1.4 - Limites de Expressões Indeterminadas Cálculo 1 1.4 - Limites de Expressões Indeterminadas Elano Diniz

Cálculo 1 - Limites Para o cálculo do limite de uma função basta substituir o valor para o qual x está tendendo (valor genérico “a”) na expressão da função f(x). No entanto, esta regra falha, algumas vezes (nem sempre) para funções racionais. Isto acontece quando se faz a substituição direta de x por seu valor de tendência e encontra-se indeterminação (0/0 ou b/0 ou / ou /0). Veja os casos nos slides seguintes.

Cálculo 1 - Limites Regras adicionais 1ª Regra: Para funções racionais cujos numeradores e denominadores são 0 quando se substitui x por a (valor de tendência). Neste caso, tanto o polinômio do numerador quanto o do denominador devem ser divididos por (x - a). Após esta simplificação, faz-se a substituição de x por a. Indeterminação

Cálculo 1 - Limites Regras adicionais Indeterminação 2ª Regra: Quando somente o denominador for 0 na substituição direta de x, calcula-se os limites laterais. O limite existirá somente se os limites laterais forem iguais. Indeterminação Portanto o limite não existe

Cálculo 1 - Limites Regras adicionais 3ª Regra: Quando se tem uma função polinomial ou uma função racional, os limites destas funções, quando x tende para +∞ ou -∞ , são calculados com base no termo de maior ordem, veja os exemplos abaixo. 1o exemplo (função racional): 2o exemplo (função polinomial):

Cálculo 1 - Limites Expressões indeterminadas Considere o seguinte limite: Se fôssemos resolver de acordo com as ferramentas já conhecidas chegaríamos ao seguinte resultado:

Cálculo 1 - Limites Expressões indeterminadas Mas vejamos o gráfico desta função: x f(x) 2,7 24,39 2,8 25,24 2,9 26,11 L 3,0 27 3,1 27,91 3,2 28,84 3,3 29,79

Cálculo 1 - Limites Apesar da função não estar definida no ponto x = 3, quando nos aproximamos de x = 3, f(x) se aproxima de 27. Portanto: Mas como se resolve a equação algébrica de modo a chegar a este valor?

Cálculo 1 - Limites Com os PRODUTOS NOTÁVEIS!!! Neste exemplo, Logo, podemos reescrever a função do seguinte modo: Basta então calcular:

Cálculo 1 - Limites Produtos Notáveis!!! Diferença de quadrados Exemplos:

Não confundir o quadrado da diferença (a - b)2, com a diferença Cálculo 1 - Limites Trinômio quadrado perfeito Exemplos: Não confundir o quadrado da diferença (a - b)2, com a diferença de quadrados a2 - b2.

Cálculo 1 - Limites Soma e Diferença de Cubos Exemplos:

Cálculo 1 - Limites Cubo perfeito Exemplos: Não confundir o cubo da soma (a + b)3, com a soma e cubos a3 + b3; Nem o cubo da diferença (a - b)3, com a diferença de cubos a3 - b3.

Cálculo 1 - Limites Limite de f(x) quando x tende a “mais infinito” Considere, por exemplo, a função Perceba que, quando x tende a +, isto é, quando x cresce indefinidamente, os valores a função f(x) tendem a se aproximar cada vez mais de 0.

Cálculo 1 - Limites Os símbolos +  e -  , não representam números reais, não podendo ser aplicadas a eles, portanto, as técnicas usuais de cálculo algébrico. Dado b  IR, teremos as seguintes igualdades simbólicas: b + (+  ) = +  b + ( -  ) = -  (+  ) + (+  ) = +  (-  ) + (-  ) = -  (+  ) + (-  ) = nada se pode afirmar inicialmente. O símbolo  - , é dito um símbolo de indeterminação. (+  ) . (+  ) = +  (+  ) . 0 = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.  /  = nada se pode afirmar inicialmente. É uma indeterminação.

Cálculo 1 - Limites Exemplo: Calcule o limite, se existir, de: Não basta apenas substituir “x” por “”, pois ao fazer isto, teria uma indeterminação do tipo

Cálculo 1 - Limites Portanto, o método aqui consiste em dividir o numerador e o denominador por x: Para calcular o limite de f(x) quando x tende a menos infinito, o raciocínio é análogo.