O problema da Minimização Min Z= 3x1 -4x2 + x3 x1+x2+x3<=10 2x1+x2-x3<=20 Afrânio Murolo Pesquisa Operacional

Modelo Equivalente Maximizar ( -Z ) = -3x1 +4x2 –x3 sa: x1+x2+x3 <= 10 2x1+x2-x3<=20 x1,x2,x3>=0

Problema da variável livre Se alguma variável do modelo não possuir a condição de não negatividade, podemos substituí-la pela diferença de outras variáveis não negativas. Um número qualquer pode ser escrito como a diferença de dois números positivos. Max Z = x1 + 2x2 + x3 sa: x1 + x2 + x3 < = 10 2x1 + 3x2 <= 20 X1>=0 , x2 livre

Variável livre X2 livre, logo X2 = X4 - X5 ( ambos >= 0) Substituindo no modelo anterior, temos o modelo equivalente: Max X1 + 2X4 – 2X5 + X3 sa : x1 + x4 –x5 + x3 <= 10 2x1 + 3x4 -3x5 <= 20 X1 >= 0, x4>= 0 , x5>= 0, x3 >=0

Método Simplex Modelos estudados até o momento se utilizaram de restrições do tipo <= cm os termos de b ( a direita positivos ). Novo Problema : 1) Restrição do tipo >= Neste caso a variável de folga é subtraída e seu valor é negativo. 2) Restrição do tipo = Neste caso não introduziremos a variável de folga. 3) Para as situações 1 e 2 acrescentaremos variáveis auxiliares ai , formando um novo modelo

Exemplificação Max Z = x1 + x2 + x3 2X1+ X2 + X3 <= 10 A) Introduzindo as variáveis de folga: 2X1+ X2 + X3 + XF1 = 10 X1 + X2 + 2X3 - XF2 = 20 2X1 + X2 + 3X3 = 60

B) Introduzindo as variáveis auxiliares ai ( a2 e a3), correspondentes às 2ª e 3ª restrições do tipo ( >= e = ), respectivamente. 2X1+ X2 + X3 + XF1 = 10 X1 + X2 + 2X3 - XF2 + a2 = 20 2X1 + X2 + 3X3 +a3 = 60 C) Reescrevendo a função Objetivo pelo método do M grande. Neste caso, acrescentamos as variáveis auxiliares com coeficientes –M2 e –M3, sendo M2 e M3 números grandes. Z = X1 + X2 + X3 ( original) Z = X1 + X2 + X3 -M2a2 - M3a3 ( M grande ) Exemplo

Método do M grande Z = X1 + X2 + X3 -M2a2 - M3a3 ( M grande ) O modelo passa a ser maximizado á medida que z cresce e por conseqüência as variáveis auxiliares A2 e a3 deixam a base. Modelo auxiliar (M grande ) Max Z = X1 + X2 +X3 -M2a2 - M3a3 2X1+ X2 - X3 + XF1 = 10 X1 + X2 + 2X3 - XF2 + a2 = 20 2X1 + X2 + 3X3 +a3 = 60

Solução básica inicial : variáveis básicas XF1=10 , a2=20 , a3=60 e todas as outras variáveis não básicas todas nulas ( x1=0, x2=0, x3=0 e XF2=0 Z X1 X2 X3 XF1 XF2 a2 a3 b 1 -1 M2 M3 2 10 20 3 60

Retorno ao Modelo Original 1)Deveremos nesta modelagem eliminar as variáveis auxiliares ( a2 e a3 ) 2)Retornar ao modelo original que apresenta solução básica, composto pelas variáveis originais. 3)Variáveis básicas ( coeficientes nulos na linha de Z) variáveis não básicas ( coeficientes diferentes de zero na linha de Z)

Quadro inicial para a nova solução: Vb ( XF1=10,a2=20,a3=60) e VNB (x1=x2=x3=XF2=0) Z X1 X2 X3 XF1 XF2 a2 a3 b 1 -1 M2 M3 2 10 20 3 60

Cálculo da Nova solução Variável que entra na base é X3 ( coef. ( -1) ) Neste caso escolhemos qq uma das variáveis. variável que sai : 10 : -1 = -10 20 : 2 =10 sai variável da 3ª linha 60 : 3 = 20 LP: 3ª linha ; pivô =2 NLP = LP / 2 = 0 0,5 0,5 1 0 -0,5 0,5 0 10

Nova solução:CÁCULO DA NOVA 1ª LINHA NLP 0,5 1 -0,5 10 X (1) + 1ª linha -1 M2 M3 S=nova 1ª linha

Cálculo da nova 2ª linha: coficiente da variável que entra ( X3) é - 1 NLP 0,5 1 -0,5 10 X( 1) +2ª l 2 -1 S 2,5 1,5 20

Novo quadro incluindo todas as linhas Z x1 x2 x3 XF1 XF2 a2 a3 b 1 -0,5 M2 M3 2,5 1,5 0,5 20 10 -1,5 30

Solução: Variáveis básicas: X3=10 XF1= 20 e a3=30 Variáveis não básicas X1=X2=XF2=a2=0 Z=10 O processo terá continuidade, pois a2 e a3 continuam na base

Cálculo da nova solução Variável que entra: entra XF2 ( coeficiente -0,5) Variável que sai : 20 / - 0,5 = -40 não 10 / -0,5 = - 20 não 30 / 1,5 = 20 ----- sai variável da quarta linha. LP : 4ª linha Pivô : 1,5 NLP ( já / por 1,5) 0 0,333 - 0,333 0 0 1 -1 0,667 20ida A partir deste instante todos os cálculos incluem seqüências já conhecidas pelo estudante.

Novo quadro considerando todas as novas linhas Z x1 x2 x3 XF1 XF2 a2 a3 b 1 -0,333 -0,667 M2 M3 20 2,667 1,333 0,333 30 0,667 -1 0,67

Solução do quadro anterior VB : X3 = 20 XF1 =30 XF2 = 20 VNB : X1=X2=a2=a3=0 Como a2= a3= 0, logo A solução básica é formada pelas variáveis originais. Portanto podemos abandonar as variáveis a2 e a3 auxiliares.

Variáveis auxiliares excluídas, a2=a3=0 Z x1 x2 x3 XF1 XF2 b 1 -0,333 -0,667 20 2,667 1,333 0,667 0,333

Cálculo da solução ótima Observando o quadro anterior verifica-se: Variável que entra X2 coeficiente -0,667 ) Variável que sai : 30/ 1,3333 = 22,5 sai var. de 2ª linha XF1 Lp: segunda linha Pivô : 1,3333 NLP( LP/1,333) : 0 2 1 0 0,75 0 22,5 Os passo seguintes envolvem os cálculos da 1ª , 3ª e 4ª linhas:

Quadro final do modelo otimizado x1 x2 x3 XF1 XF2 b 1 0,5 35 2 0,75 22,5 -0,25 12,5 0,25 27,5

Solução ótima A solução é ótima VB : X2 = 22,5 X3 = 12,5 XF2 = 27,5 VNB : X1 = 0 XF1 = 0 Z = 35 A solução é ótima

Digitação do programa Max x1 + x2 + x3 2x1 + x2 - x3 <= 10 Min = Minimização

Quadro inicial do software ----- ITERAÇÃO 0 DA FASE I ******* SOLUÇÃO BÁSICA ******* F1 = 10 A2 = 20 A3 = 60 ##### W = -80 VARIÁVEIS : X1 X2 X3 F1 F2 A2 A3 F.OBJETIVO: -3 -2 -5 0 1 0 0 RESTR. 1 : 2 1 -1 1 0 RESTR. 2 : 1 1 2 0 -1 1 0 RESTR. 3 : 2 1 3 0 0 0 1 VARIÁVEL ENTRANTE : X3 VARIÁVEL SAINTE : A2

Quadro final utilizando programa ******* SOLUÇÃO BÁSICA ******* X2 = 45/2 X3 = 25/2 F2 = 55/2 ##### Z = 35 VARIÁVEIS : X1 X2 X3 F1 F2 F.OBJETIVO: 1 0 0 1/2 0 RESTR. 1 : 2 1 0 3/4 0 RESTR. 2 : 0 0 1 -1/4 0 RESTR. 3 : 1 0 0 1/4 1 A ÚLTIMA SOLUÇÃO É ÓTIMA

Análise Econômica No programa de produção para o próximo período, a empresa Beta Ltda. , escolheu Três produtos P1,P2 e P3. O Tableau a seguir mostra os valores solicitados por unidade de produção.

Análise Econômica: Modelo Produto Contribuição Lucro/unidade. Horas de trabalho Horas de Uso de máquina Demanda Máxima P1 2.100 6 12 800 P2 1.200 4 600 P3 2

Modelo de Produção Os preços de venda foram fixados por decisão política e as demandas foram estimadas tendo em vista esses preços. A firma pode obter um suprimento de 4.800 horas de trabalho durante o período de processamento e pressupõe-se usar três máquinas que podem prover 7.200 horas de trabalho. Estabelecer um programa ótimo de produção para o período.

Modelagem da programação da produção A) Modelo linear: VD: x1=qtde de produção de P1 x2=qtde de produção de P2 x3=qtde de produção de P3 Objetivo é maximizar o L =2100x1 + 1200x2 + 600x3 sa : HT) 6x1 + 4x2 + 6x3 + xF1 =4800 HM) 12x1 + 6x2 +2x3 +xF2 =7200 DM) x1 + xF3 = 800 DM) x2 +xF4 =600 DM) x3 +xF5 =600

Variáveis de Folga XF1 = sobra de recursos de horas de trabalho Xf2 = sobra de recursos de hora/máquina XF3=sobra de recurso mercado P1 XF4=sobra de recurso mercado P2 XF5=sobra de recurso mercado P3

Quadro inicial do simplex Z x1 x2 x3 xF1 xF2 xF3 xF4 xF5 b 1 -2100 -1200 -600 o 6 4 4800 12 2 7200 800 600

Quadro final: solução ótima Z x1 x2 x3 xF1 xF2 xF3 xF4 xf5 b 1 50 150 100 1.380.000 0,2 -0,1 -0,2 120 -0,03 0,1 -0,47 280 0,03 0,47 520 600 480

Quadro final otimizado 1) apresenta VB e VNB 2)A função Objetivo está escrita em termos das variáveis não básicas 3) vb (coefs. Nulos) 4)O valor das variáveis básicas estão na coluna b 5) ) O coeficiente da variável não básica na fç objetivo mede a tendência do objetivo para aquela variável É um valor marginal, indica a variação proporcional no objetivo para pequenos aumentos ou diminuições unitárias na variável.

Posteriormente, em análise de sensibilidade poderemos verificar até quantas unidades podemos aumentar ou diminuir da variável, sem alterar a informação contida em seu coeficiente. Esses coeficientes são chamados de preços de oportunidade. No quadro final, a solução é ótima. Um aumento de zero para 1 na variável não básica prejudica o objetivo: Lucros diminuem Custos aumentam

Solução Otimizada X1= 280 unidades de P1 X2= 600 unidades de P2 Recursos disponíveis após o programa: 520 unidades do mercado P1 :( Dm=800)-(x1=280)=520 0 unidades do mercado P2 : (Dm=600)-(x2=600)=0 120 unidades do mercado P3: (Dm=600)-(x3=120)=480

Z x1 x2 x3 xF1 xF2 xF3 xF4 xF5 b 1 50 150 100 1380000 XF1 = 50 - é igual ao preço de oportunidade do recurso “ horas de trabalho” ( coeficiente de XF1 no quadro = 50) e indica que: Se conseguirmos mais uma hora de trabalho aos custos correntes poderemos aumentar nosso lucro em 50, isto é, poderemos obter uma nova solução ótima com lucro de 13.080.050. Se uma hora a mais de trabalho acarreta o pagamento de adicional extra,o valor 50 indica o limite máximo deste adicional

Análise de xF1 Exemplificando: se o adicional for de 20, a nova hora de trabalho implicará uma nova solução com lucro de 30 a mais que o anterior, determinando um lucro de $13.080.030 Se houver falta de uma hora de trabalho, o lucro fica diminuído em 50, caso não haja alteração no custo. Se esta falta de 1 hora de trabalho, for caracterizada pela ausência de um funcionário que não terá sua hora descontada, deve-se acrescentar este prejuízo causado por sua ausência

Análise de xF2 O preço de oportunidade do recurso “ horas de máquina” ( coeficiente de xF2 = 150), indica que: Uma hora a menos de máquina, o que equivale a dizer xF2 = 1, acarreta uma diminuição no lucro de $ 150. Portanto a nova solução ótima nesse caso seria de 13.079.850. Uma hora a mais de máquina a ser contratada, adicionada aos custos correntes, significa um acréscimo de $ 150 no lucro : No caso de aluguel de uma hora máquina de terceiros, o preço de oportunidade 150 indica o máximo que podemos pagar pelo aluguel além de nosso custo corrente.

Análise de xF1( recurso hora máquina) Exemplificando: Se nosso custo corrente for de $ 500, então alugar uma hora máquina por menos de $ 650 tende a aumentar cada vez mais nosso lucro. Esse aumento de lucro corresponde à diferença entre $ 650 e o valor do aluguel. ( pv = pc + L ) Pv = 500 + 150 = 650 ou l =pv – pc =650 – 500 = 150 Aluguel = 60$ L = pv – pc = 650 – ( 500+60) =$90

Xf3( preço de oportunidade do recurso “mercado de P1” O coeficientes xF3 = 0 indica que este recurso não é escasso. O mesmo ocorre com o preço de oportunidade do recurso “ mercado de P3 ( xF5=0). Isto nos leva a rever os investimentos nos mercados desses dois produtos: P1 --- Dm = 800 u e P3 --- Dm = 600 u X1= 280 u x2= 120 u Observação:Folgas não proporcionam lucro Recursos disponível Recursos disponível XF3= 520 unidades de P1 XF5 = 480 unidades de P3

XF3 (P1) e XF5(P3) Uma diminuição desses investimentos com conseqüente diminuição no mercado destes produtos ( p1 e P3) não afetará nossas vendas , causando um aumento nos lucros. Dm P1 <=800 e DM P2<=600 Lembrando que : XF1=520 e XF3 =480 sobra de recursos ( ociosidade ). Outra forma de aumentar o lucro destes produtos seria aumentar o preço de venda dos mesmos, diminuindo os mercados correspondentes sem afetar as vendas, desde que o mercado não diminua aquém da produção

XF4(Preço de oportunidade da unidade de recurso”mercado P2” Lembrando que x1=600 D<=600 , logo XF4 = 0. O aumento de 1 unidade desse mercado, acarreta um aumento de $ 100 no lucro, isto é , a nova solução seria de 1.380.100 Da mesma forma, o cancelamento de 1 unidade na compra implica em um prejuízo de $ 100, além do custo normal da unidade deste produto. Observação : O departamento de MKT estima em 80$ o investimento adicional para aumentar em uma unidade o mercado deste produto P2, logo : RL ou RSI = 100 – 80 = $ 20

Custos Custos correntes :também denominados custos de reposição. Representam o custo necessário para repor um item no local. Custos primários ou diretos : estão associados diretamente à produção, sendo aqueles incluídos de forma objetiva no cálculo dos produtos ou serviços comercializados. Consistem nos materiais diretos usados na fabricação do produto e mão- de -obra direta. Ex: aço para fabricar chapas, salários de operadores, etc ( são mensuráveis )

Utilizando o programa Max 2100x1 + 1200x2 + 600x3

Solução Ótima ----- ITERAÇÃO 3 DA FASE II ******* SOLUÇÃO BÁSICA ******* X3 = 120 X1 = 280 F3 = 520 X2 = 600 F5 = 480 ##### Z = 13

Solução Ótima do tableau VARIÁVEIS : X1 X2 X3 F1 F2 F3 F4 F5 F.OBJETIVO: 0 0 0 50 150 0 100 0 RESTR. 1 : 0 0 1 1/5 -1/10 0 -1/5 0 RESTR. 2 : 1 0 0 -1/30 1/10 0 -7/15 0 RESTR. 3 : 0 0 0 1/30 -1/10 1 7/15 0 RESTR. 4 : 0 1 0 0 0 0 1 0 RESTR. 5 : 0 0 0 -1/5 1/10 0 1/5 1 A ÚLTIMA SOLUÇÃO É ÓTIMA