nadam e jogam voleibol,5 jogam basquetebol e voleibol e 2 fazem todos os 3 esportes. Qual o valor de n, sabendo-se que todos os cadetes desse grupo praticam pelo menos um desses esportes?   a) 31 b) 37 c) 47 d) 51 e) 54

Quantos moradores foram consultados? Um Instituto de pesquisa de opinião realizou uma pesquisa com um grupo de moradores de um bairro em relação à sua predileção por três produtos: A, B e C. Ao serem tabulados os resultados, descobriu-se que: Determine: Quantos moradores foram consultados? Quantos gostavam do produto C, mas não gostavam do produto A? Quantos não gostavam de nenhum dos 3 produtos? Quantos gostavam dos produtos B e C? Quantos gostavam de pelo menos dois dos produtos? Quantos não gostavam do produto A? 820 preferiam o produto A 400 preferiam os produtos A e C 100 gostavam de todos os produtos 720 preferiam o produto B 150 gostavam apenas do produto C 220 preferiam os produtos A e B O número de moradores que preferiam os produtos B e C era igual ao número de moradores que preferiam somente o produto B e que também era igual ao número de moradores que não gostavam de nenhum dos 3 produtos

REGIÕES OCUPADAS POR OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS