Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre

Reflexão e Transmissão de Ondas em Interfaces Dielétricas Planas Qualquer componente prático, seja um modulador, um guia de ondas, um acoplador direcional, etc. Deve ter dimensões finitas Em termos das propriedades eletromagnéticas, pode ser descrito como variações nas constantes dielétricas ou do índice de refração em função das coordenadas espaciais. Para entender como um dispositivo opera, devemos entender como a variação espacial nas constantes dielétricas modificam as propriedades da radiação propagando-se dentro do dispositivo. A forma mais simples pode ser a descontinuidade entre dois meios com diferentes propriedades dielétricas.

Condições de Contorno nas Interfaces As condições de contorno nas interfaces mostradas nas figura 1. são obtidas diretamente das equações de Maxwell. meio 1 meio 2 Figura 1. Geometria para obter as condições de contorno As componentes tangencias dos campos elétricos e magnéticos devem ser iguais na interface entre dois meios.

Reflexão e Transmissão de Ondas Planas em Interfaces Dielétricas Região 1 Região 2 Figura 1. Onda plana incidindo desde a região 1 para a região 2

Os vetores de onda são: Condições de continuidade requerem que os campos elétricos e magnéticos sejam contínuos através da fronteira x = 0 Isto implica que,

Esta equação tem que ser satisfeita em todos os pontos sobre a interface, ou seja para todos os valores de y e z. Observe que a especificação de um ponto (y,z) resulta numa equação com as variáveis desconhecidas Ar, At, kry, krz, kty e ktz Especificando suficientes pontos para ter mais equações do que variáveis, resulta num sistema inconsistente. A única solução não trivial requer que as componentes tangenciais dos vetores de onda sejam iguais: Estas relações são conhecidas como requerimentos de casamento de fase. Isto significa que os vetores de onda das ondas incidente, refletida e transmitida estão no mesmo plano. Sem perda de generalidade, podemos girar o sistema de coordenadas para que todos os três vetores de onda estejam no plano xz como mostrado na figura 3. O plano xz é chamado de plano de incidência e não deve ser confundido com o plano yz que é o plano de interface e separa as regiões 1 e 2.

Região 1 Região 2 Figura 3. Orientação relativa entre os vetores de onda incidente, refletido e transmitido.

Desta forma as componentes podem ser escritas em função dos ângulos incidente, refletido e transmitido: Onde:

É importante observar que as componentes x do vetor de onda das ondas incidente e transmitidasão negativos pois, como mostrado na figura 3, as ondas viajam na direção x negativa. Para que as componentes tangenciais ou as componentes z dos vetores de onda sejam iguais, tem-se: Isto significa que o ângulo da onda incidente deve ser igual ao ângulo da onda refletida e o ângula da onda transmitida pode ser obtido como: No caso específico de materiais não magnéticos, esta relação é conhecida como a Lei de Snell.

Exemplo: Uma onda plana incide desde o espaço livre, região 1, na região 2 que tem m = m0 e = 2e0.. O vetor de onda incidente é Escreva a dependência da onda em função de x e z. Qual é o vetor de onda transmitido? Solução:

Exemplo: Uma onda plana incide desde o espaço livre, região 1, na região 2 que tem m = m0 e = 2e0.. O vetor de onda incidente é Escreva a dependência da onda em função de x e z. Qual é o vetor de onda transmitido? Solução: (a) (b) A componente em z do vetor de onda transmitido é conhecido pois

Plano de incidência: plano formado pelos vetores n e k. Incidência Oblíqua E k H n Plano de incidência: plano formado pelos vetores n e k.

Transversal Magnético Incidência Oblíqua: Polarização Transversal Elétrico (TE) Senkrecht Polarized (s) Transversal Magnético (TM) Plane Polarized (p) E E

Incidência Oblíqua: Considerações Neste caso, percebe-se que independente do ângulo de incidência, a componente tangencial (z) estará no intervalo [ 0, k1 ] para incidência normal e rasante, respectivamente. Todos os vetores de onda serão reais. Então sempre haverá onda transmitida

Incidência Oblíqua: Considerações Neste caso, percebe-se que existirá um ângulo de incidência no qual, a componente tangencial (z) será igual ou maior que k2. Assim, a componente k2x será imaginária Quando a componente tangencial é maior do que k2, não existe onda propagante na região 2, o que se tem é uma onda evanescente (exponencial decrescente).

Incidência Oblíqua: Polarização TE meio 1 x x = 0 z meio 2 16

Incidência Oblíqua: Polarização TE Campo Elétrico Tangencial na Região 1 Campo Magnético Tangencial na Região 1 17

Incidência Oblíqua: Polarização TE Campo Elétrico Tangencial na Região 2 Campo Magnético Tangencial na Região 2 18

Incidência Oblíqua: Polarização TE Para determinar as incógnitas Er0 e Et0, devemos aplicar as condições de contorno em x = 0: Considerando que k1z = k2z 19

Coeficientes de Reflexão e Transmissão Definindo o coeficiente de reflexão como: Definindo o coeficiente de transmissão como: 20

Incidência Oblíqua: Polarização TE

Incidência Oblíqua: Polarização TE

Incidência Oblíqua: Polarização TE

Incidência Oblíqua: Polarização TE

Incidência Oblíqua: Polarização TE

EXEMPLO Determine o coeficiente de reflexão para uma onda plana com polarização TE incidindo com um ângulo de 30º desde uma região com μ1=μ0 e ε1= 2ε0 numa região com μ1=μ0 e ε1= ε0 Solução:

Incidência Oblíqua: Polarização TM meio 1 x x = 0 z meio 2 27

Incidência Oblíqua: Polarização TM Campo Magnético Tangencial na Região 1 Campo Elétrico Tangencial na Região 1 28

Incidência Oblíqua: Polarização TM Campo Magnético Tangencial na Região 2 Campo Elétrico Tangencial na Região 2 29

Incidência Oblíqua: Polarização TM Para determinar as incógnitas Er0 e Et0, devemos aplicar as condições de contorno em x = 0: Considerando que k1z = k2z 30

Coeficientes de Reflexão e Transmissão Definindo o coeficiente de reflexão como: Definindo o coeficiente de transmissão como: 31

Incidência Oblíqua: Polarização TM

Incidência Oblíqua: Polarização TM

Incidência Oblíqua: Polarização TM

Incidência Oblíqua: Polarização TM

Incidência Oblíqua: Polarização TM

Coeficientes de Reflexão e Transmissão em função dos vetores de onda Polarização TE: Polarização TM: 37

Análise: Polarização TE ou TM Considerando meios não magnéticos temos então: Desta forma, Lei de Snell Considerando o caso, Observa-se que se existe um ângulo de incidência θi no qual θt = 90 Isto acontece quando: , nesse caso temos reflexão total.

Análise: Polarização TM Considerando meios não magnéticos temos então: Desta forma, Considerando os dois casos, O numerador de G será nulo se: Isto acontece quando: , conhecido como ângulo de Brewster

Análise: Polarização TM

Coeficientes de Reflexão e Transmissão na Reflexão Total Interna Polarização TM: Polarização TE: 41

MODOS TE; Perpendicular ou s e2/e1 = 3 / 2 e2/e1 = 2 / 3 MODOS TM; Paralelo ou p e2/e1 = 3 / 2 e2/e1 = 2 / 3

Incidência Normal x Plano incidência xz Plano interface yz z meio 1 43

Incidência Normal Onda incidente conhecido 44

Incidência Normal Onda refletida desconhecido 45

Incidência Normal Onda transmitida desconhecido 46

Incidência Normal Campo Elétrico Total na Região 1 Campo Magnético Total na Região 1 47

Incidência Normal Campo Elétrico Total na Região 2 Campo Magnético Total na Região 2 48

Incidência Normal Para determinar as incógnitas Er0 e Et0, devemos aplicar as condições de contorno em x = 0: Da geometria do problema, o campo elétrico e magnético total nas duas regiões são tangenciais ao plano yz 49

Incidência Normal Das condições de contorno, obtem-se: colocando em evidência Er0 e Et0 50

Coeficientes de Reflexão e Transmissão Definindo o coeficiente de reflexão como: Definindo o coeficiente de transmissão como: 51

Coeficientes de Reflexão e Transmissão Observar que As definições dos Coeficientes de Reflexão e Transmissão se aplicam também no caso de meios com perdas. Em meios sem perdas, R e T são reais. Em meios com perdas, R e T são complexos. 52

Ondas Viajantes e Ondas Estacionárias O campo total no meio 1 é parcialmente uma onda propagante e parcialmente uma onda estacionária. O campo total no meio 2 é apenas onda propagante. 53

Ondas Viajantes e Ondas Estacionárias O campo elétrico total no meio 1 é dado por, onda propagante onda estacionária 54