Registros de representação semiótica e aprendizagem matemática

Apresentação em tema: "Registros de representação semiótica e aprendizagem matemática"— Transcrição da apresentação:

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2 Registros de representação semiótica e aprendizagem matemática
Méricles T. Moretti Universidade Federal de Santa Catarina

3 Triângulo Didático Professor Saber Aluno
O que pensa o prof. sobre o saber Concepção de aprendizagem e ensino do prof. Saber Aluno O que pensa o aluno sobre o saber

4 Triângulo Didático Professor Saber Aluno Contributo da Ed. Matem.
O que pensa o prof. sobre o saber Concepção de aprendizagem e ensino do prof. Contrato Didático Saber Aluno Contributo da Ed. Matem. O que pensa o aluno sobre o saber

5 Triângulo Didático Professor Saber Aluno Contributo da Ed. Matem.
O que pensa o prof. sobre o saber Concepção de aprendizagem e ensino do prof. Contrato Didático Saber Aluno Contributo da Ed. Matem. O que pensa o aluno sobre o saber

6 Registros de representação semiótica e aprendizagem matemática
- O acesso a um dado objeto matemático só é possível por meio da representação desse objeto.

7 Registros de representação semiótica e aprendizagem matemática
- O acesso a um dado objeto matemático só é possível por meio da representação desse objeto. - Como não confundir o objeto matemático com a sua representação?

8 Hipótese fundamental de aprendizagem
de DUVAL “A compreensão (integral) de um conteúdo conceitual repousa sobre a coordenação de ao menos dois registros de representação e esta coordenação manifesta-se pela rapidez e espontaneidade da atividade cognitiva de conversão”

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10 Tratamentos e conversões
y = 2x2 - 8x  y = 2(x2 - 4x - 5)  y = 2[(x - 2) ]  y = 2[(x - 2)2 - 9]  y = 2(x - 2)2 - 18  y + 18 = 2(x - 2)2  y = 2(x - 2)2

11 Tratamentos e conversões
y = 2x2 - 8x  y --18 = 2(x - 2)2 Transl. horiz. em 2 unidades à direita Transl. vert. em 18 unidades à direita

12 Vantagens da diversidade dos registros de
representação semiótica - economia de tratamento

13 Vantagens da diversidade dos registros de
representação semiótica - economia de tratamento

14 Vantagens da diversidade dos registros de
representação semiótica - economia de tratamento 0,5 = 0, , , ,02 + x

15 Vantagens da diversidade dos registros de
representação semiótica - economia de tratamento 0,5 = 0, , , ,02 + x 0,5 - 0, , , ,02 = x 0,005 = x ? = 200

16 Vantagens da diversidade dos registros de
representação semiótica - complementaridade dos registros

17 Vantagens da diversidade dos registros de
representação semiótica - complementaridade dos registros y = x2 - 4x + 3 y + 1 = (x - 2)2 y = (x - 3)(x - 1) esboço da parábola no plano cartesiano

18 Congruência semântica

19 Congruência semântica
“Duas expressões podem ter o mesmo sinônimo ou referencialmente equivalentes (elas podem “dizer a mesma coisa”, elas podem ser verdadeiras ou falsas conjuntamente) e não possuírem congruência semântica: neste caso há um custo cognitivo importante para a compreensão”

20 Congruência semântica
Um homem tem 23 anos a mais do que seu filho, 31 anos a menos do que seu pai. A soma das idades das três pessoas é 119 anos. Calcule as idades.

21 Congruência semântica
Um homem tem 23 anos a mais do que seu filho, 31 anos a menos do que seu pai. A soma das idades das três pessoas é 119 anos. Calcule as idades. h - 23 = f (A idade do homem menos 23 é igual a idade do filho)

22 Congruência semântica
Um homem tem 23 anos a mais do que seu filho, 31 anos a menos do que seu pai. A soma das idades das três pessoas é 119 anos. Calcule as idades. h - 23 = f (A idade do homem menos 23 é igual a idade do filho) h = f + 23 (A idade do homem é igual a idade do filho mais 23)

23 Congruência semântica
Um homem tem 23 anos a mais do que seu filho, 31 anos a menos do que seu pai. A soma das idades das três pessoas é 119 anos. Calcule as idades. h - 23 = f (A idade do homem menos 23 é igual a idade do filho) h = f + 23 (A idade do homem é igual a idade do filho mais 23) h + 23 = f

24 Congruência semântica Nível de acerto nos dois sentidos: 90%
Texto: A soma de dois produtos de dois inteiros, todos inteiros sendo diferentes. Expressão algébrica: a.b + c.d Nível de acerto nos dois sentidos: 90%

25 Congruência semântica Nível de acerto nos dois sentidos: 90%
Texto: A soma de dois produtos de dois inteiros, todos inteiros sendo diferentes. Expressão algébrica: a.b + c.d Nível de acerto nos dois sentidos: 90% Texto: O produto de um inteiro pela soma de dois outros inteiros Expressão algébrica: a.(b + c) Texto → Expressão algébrica = 71% Expressão algébrica → Texto = 74%

26 Congruência semântica Nível de acerto nos dois sentidos: 90%
Texto: A soma de dois produtos de dois inteiros, todos inteiros sendo diferentes. Expressão algébrica: a.b + c.d Nível de acerto nos dois sentidos: 90% Texto: O produto de um inteiro pela soma de dois outros inteiros Expressão algébrica: a.(b + c) Texto → Expressão algébrica = 71% Expressão algébrica → Texto = 74% Texto: A soma dos produtos de um inteiro com outros dois inteiros Expressão algébrica: a.b + a.c Texto → Expressão algébrica = 48% Expressão algébrica → Texto = 87%

27 Versão 1: Versão 2:

28 Versão 1: 10% de acertos Versão 2:

29 Versão 1: 10% de acertos Versão 2: 50% de acertos

30 Versão 1: 10% de acertos Versão 2: 50% de acertos Impressionante: quase 50% dos alunos que acertaram o problema na versão 2 (mais simples) não o resolveram na versão 1.

31 EXEMPLOS p  q  ~ q  ~ p Proposição direta Contra-positiva

32 EXEMPLOS Proposição direta Contra-positiva
p  q  ~ q  ~ p Proposição direta Contra-positiva p q p  q V F ~p ~q ~q  ~p F V

33 EXEMPLOS Seja uma função f real e x1, x2 dois valores quaisquer do seu domínio. Para que f seja injetora, podemos completar a sua definição de dois modos: (a) x1  x2  f(x1)  f(x2)

34 EXEMPLOS Seja uma função f real e x1, x2 dois valores quaisquer do seu domínio. Para que f seja injetora, podemos completar a sua definição de dois modos: (a) x1  x2  f(x1)  f(x2) (b) f(x1) = f(x2)  x1 = x2

35 EXEMPLOS Seja uma função f real e x1, x2 dois valores quaisquer do seu domínio. Para que f seja injetora, podemos completar a sua definição de dois modos: (a) x1  x2  f(x1)  f(x2) (b) f(x1) = f(x2)  x1 = x2

36 EXEMPLOS Seja uma função f real e x1, x2 dois valores quaisquer do seu domínio. Para que f seja injetora, podemos completar a sua definição de dois modos: (a) x1  x2  f(x1)  f(x2) (b) f(x1) = f(x2)  x1 = x2

37 EXEMPLOS Seja uma função f real e x1, x2 dois valores quaisquer do seu domínio. Para que f seja injetora, podemos completar a sua definição de dois modos: (a) x1  x2  f(x1)  f(x2) (b) f(x1) = f(x2)  x1 = x2

38 EXEMPLOS Seja uma função f real e x1, x2 dois valores quaisquer do seu domínio. Para que f seja injetora, podemos completar a sua definição de dois modos: (a) x1  x2  f(x1)  f(x2) (b) f(x1) = f(x2)  x1 = x2

39 Se Maria vier eu não a receberei
EXEMPLOS p  q  ~ q  ~ p Proposição direta Contra-positiva Se Maria vier eu não a receberei p: Maria vier q: eu não a receberei

40 Se Maria vier eu não a receberei Eu receberei Maria se ela não vier
EXEMPLOS p  q  ~ q  ~ p Proposição direta Contra-positiva Se Maria vier eu não a receberei Eu receberei Maria se ela não vier p: Maria vier q: eu não a receberei ~q: eu a receberei ~p: Maria não vier

41 EXEMPLOS

42 EXEMPLOS -5

43 EXEMPLOS -5

44 EXEMPLOS

45 EXEMPLOS

46 EXEMPLOS

47 EXEMPLOS 0 por 1 – 1

48 As apreensões na resolução de problemas em geometria
- Perceptiva: a figura mostra objetos que se destacam independentemente do enunciado e que os objetos nomeados no enunciado das hipóteses não são necessariamente aqueles que aparecem espontaneamente.

49 As apreensões na resolução de problemas em geometria
- Perceptiva: a figura mostra objetos que se destacam independentemente do enunciado e que os objetos nomeados no enunciado das hipóteses não são necessariamente aqueles que aparecem espontaneamente.

50 As apreensões na resolução de problemas em geometria
- Perceptiva: a figura mostra objetos que se destacam independentemente do enunciado e que os objetos nomeados no enunciado das hipóteses não são necessariamente aqueles que aparecem espontaneamente. - a superposição de duas formas, um quadrado e um retângulo; - uma montagem de duas formas que se tocam; - a repartição de uma forma, um retângulo, em duas partes.

51 As apreensões na resolução de problemas em geometria
Quantos retângulos tem a figura? Proposto por BALACHEFF

52 As apreensões na resolução de problemas em geometria
Quantos retângulos tem a figura? A lei gestáltica de fechamento da figura impõe um retângulo maior subdividido em pequenos retângulos…

53 As apreensões na resolução de problemas em geometria
Quantos retângulos tem a figura? A lei gestáltica de fechamento da figura impõe um retângulo maior subdividido em pequenos retângulos… O que pode levar os alunos à resposta: a figura contém 6 retângulos, não incluindo, por exemplo, o retângulo hachurado seguinte:

54 As apreensões na resolução de problemas em geometria
Quantos retângulos tem a figura? A lei gestáltica de fechamento da figura impõe um retângulo maior subdividido em pequenos retângulos… O que pode levar os alunos à resposta: a figura contém 6 retângulos, não incluindo, por exemplo, o retângulo hachurado seguinte: É necessário perceber ´conjuntos de quatro pontos`.

55 As apreensões na resolução de problemas
em geometria Um terreno foi repartido conforme indica a figura

56 As apreensões na resolução de problemas
em geometria Um terreno foi repartido conforme indica a figura Assinale a resposta mais conveniente : 1) a) O perímetro de A é igual ao perímetro de B b) O perímetro de A é maior do que o perímetro de B c) O perímetro de A é menor do que o perímetro de B Explique tua escolha: 2) a) A área da parcela A é igual a área da parcela B b) A área da parcela A é maior do que a área da parcela B c) A área da parcela A é menor do que a área da parcela Explique a tua escolha:

57 Perímetros Áreas A = B A < B A > B 107 (27%) 162 18 10 297 (76%)
Não resp. 107 (27%) 162 18 10 297 (76%) 6 2 4 5 9 24 1 39 68 121 196 (50%) 26 49 392

58 Perímetros Áreas A = B A < B A > B 107 (27%) 162 18 10 297 (76%)
Não resp. 107 (27%) 162 18 10 297 (76%) 6 2 4 5 9 24 1 39 68 121 196 (50%) 26 49 392

59 Perímetros Áreas A = B A < B A > B 107 (27%) 162 18 10 297 (76%)
Não resp. 107 (27%) 162 18 10 297 (76%) 6 2 4 5 9 24 1 39 68 121 196 (50%) 26 49 392

60 Perímetros Áreas A = B A < B A > B 107 (27%) 162 18 10 297 (76%)
Não resp. 107 (27%) 162 18 10 297 (76%) 6 2 4 5 9 24 1 39 68 121 196 (50%) 26 49 392

61 Observ. Esper. 107 190 14 81 92 205 29 66 gl=1

62 Observ. Esper. 107 190 14 81 92 205 29 66 gl=1 Um aluno: “O perímetro da parcela B tem mais da metade do terreno”

63 apenas 21% reconheceram CBF como um triângulo retângulo
Neste cubo, o triângulo CBF é retângulo? ( ) Sim ( ) Não Relatório Capes-Cofecub (1996): apenas 21% reconheceram CBF como um triângulo retângulo

64 As apreensões na resolução de problemas em geometria
- Operatória: diz respeito às possíveis modificações que uma figura pode permitir e as reorganizações perceptivas que estas mudanças operam.

65 As apreensões na resolução de problemas em geometria
- Operatória: diz respeito às possíveis modificações que uma figura pode permitir e as reorganizações perceptivas que estas mudanças operam. Mostrar a igualdade das áreas hachuradas

66 As apreensões na resolução de problemas em geometria
- Operatória: diz respeito às possíveis modificações que uma figura pode permitir e as reorganizações perceptivas que estas mudanças operam. Mostrar a igualdade das áreas hachuradas

67 As apreensões na resolução de problemas em geometria
- Operatória: diz respeito às possíveis modificações que uma figura pode permitir e as reorganizações perceptivas que estas mudanças operam. Mostrar a igualdade das áreas hachuradas

68 Reconfiguração Um carpinteiro possui uma prancha de 0,80m de comprimento e 0,30m de largura. Quer cortá-la em dois pedaços iguais de modo a obter uma peça retangular que tenha 1,20m de comprimento e 0,20m de largura.

69 Reconfiguração Um carpinteiro possui uma prancha de 0,80m de comprimento e 0,30m de largura. Quer cortá-la em dois pedaços iguais de modo a obter uma peça retangular que tenha 1,20m de comprimento e 0,20m de largura.

70 Reconfiguração

71 Reconfiguração

72 Reconfiguração  = 350 x =  + 800  x = 1150

73 As apreensões na resolução de problemas em geometria
- Discursiva: as propriedades pertinentes e as únicas aceitáveis dependem, cada vez, do que é dito no enunciado. Isto implica numa subordinação da apreensão perceptiva à apreensão discursiva.

74 As apreensões na resolução de problemas em geometria
- Discursiva: as propriedades pertinentes e as únicas aceitáveis dependem, cada vez, do que é dito no enunciado. Isto implica numa subordinação da apreensão perceptiva à apreensão discursiva. Calcule os valores possíveis de x na figura, dados os comprimentos na mesma unidade de medida.

75 As apreensões na resolução de problemas em geometria
Seqüêncial: requerida em construções geométricas ou reprodução de figuras.

76 As apreensões na resolução de problemas em geometria
Seqüêncial: requerida em construções geométricas ou reprodução de figuras. Considere a figura e as frases seguintes: a - Chame de I o ponto onde as diagonais se cortam b - Desenhe um quadrado com 5cm de lado c - Trace o círculo de centro em I no interior do quadrado d - Trace as diagonais do quadrado As frases a, b, c, d não estão na ordem. Para reproduzir exatamente a figura, é preciso estabelecer a ordem das frases. Encontre a ordem das frases.

77 As apreensões na resolução de problemas em geometria
Seqüêncial: requerida em construções geométricas ou reprodução de figuras. Considere a figura e as frases seguintes: a - Chame de I o ponto onde as diagonais se cortam b - Desenhe um quadrado com 5cm de lado c - Trace o círculo de centro em I no interior do quadrado d - Trace as diagonais do quadrado As frases a, b, c, d não estão na ordem. Para reproduzir exatamente a figura, é preciso estabelecer a ordem das frases. Encontre a ordem das frases. b d a c b d c a b . . . Outras resp. Não resp. 89 (23%) 63 (16%) 67 (17%) 43 (11%) 129 (33%)

78 Os registros de representação semiótica e aprendizagem matemática
- Acesso a um dado objeto matemático só é possível por meio da representação desse objeto. - Operações com registros: tratamentos e conversões. - A idéia de congruência semântica. - As apreensões em geometria: perceptiva, discursiva, operatória e seqüêncial.

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82 Triângulo Didático Professor Saber Aluno Contributo da Ed. Matem.
O que pensa o prof. sobre o saber Concepção de aprendizagem e ensino do prof. Contrato Didático Saber Aluno Contributo da Ed. Matem. O que pensa o aluno sobre o saber

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