O menor caminho entre você e o futuro Projeto CIM O menor caminho entre você e o futuro Prof. Mascena Cordeiro

Progressões Aritméticas (PA) Uma PA é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma determinada constante (razão). Ex.: (4, 7, 10, 13,16, ...) é uma PA de primeiro termo igual a 4 e razão 3. Ex.: (21, 16, 11, 6, 1, –4, –9, ...) é uma PA de primeiro termo igual a 21 e razão –5.

Relações importantes a) Termo geral da PA b) Se tivermos 3 termos (a,b,c) em PA, afirma-se que c) A soma do primeiro termo mais o último é igual ao segundo mais o penúltimo e assim por diante. Dica extra: A propriedade b) pode ser colocada desta forma também: representação genérica de PA de 3 termos de razão r.

Questão (UDESC – 2009.1) Sejam x, y, z números reais tais que a seqüência abaixo, nesta ordem, uma progressão aritmética, então o valor da soma x+y+z é: a) -3/8 b) 21/8 c) 15/8 d) 2 e) -19/8

Resolução Se a soma do primeiro termo mais o último é igual ao segundo mais o penúltimo, então Além disso, como os termos 1, y e ¼ estão em PA, então Assim,

Questão A soma do três primeiros termos de uma PA é 27 e o quinto termo também é 27. Determine o sexto termo dessa PA. Resolução: Se os três primeiros termos têm soma 27, então, colocando a forma (x – r, x, x + r), temos que: O segundo termo da PA vale 9. Se o quinto é 27, temos: Se o quinto termo é 27 e a razão 6, o sexto termo é 33. Resposta: O sexto termo é 33.

Soma dos termos de uma PA A soma dos termos de uma PA é dada por: Ex.: Calcular a soma dos termos de uma PA de 40 termos, sendo o primeiro igual a –3 e o último, 77.

Questão No projeto de uma sala de cinema, um arquiteto desenhou a planta projetando 16 fileiras de poltronas. A primeira terá 20 poltronas, enquanto da segunda em diante, serão duas poltronas a mais que na fileira anterior. Quantas poltronas terá na sala? 348 380 420 720 560

Resolução Pelo enunciado, a fileira 1 tem 20 cadeiras, a 2, 22 cadeiras, a 3, 24 cadeiras, e assim por diante, até a fileira 16, que terá an poltronas. Logo, temos a seguinte PA, de razão 2 e de 20 termos. Para podermos calcular ainda resta-nos descobrir o termo a16. Assim, o podemos calcular a soma dos termos da PA, que será o total de poltronas na sala.

Progressões Geométricas (PG) Uma PG é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do anterior com uma determinada constante (razão). Ex.: (2, 4, 8, 16, 32,...) é uma PG de primeiro termo igual a 2 e razão 2. Ex.: (27, 9, 3, 1, 1/3, 1/9, ...) é uma PG de primeiro termo igual a 27 e razão 1/3. Ex.: (4, –12, 36, –108, 324, –972, ...) é uma PG de primeiro termo igual a 4 e razão igual a –3.

Relações importantes a) Termo geral da PG: b) Se tivermos 3 termos (a,b,c) em PG, afirma-se que c) O produto do primeiro termo vezes o último é igual ao segundo termo vezes o penúltimo e assim por diante. Dica extra: A propriedade b) pode ser colocada da seguinte forma também: representação genérica de PG de 3 termos de razão q.

Questão (UDESC – 2008.1) O primeiro termo de uma progressão geométrica é 10, o quarto termo é 80; logo, a razão dessa progressão é: 2 10 5 4 6

Resolução Pelas informações, a1 = 10 e a4 = 80. Podemos calcular a razão da PG partindo de 2 10 5 4 6

Questão O produto entre o segundo, o quarto e o sexto termos de uma PG (de razão ½) é 125. Qual é o primeiro termo? 62,5 25 5 20 40

Resolução O segundo, o quarto e o sexto termos (a2, a4, a6) formam uma PG. Assim, Se a razão é ½ , ocorre: 62,5 25 5 20 40

Soma dos termos de uma PG A soma dos n primeiros termos de uma PG é dada por Ex.: Calcula a soma dos nove primeiros termos de uma PG de razão 3 e primeiro termo igual a 1.

Questão Se colocarmos 3 grãos de arroz na primeira cada de um tabuleiro de xadrez, 6 na segunda, 12 na terceira, 36 na quarta e assim por diante, quantos grãos de arroz serão necessários para encher as oito primeiras casas do tabuleiro?

Resolução Nesse caso, teremos que considerar a PG (3, 6, 12, 24, ..., a8), de primeiro termo igual a 3 e razão 2. A quantidade de grãos será a soma dos termos da PG. Resposta: Precisaremos de 765 grãos para encher as oito primeiras casas do tabuleiro.

Soma limite Quando tivermos uma PG com infinitos termos, mas seus termos estiverem se aproximando de zero (que implica –1 < q < 1), podemos dizer que a soma limite será dada por, fazendo qn = 0:

Questão O professor Mascena dirige seu simpático Fusquinha quando avista um jumento no meio da pista. Ele aciona os freios, a 60 metros de distância do animal. Então, o carro percorre 30 metros no primeiro segundo, e em cada segundo seguinte, 2/3 da distância percorrida no segundo anterior. Calcule o susto do jumento! (brincadeirinha... hehe) Qual seria a soma limite das distâncias percorridas em cada segundo? Dependendo do tempo até o carro parar, poderá haver a colisão entre o carro e o mamífero?

Resolução Considerando as distâncias percorridas em cada segundo, considerando “infinitos segundos”, teremos uma PG de primeiro termo 30 e razão 2/3. A soma desses “infinitos termos” será Resposta: A soma limite é 90 m (maior que a distância entre os corpos), e o professor está em maus lençóis!

GALERA, “I know what I want I say what I want And no one can take it away”. “Eu sei o que quero Eu digo o que quero E ninguém pode tirar isso de mim” Refrão da canção “Journeyman”, da banda inglesa Iron Maiden.