Experimento Aleatório Experimento aleatório é um procedimento cujo resultado é incertoExperimento aleatório é um procedimento cujo resultado é incerto –Exemplos: Jogar uma moedaJogar uma moeda Sortear um número inteiro de um a cemSortear um número inteiro de um a cem Lançar um dadoLançar um dado

Espaço amostral (ou de probabilidades) O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório é o espaço amostral (S)O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório é o espaço amostral (S) –Jogar uma moeda S = {cara, coroa}S = {cara, coroa} –Sortear um número inteiro de um a cem S = {1,2,...,100}S = {1,2,...,100} –Lançar um dado S = {1,2,3,4,5,6}S = {1,2,3,4,5,6}

Evento Evento é qualquer subconjunto do espaço amostralEvento é qualquer subconjunto do espaço amostral –E = {cara} (sortear cara) –E = {25, 27, 26} (sortear no. entre 24 e 28) –E = {3, 5, 1} (lançar no. impar no dado)

União de eventos Ocorre quando pelo menos um dos eventos A e B ocorreOcorre quando pelo menos um dos eventos A e B ocorre A  B

Interseção de Eventos Ocorre quando os dois eventos A e B ocorrem simultaneamenteOcorre quando os dois eventos A e B ocorrem simultaneamente A  B

Complemento do evento Ocorre quando não ocorre o evento aOcorre quando não ocorre o evento aA’

Eventos mutuamente excludentes A e B são eventos mutuamente excludentes se a ocorrência de um deles ocorre, implica necessariamente na não-ocorrência do outro (i.e., não há elementos comuns entre eles) Exemplo: os resultados cara e coroa ao jogar uma moeda.Exemplo: os resultados cara e coroa ao jogar uma moeda.

Probabilidade (objetiva) Proporção de ocorrência de um eventoProporção de ocorrência de um evento Freqüência relativa:Freqüência relativa: (resultados favoráveis) / (resultados possíveis) Assume valores entre 0 e 1Assume valores entre 0 e 1

Probabilidade (subjetiva) Interpretação subjetiva: é uma estimativa do que o indivíduo pensa que seja a viabilidade de ocorrência de um evento.Interpretação subjetiva: é uma estimativa do que o indivíduo pensa que seja a viabilidade de ocorrência de um evento. –Exemplo: Há 30% de chance de chuva nas próximas 24 horas

Probabilidade da União Eventos mutuamente excludentes,i.e., P( A  B) =0Eventos mutuamente excludentes,i.e., P( A  B) =0 P(A  B) = P(A) + P(B) Eventos não excludentesEventos não excludentes P(A  B) = P(A) + P(B) - P ( A  B)

Probabilidade do complemento Complemento de A: qualquer evento que não seja AComplemento de A: qualquer evento que não seja A P(não A) = 1 – P(A), ou P(A’) = 1 – P(A)

Probabilidade Condicionada Probabilidade de um evento A, dado que aconteceu um outro evento BProbabilidade de um evento A, dado que aconteceu um outro evento B P(A | B) = P ( A  B) / P(B)

Probabilidade da Interseção Ocorrência simultânea de A e BOcorrência simultânea de A e B P ( A  B) = P(A | B) * P(B)

Eventos independentes A e B são independentes se a ocorrência de um deles não altera a probabilidade de ocorrência do outro. Formalmente:A e B são independentes se a ocorrência de um deles não altera a probabilidade de ocorrência do outro. Formalmente: P(A | B) = P ( A) Pela expressão anterior, se A e B são independentes:Pela expressão anterior, se A e B são independentes: P ( A  B) = P(A).P(B) –Note que neste caso A  B denota a possibilidade de ocorrência simultânea dos dois eventos

Exercício: Cálculos com probabilidade União e interseção de eventos; probabilidade condicional Exercício em planilha de cálculo

Variável aleatória O resultado de um experimento aleatório é designado variável aleatória (X)O resultado de um experimento aleatório é designado variável aleatória (X)

Função densidade de probabilidade A função densidade de probabilidade associa cada possível valor da variável aleatória (X) à sua probabilidade de ocorrência P(X)

Tipos de Variável Aleatória Variável aleatória discretaVariável aleatória discreta –Os resultados possíveis são finitos e podem ser enumerados (jogadas de moedas, dados, etc.) Variável aleatória contínuaVariável aleatória contínua –Os resultados possíveis são infinitos e não podem ser enumerados (ex.: peso, altura, rendimento, saldo, duração de percurso, etc.)

Cálculos com distribuições de probabilidade Distribuição binomialDistribuição binomial Distribuição normalDistribuição normal

Distribuição Binomial (discreta) De cada 5 clientes que entram numa certa loja, 2 realizam uma compra.De cada 5 clientes que entram numa certa loja, 2 realizam uma compra. P(compra) = P(C) = 0,40 Qual a probabilidade dos dois primeiros clientes realizarem compras?Qual a probabilidade dos dois primeiros clientes realizarem compras? S = {(CC), (CC’), (C’C), (C’C’)}

Binomial: forma geral E se quisermos saber as probabilidades de X compras dos 10 primeiros clientes? Ou dos 100 primeiros?E se quisermos saber as probabilidades de X compras dos 10 primeiros clientes? Ou dos 100 primeiros? P(x) = C n, x p x q (n-x) Onde C n,x = n! / (x!(n-x)!) p = probabilidade de sucesso q = (1 –p) = probabilidade de insucesso

Binomial: parâmetros Para uma variável com probabilidade de sucesso p, em n tentativas:Para uma variável com probabilidade de sucesso p, em n tentativas: Média  = npMédia  = np Desvio-padrão  = (npq) 1/2Desvio-padrão  = (npq) 1/2

Exercício: distribuição binomial Funções de planilha: Função DISTRBINOM

Distribuição Normal

Expressão formalExpressão formal

Distribição Normal: propriedades Área total sob a curva é 1Área total sob a curva é 1 Cálculos de probabilidades dentro de intervalos (distr. Contínua)Cálculos de probabilidades dentro de intervalos (distr. Contínua) P(a  X  b) é a área sob a curva entre a e bP(a  X  b) é a área sob a curva entre a e b Distribuição simétrica:Distribuição simétrica: –P(X  a) = P(X  -a) –P(X<μ) = 0,50 = 50%

Distribição Normal: mais propriedades P(a  X  b) = P(X  b) - P(X  a)P(a  X  b) = P(X  b) - P(X  a) –Figura Maior concentração de freqüências no centro da distribuiçãoMaior concentração de freqüências no centro da distribuição Cálculo das probabilidades notáveis sob a curva normal: função DIST.NORMCálculo das probabilidades notáveis sob a curva normal: função DIST.NORM –(11dist.prob)

Normal Reduzida Antes dos aplicativos de estatística, cálculos da distribuição normal eram feitos com uma tabelaAntes dos aplicativos de estatística, cálculos da distribuição normal eram feitos com uma tabela Essa tabela dava os valores da normal reduzida ou padronizadaEssa tabela dava os valores da normal reduzida ou padronizada –Média zero –Variância e desvio-padrão 1 Hoje a normal reduzida não é mais tão necessária, mas ajuda a perceber os valores notáveisHoje a normal reduzida não é mais tão necessária, mas ajuda a perceber os valores notáveis

Normal Reduzida

Exercício Braule: 11exercícios BrauleBraule: 11exercícios Braule Cálculo das probabilidades notáveis sob a curva normal: função DIST.NORMCálculo das probabilidades notáveis sob a curva normal: função DIST.NORM