Geometria projetiva e suas aplicações em visão Marcelo Gattass Departamento de Informática PUC-Rio

Sumário Parte I: Linhas e pontos Transformações Cônicas

Retas y reta = x

Representação homogênea de retas y x representam a mesma reta

Ponto y y x x

Representação homogênea de pontos y y x x

Graus de liberdade (dof) das retas y n m 1 x 2 d.o.f.

Pontos a partir de linhas interseção

Exemplo

Linhas a partir de pontos

Exemplo

Pontos e linhas no infinito Interseção de linhas paralelas: ponto ideal (no ∞)

Linha do horizonte

Representação do P2 x3 y x x2 x3=1 ponto ideal x1

Princípio da dualidade no P2 Para qualquer teorema de geometria projetiva no P2 existe um teorema dual que pode ser derivado dele trocando os pontos por linhas e vice-versa.

Transformação projetiva Definição: Uma projetiva (projectivity) é um mapeamento inversível h(x) de P2 em si mesmo, tal que três pontos x1,x2,x3 estão numa mesma linha se e somente se h(x1),h(x2),h(x3) também estão. Um mapeamento h:P2P2 é projetivo se e somente se existe uma matriz não singular 3x3 H para todo ponto x do P2 é verdade que h(x)=Hx Teorema: Definição: Transformação projetiva ou 8DOF projetiva, colinerização, transformação projetiva, homografia

Mapeamento entre planos x1 ’  x x’ x3 y y’ x2 x Projeção central x’

Remoção de distorção Selecione quatro pontos conhecidos (linear em hij) (2 equações/ponto, 8DOF  4 são nescessários) Obs.: não é uma calibração, existem maneiras melhores (a seguir)

Mais exemplos

Tranformações de linhas e pontos Transformação de pontos Transformação de linhas

Resumo: Dada uma transformação projetiva de pontos As linhas se transformam em: As cônicas em (a ser visto): As cônicas duais (a ser visto):

Uma hierarquia de transformações Grupo projetiva linear Grupo afim (última linha(0,0,1)) Grupo Euclideano (sup esq 2x2 ortogonal) Grupo Euclideano orientdo (sup esq 2x2 det 1) Alternativa, caracterizar transformações em termos dos elementos ou quantidades preservadas ou invariantes e.x. Transformações Euclideanas preservam distancias

(iso=mesma, metric=medida) Classe I: Isometrias (iso=mesma, metric=medida) mesma orientação: invertem a orientação: 3DOF (1 rotação, 2 translações) casos especiais: rotação pura, translação pura Invariantes: comprimento, ângulo, área

Classe II: Similaridades (isometria + escala) 4DOFs (1 escala, 1 rotação, 2 translações) também conhecidas como equi-form (preservam forma) estrutura métrica = estrutura a menos de escala (literatura) Invariantes: razão de comprimentos, ângulos, razão de áreas, linhas paralelas

Classe III: Transformações Afim onde 6DOF (2 escala, 2 rotações, 2 translações) escala anisotrópic! (2DOF: razão de escala e orientação) Invariantes: linhas paralelas, razão de segmentos paralelos, razão de áreas

Transformada afim e projetiva da linha no infinito Linha no infinito permance lá mas pontos se movem. Linha no infinito se torna finita e podemos observar pontos de fuga, horizontes.

Classe VI: Transformação projetiva 8DOF (2 escalas, 2 rotação, 2 translação, 2 linhas no infinito) Invariantes: razão-cruzadas de quatro pointos numa linha (razão de razão)

Decomposição da transformação projectiva decomposição única (se s>0) triangular superior, Exemplo:

Resumo das transformações projetivas no P2 Euclideana 3dof comprimentos, areas. Similaridade 4dof Razão de comprimentos, angulos. Os pontos circulares I,J Afim 6dof Paralelismo, razão de areas, razão de comprimentos em linhas paralelas, combinação linear de vetores, A linha no infinito l∞ Projetiva 8dof Concorrencia, colinearidade, contato (interseção, tangencia, inflecção, etc.), razão cruzada (cross ratio)

l∞ sob transformada afim A linha l é invariante sob uma transformação H se e somente se H é uma transformação afim. Preserva: paralelismo, razão de areas, ... Nota: não ponto a ponto!

Retificação com 2 ptos de fuga l3 l4

Retificação 2 l4 l3 Para xl∞

A retificação e o modelo original projeção retificação

Cônicas Curve descrita por uma equação do 2o- grau no plano círculo ou elípse parábola hiperbole

Cônicas ou em coordenas homogêneas em forma matricial e 5DOF:

5 ou mais pontos definem uma cônica Ponto i pertence a cônica: ou ou

Linhas tangentes a uma cônica x C

Cônica de pontos e cônica dual cônica de linhas Cônica dual = cônica de linhas = envelope de cônicas

Exemplo: cônica no meio de campo

Exemplo: tangentes no meio de campo

Cônica degeneradas posto 2:

Geometria projetiva em 1D coordenada ponto ideal 3DOF (2x2-1)

Razão cruzada (cross ratio) Invariante sob transformações projetivas

Razão cruzada O valor da razão cruzada não varia com a escolha das coordenada homogênea. Ela afeta ao mesmo tempo o numerador e o denominador. Se as coordenadas homogêneas forem iguais a um, os determinantes são as distâncias. A definição da razão cruzada é válida mesmo que um dos pontos seja ideal (no ∞).

Ponto de fuga a partir de 3 ptos b' c'

Ponto de fuga a partir de 3 ptos b' c' d'

Construção gráfica do ponto de fuga b' c' a b c

Ponto de fuga a partir de 3 ptos (caso geral)

Pontos circulares do plano Codificam algebriamente 2 direções:

Classificação afim das cônicas elipse parábola hiperbole Elipses e círculos não se distinguem na geometria afim!

Interseção de duas elipses 4 pontos 2 pontos?

Invariância de pontos circulares do plano Os pontos circulares planos I, J são invariantes sob um transformação H  H é uma similaridade Também chamados de Pontos Absolutos.

Cônica dual aos pontos circulares do plano A cônica dual é invariantes sob uma transformação H  H é uma similaridade Note: tem 4DOF (simétrica e det |C*∞ |=0) l∞ é o vetor do núcleo de C*∞

Ângulos Euclideana: Projectiva: (ortogonais)

Razão cruzada de ângulos

Medições na imagem Transformada de retificação a partir da SVD

Medições em transformadas afim

Medições em projeções

Relação polo polar A linha polar l=Cx do ponto x em relação a cônica C intersepta a cônica em dois pontos. As duas linhas tangentes a C nestes pontos se interseptam em x.

Correlações e pontos conjugados Uma correlação é um mapeamento inversível de pontos do P2 para linhas do P2. É representado por uma matriz A 3x3 não singular tal que l=Ax Pontos conjugados em relação a C (um é o polar do outro) Pontos conjugados em relação C* (através do polo do outro)

Classificação da cônica prjetiva Diagonal Equação Tipo de cônica (1,1,1) Imprópria (1,1,-1) Círculo (1,1,0) Um ponto (1,-1,0) Duas linhas (1,0,0) Linha simples

Geometria projetiva em 3D, P3 Pontos, linhas planos e quádricas Transformações П∞, ω∞ e Ω ∞

Pontos 3D in R3 in P3 transformação projetiva (4x4 -1=15 d.o.f.)

pontos ↔ planos, linhas ↔ linhas Transformação Representação euclidiana Dualidade: pontos ↔ planos, linhas ↔ linhas

Plano a partir de 3 pontos Encontre n≠0 no núcleo de Ou pela coplanariedade:

Linhas (4dof: 2 for each point on the planes) Example: X-axis Span of WT is pencil of points: Span of W* is pencil of planes: (4dof: 2 for each point on the planes) Example: X-axis

Quadráticas e quadráticas duais (Q : 4x4 matriz simétrica) 9 d.o.f. em geral 9 pontos definem uma quadratica det Q=0 ↔ quadrica degenerada (plano ∩ quadratica)=cônica transformações 3. and thus defined by less points 4. 5. Derive X’QX=x’M’QMx=0 relação a quadrica (não-degenerada) transformação

Quadric classification Rank Sign. Diagonal Equation Realization 4 (1,1,1,1) X2+ Y2+ Z2+1=0 No real points 2 (1,1,1,-1) X2+ Y2+ Z2=1 Sphere (1,1,-1,-1) X2+ Y2= Z2+1 Hyperboloid (1S) 3 (1,1,1,0) X2+ Y2+ Z2=0 Single point 1 (1,1,-1,0) X2+ Y2= Z2 Cone (1,1,0,0) X2+ Y2= 0 Single line (1,-1,0,0) X2= Y2 Two planes (1,0,0,0) X2=0 Single plane Signature sigma= sum of diagonal,e.g. +1+1+1-1=2,always more + than -, so always positive…

Classificação das quátricas: Quando projetadas no R3 equivalem a: esfera elipsoide paraboloide hiperboloide de duas folhas Quadraticas regradas: hyperboloidede uma folha Ruled quadric: two family of lines, called generators. Hyperboloid of 1 sheet topologically equivalent to torus! Quadraticas degeneradas (regradas): cone dois planos

Hierarquia das transformações: Projetiva 15dof Interseção e tangência Paralelismo de planos, Razão de volumes, centroides, O plane no infinito π∞ Afim 12dof Similaridade 7dof A cônica absoluta Ω∞ Euclideana 6dof Volume

Plano no infinito O plano no infinito π é invariante a uma transformação H  H é uma transformação afim Represents 3DOF between projective and affine posição canônica contain as direções dois planos são paralelos  linha de interseção é o π∞ linha // linha (ou plano)  ponto de interseção em π∞

A cônica absoluta ∞ A cônica absoluta Ω∞ é uma cônica (de pontos) em π que satisfaz: ou em direções (não tem pontos próprios): Represent 5 DOF between affine and similarity

A cônica absoluta (propriedades) A cônica absoluta Ω∞ é invariante sob uma transformação projetiva H  H é uma similaridade Represent 5 DOF between affine and similarity Ω∞ is only fixed as a set Circles intersect Ω∞ in two points Spheres intersect π∞ in Ω∞

Conjugado em relação a ∞ Dado um plano no infinito e a cônica absoluta Euclidiana: Projetiva: (conjugado~ortogonal) Orthogonality is conjugacy with respect to Absolute Conic normal plano

A quadratica absoluta dual The absolute conic Ω*∞ is a fixed conic under the projective transformation H iff H is a similarity 1, not equation like abs conic 8 dof plane at infinity π∞ is the nullvector of Ω∞ Angles:

Câmera xc yc zc Pc T yw xw zw Pw

Pontos do campo Y Z X

Círculo Y Z X  imagem do círculo