Transformações Lineares no Plano

Apresentação em tema: "Transformações Lineares no Plano"— Transcrição da apresentação:

1 Transformações Lineares no Plano
Prof. Ademilson

2 TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS
São aquelas transformações lineares que ocorrem de em , ou seja, operadores lineares . Faremos um estudo das transformações mais importantes juntamente com as respectivas interpretações geométricas. Inicialmente: “Operador Identidade” Se I é a matriz identidade n x n, então, para cada vetor temos: o que implica em: de modo que a multiplicação por I leva cada vetor do Rn em si mesmo.

3 Operação de Reflexão: ● Em torno do eixo x.

4 Operação de Reflexão: ● Em torno do eixo y.

5 ● Na origem.

6 ● Em torno da reta y = x.

7 ● Em torno da reta y = - x.

8 Operação de Dilatação ou Contração:
● Na direção do vetor.

9 Observações: O valor do número real n determina a “razão” ou o “fator” desta operação. Por exemplo, se dizemos que o operador linear é uma dilatação de razão (ou fator) 3.

10 ● Na direção do eixo x (ou horizontal).

11 ● Na direção do eixo y (ou vertical).

12 Operação de Cisalhamento:
● Na direção do eixo x.

13 Operação de Cisalhamento: ● Na direção do eixo y.
● Na direção do eixo y. Nota: O efeito desse cisalhamento é similar ao cisalhamento na direção do eixo x, porém na direção do eixo y . Esse cisalhamento também é chamado de “cisalhamento vertical de fator n”.

14 Operação de Rotação:

15 Outras notações:

16 Exemplo:

17 Exemplo / / /

18 TRANSFORMAÇÕES LINEARES PLANAS
São aquelas transformações lineares que ocorrem de R³ em R³, ou seja, operadores lineares R³  R³. Faremos um estudo das transformações mais importantes juntamente com as respectivas interpretações geométricas. Operação de Reflexão: Reflexões em relação aos planos coordenados: A reflexão em relação ao plano xOy é a transformação que leva cada ponto (x,y,z) na sua imagem (x,y,-z), simétrica em relação ao plano xOy. Assim, essa transformação é definida por: T(x,y,z) = (x,y,-z)

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21 A reflexão em torno do eixo Ox é a transformação linear que leva cada ponto (x, y, z) à sua imagem (x, - y, - z) , que é simétrica em relação ao eixo Ox. Assim, esse operador linear é definido por:

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23 A reflexão em relação à origem é a transformação linear que leva cada ponto ( x, y, z ) à sua imagem ( - x, - y, - z ) , que é simétrica em relação à origem. Assim, esse operador linear é definido por:

24 Operação de Rotação: ● Rotação em torno do EIXO Oz: A rotação em torno do eixo z positivo é a transformação linear que faz cada ponto ( x, y, z ) descrever um ângulo θ em sentido anti-horário. Assim, esse operador linear é definido por:

25 Produto escalar

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27 Exemplo:    Calcular o ângulo α formado pelos vetores v e T(v) quando o espaço gira em torno do eixo dos z de um ângulo θ, nos seguintes casos: θ = 180º e v = (3, 0, 3). θ = 90º e Solução:1)

28 Solução:1)