Engenharia Econômica Prof. Msc. Carlos Augusto Saadi Alem Aula 5 Curso de Tecnologia em Fabricação Mecânica 6º Período Segundo Semestre / 2011 Taxa Nominal e Taxa Efetiva

Introdução Algumas vezes, no intuito de fazer uma taxa parecer maior ou menor, utiliza-se uma taxa de juros “aparentemente correta”, ou seja, considera-se que a taxa de juros de um período maior (por exemplo 1 ano) poderia simplesmente ser dividida pela quantidade de períodos menores, que estão dentro do primeiro (exemplo 12 meses) e vice-versa. Antes de exemplificarmos melhor, vamos entender o que é “capitalização”:

Introdução Capitalização: Dizemos que os juros são capitalizados quando eles passam a incorporar o capital inicial (principal). Assim quando dizemos “capitalização mensal”, significa que mensalmente será aplicado juros sobre o principal, e será adicionado ao mesmo. Agora responda: O regime de capitalização dos juros simples é igual ao dos juros compostos? Não. No regime de capitalização a juros simples, os juros não são capitalizados. No regime de capitalização de juros compostos, sim.

Introdução Voltando agora ao início do nosso problema: O que é uma taxa de juros “aparentemente correta”?? É quando uma pessoa te fala: Vou emprestar dinheiro para você e vou te cobrar 60% ao ano, com capitalização mensal. Qual a taxa que “fica na sua cabeça”? 60% a.a. Então a pessoa divide 60 por 12 e te cobra 5% a.m. (60 / 12 = 5). Pelo que aprendemos até agora, você já pode perceber que isso não é correto. Nesse exemplo, qual a verdadeira taxa anual que está sendo cobrada de voce? (1+i) n - 1= (1+0,05) 12 -1= 79,59% a.a.

Taxa Nominal & Taxa Efetiva Assim, a essa taxa de 60% a.a.do exemplo, convencionou-se chamar de “taxa nominal”. De acordo com Crespo A.A. (2009): “Taxa Nominal é aquela cujo período de capitalização não coincide com aquele a que ela se refere.” Para a outra taxa, que temos estudados até agora, dá-se o nome de “taxa efetiva”.

Taxa Nominal & Taxa Efetiva Conversão de uma taxa nominal em efetiva: i = (1 + r/m) m – 1 Onde: i=taxa equivalente r=taxa nominal m=número de capitalizações no período Vamos utilizar essa fórmula para o exemplo dado anteriormente? i=? r=60 m=12 i=(1 + 0,6/12) 12 – 1 = 79,59%

Taxa Nominal & Taxa Efetiva Exemplo 7.1 (Fonte: Casarotto Filho, N; Kopittke, B.H., 2000) Qual a taxa efetiva anual de 30% a.a. com capitalização trimestral? i= (1 + r/m) m – 1 = (1 + 0,3/4) 4 -1 = 33,55% a.a. Exemplo 7.2: João contraiu uma divida de $ ,00 que deverá ser paga no final de 1 ano. O banco está trabalhando com a taxa de juros de 40% a.a. com capitalização mensal. Quanto João deverá pagar ao saldar a dívida? F=P*(1+i) n, mas i= (1 + r/m) m – 1 = (1 + 0,4/12) = 48,21% a.a., logo F=P*(1+i) n = *(1+0,4821) 1 F=$14.821,26

Taxa Nominal & Taxa Efetiva Conversão entre Taxas Efetivas: Existem também situações em que precisamos transformar taxas efetivas de diferentes períodos. Nesse caso, utilizamos a seguinte fórmula: i = (1 + i m ) m – 1 Onde: i=taxa do período maior i m =taxa do período menor m=número de vezes que o período menor ocorre no período maior. Analogamente temos: i m = (1 + i) 1/m – 1

Taxa Nominal & Taxa Efetiva Exemplo 7.3 Qual a taxa efetiva semestral equivalente a 12% ao mês? i= (1 + i m ) m – 1 = (1 + 0,12) 6 – 1 i= 97,38% a.s. Exemplo 7.4: Qual a taxa efetiva mensal equivalente a 10% ao ano? i m = (1 + i) 1/m – 1 = (1 + 0,1) 1/12 – 1 i mensal = 0,8% a.m.

Exercícios Exercício 7.1 (Fonte: Casarotto Filho, N; Kopittke, B.H., 2000) Qual a taxa equivalente mensal, de 42% ao ano capitalizada trimestralmente? Solução Primeiro: Achar a taxa efetiva anual (uma vez que a capitalização é trimestral) i = (1 + r/m) m – 1= (1 + 0,42/4) 4 – 1 = 49,09% a.a. Segundo: Converter de taxa efetiva anual para taxa efetiva mensal: i mes = (1 + i) 1/m – 1= (1 + 0,4909) 1/12 – 1= i mes = 3,38% a.m.

Exercícios Exercício 7.2 (Fonte: Casarotto Filho, N; Kopittke, B.H., 2000) Qual a taxa efetiva anual, de 24% ao semestre capitalizada mensalmente? Solução Primeiro: Achar a taxa efetiva semestral (uma vez que a capitalização é mensal) i = (1 + r/m) m – 1= (1 + 0,24/6) 6 – 1 = 26,53% a.s. Segundo: Converter de taxa efetiva semestral para taxa efetiva anual: i= (1 + i m ) m – 1 i ano = (1 + i sem. ) 2 – 1 = (1 + 0,2653) 2 – 1 i mes = 60,1% a.a.

Exercícios Exercício 7.3 (Fonte: Casarotto Filho, N; Kopittke, B.H., 2000) Uma companhia planeja depositar UM ,00 em um fundo no fim de cada ano, durante os próximos três anos. Se o fundo paga uma taxa de juros de 6,00% ao ano, com capitalização quadrimestral, quanto a companhia terá no fim do sexto ano?

Exercícios Solução A= , com n= 3 anos i nominal = 6% a.a, com capitalização quadrimestral F 6anos = ? Primeiro: Achar a taxa efetiva anual: i = (1 + r/m) m – 1 = (1+ 0,06/3) 3 -1= 6,1208% a.a. Segundo: Usar a relação F & A (para achar F no período n=3) F 3 =A*((1+i) n – 1)/i = *((1+0,061208) 3 –1)/0, F 3 = ,042 Terceiro: Usar a relação F & P (para transportar de n=3 para n=6) F 6 =P(1 + i) n = ,042(1+0,061208) 3 = ,27