PROCESSO DE POISSON [ Parte II ] 1 - INTRODUÇÃO 2 - PROCESSO DE POISSON 3 - TEMPOS DE CHEGADA 4 - TEMPOS ENTRE CHEGADAS 5 - PROCESSOS DE RENOVAÇÃO 6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS 7 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO 8 - PARTICIONAMENTO ALEATÓRIO

6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS 1º Passo: Suponha que exatamente k eventos de um processo de Poisson ocorrem em um intervalo de duração t. Em outras palavras N t = k, onde N t é uma variável aleatória de Poisson. Se particionarmos (0,t] em M subintervalos adjacentes para os instantes de tempo t’ 0, t’ 1, t’ 2,..., t’ M, considerando: E definindo: Temos a situação de partição representada a seguir: MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 02 / 27

Podemos escrever: Não há relação a priori entre os tempos em que os eventos ocorrem (t k ) e os instantes da partição t’ m. 6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 03 / 27

2º Passo: Número de eventos que ocorrem em um subintervalo: Segue que: Exatamente k eventos ocorreram no intervalo (0,t]. 6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 04 / 27

A probabilidade condicional conjunta de k m eventos ocorrerem durante o intervalo  (  m ), m = 1,2,..., M, considerando a hipótese de que k eventos ocorrem durante o intervalo inteiro é: 6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 05 / 27

Incrementos estacionários e independentes, vem: O número de eventos  Distribuição de Poisson. Assim, podemos reescrever (2) e o denominador de (1): Levando os resultados acima em (1): 6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 06 / 27

Obtemos a probabilidade condicional conjunta: 6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 07 / 27

3º Passo: Particionamento suficientemente bom  apenas um evento ocorra em cada subintervalo. Nesse caso, cada um dos k subintervalos terá apenas um evento ocorrendo em sua duração, ou seja: Não ocorrerá nenhum evento em cada um dos M-k subintervalos restantes: 6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 08 / 27

Reindexaremos os k subintervalos, de modo que o subintervalo  (  j ) contenha o j-ésimo evento a ocorrer. O tempo de ocorrência do j-ésimo evento é o tempo de chegada t j, ficamos apenas com a probabilidade condicional conjunta de ocorrência dos eventos [t j   (  j )], j = 1, 2,..., k: 6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 09 / 27

4º Passo: k eventos ocorrem durante [0,t], o mesmo resultado pode ser obtido assumindo que os tempos de chegada t j são as estatísticas de ordem dos tempos de evento (ou tempos de chegada não-ordenados).  Variáveis aleatórias mutuamente independentes  Uniformemente distribuída em [0,t] Podemos indexar os objetos que causam eventos particulares pelos inteiros 1, 2,..., k e denotar como u i o tempo de evento que o objeto i leva para que um evento de interesse ocorra. 6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 10 / 27

Não garantia a priori que #i gere o i-ésimo evento a ocorrer (em ordem)  não garantia u i = t i. Objetos Tempos de Evento Tempos de Chegada 6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 11 / 27

5º Passo: Seja U j a v.a. da distribuição dos valores dos u i empíricos, dizemos que as v.a’s T i são as estatísticas de ordem das v.a’s U j. Em seguida assumimos:  Variáveis aleatórias mutuamente independentes  Uniformemente distribuídas em [0,t] Estamos assumindo que dado N t = k, os U j são mutuamente independentes e: 6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 12 / 27

Como os U j são v.a’s independentes: Existem k! diferentes conjuntos de tempos de eventos [u j, i = 1, 2,..., k] que poderiam gerar um conjunto particular de tempos de chegada. Daí: 6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 13 / 27

Retornando aos k subintervalos  (  j ) da eq.(3), a probabilidade de um T 1 cair em um subintervalo  (  1 ), de duração  1, que T 2 caia num subintervalo  (  2 ), de duração  2, e assim sucessivamente é dada pela f.d.p condicional conjunta escrita em (4), ou seja: Esse resultado é idêntico ao obtido em (3), completando nossa prova. Q.E.D 6 - TEMPOS DE CHEGADA NÃO-ORDENADOS MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 14 / 27

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7 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO Definição Suponha que excitamos aleatoriamente um operador linear com um processo de Poisson. Isto é, o processo aleatório que descreve o fenômeno de interesse, [X t, 0  t <+  ] pode ser escrito:  u j gera h(t- u j ) em um tempo t  N t descreve o nº de eventos que ocorreram em(0,t]  U j são os TCNO dos eventos que ocorreram em(0,t] Temos o chamado Processo de Poisson Filtrado. MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 16 / 27

7.2 - Valor Esperado de X t : 7 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO A média condicional E[X t | N t = k] é obtida tomando a média da soma: com relação aos tempos de chegada não-ordenados U 1, U 2,..., U k. MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 17 / 27

7 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO Resultados anteriores nos dão: MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 18 / 27

Ficando: Fazendo u = t-u j : 7 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO Substituindo (2) em (1), chegamos à esperança de X t : Q.E.D MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 19 / 27

7.3 - Distribuição de X t : Analogamente: Onde: 7 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 20 / 27

Substituindo o resultado acima em: 7 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 21 / 27

Relembrando a expansão da função exponencial em séries de potências: Q.E.D 7 - PROCESSO DE POISSON FILTRADO MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 22 / 27

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8 - PARTICIONAMENTO ALEATÓRIO Dado um Processo de Poisson Filtrado, [X t, 0  t <+  ], formamos um novo processo [Z t, 0  t <+  ] selecionando aleatoriamente apenas alguns dos eventos básicos. Isto é, se:  Têm P[Y j =1] = p e P[Y j =0] = 1-p = q  Mutuamente independentes  Independentes dos U j ’s O processo particionado é um Processo de Poisson Filtrado com taxa p vezes a taxa do processo básico. MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 24 / 27

Valor Esperado do novo processo Z t : A esperança condicional E[Z t | N t = k] é obtida tomando a média de ambas as v.a’s U 1, U 2,..., U k e as v.a’s Y 1, Y 2,..., Y k. 8 - PARTICIONAMENTO ALEATÓRIO MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 25 / 27

Substituindo (2) em (1): 8 - PARTICIONAMENTO ALEATÓRIO MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON - ALUNO JOÃO PAULO C. L. MIRANDA - PÁGINA 26 / 27

Pelo resultado anterior E[Z t ] = p E[X t ], ou seja, o valor esperado depois do particionamento aleatório é simplesmente p vezes o valor esperado antes do particionamento. Q.E.D MÉTODOS MATEMÁTICOS - PROCESSO DE POISSON -- PÁGINA 27 / PARTICIONAMENTO ALEATÓRIO