COSSENOS DIRETORES Fixada uma base ortonormal {i,j,k}, chamamos cossenos diretores de um vetor u≠0, os cossenos dos ângulos que u forma com os vetores.

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1 COSSENOS DIRETORES Fixada uma base ortonormal {i,j,k}, chamamos cossenos diretores de um vetor u≠0, os cossenos dos ângulos que u forma com os vetores desta base.

2 Relembrando Produto Escalar:
COSSENOS DIRETORES Considere os vetores v=(x,y,z), 𝑖 = 1,0,0 , 𝑗 = 0,1,0 𝑒 𝑘 = 0,0,1 e os ângulos α =( 𝑣 , 𝑖 ) , β = ( 𝑣 , 𝑗 ) e γ =( 𝑣 , 𝑘 ), vamos calcular os cossenos dos ângulos α, β e γ: Relembrando Produto Escalar: u . v = | u ||v |cos( u , v ) e cos( u , v )= 𝑢 . 𝑣 | u ||v | cos( u , v )= 𝑥 1 𝑥 2 + 𝑦 1 𝑦 2 + 𝑧 1 𝑧 2 | u ||v |

3 COSSENOS DIRETORES cos( u , v )= 𝑥 1 𝑥 2 + 𝑦 1 𝑦 2 + 𝑧 1 𝑧 2 | u ||v |
𝑥.1+𝑦.0+𝑧.0 |𝑣|.1 = 𝑥 |𝑣| cos 𝛼 =cos⁡(𝑣,𝑖)= 𝑣 . 𝑖 | v ||i | = 𝑥.0+𝑦.1+𝑧.0 |𝑣|.1 = 𝑦 |𝑣| cos 𝛽=cos⁡(𝑣,𝑗) = 𝑣 . 𝑗 | v ||j | = 𝑥.0+𝑦.0+𝑧.1 |𝑣|.1 = 𝑧 |𝑣| cos 𝛾=cos⁡(𝑣,𝑘) = 𝑣 . 𝑘 | v ||k | =

4 Logo, 𝑣 0 = 𝑣 | 𝑣 | = 𝑥 𝑣 , 𝑦 𝑣 , 𝑧 𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑐𝑜𝑠𝛽, 𝑐𝑜𝑠𝛾
COSSENOS DIRETORES Daí temos que: 𝑐𝑜𝑠𝛼= 𝑥 |𝑣| , 𝑐𝑜𝑠𝛽= 𝑦 |𝑣| e 𝑐𝑜𝑠𝛾= 𝑧 |𝑣| 𝑣 0 = 𝑣 | 𝑣 | =( 𝑥 𝑣 , 𝑦 𝑣 , 𝑧 | 𝑣 | ) Logo, 𝑣 0 = 𝑣 | 𝑣 | = 𝑥 𝑣 , 𝑦 𝑣 , 𝑧 𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑐𝑜𝑠𝛽, 𝑐𝑜𝑠𝛾 Conclusão: Os cossenos diretores de um vetor, são iguais as coordenadas do seu versor.

5 COSSENOS DIRETORES |𝑣 0 |= 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛾 =1
Quando a questão falar em ângulo diretor ou cossenos diretores, vamos pensar logo no versor do vetor. Como o módulo do versor é igual a 1, temos: 𝑣 0 = 𝑣 | 𝑣 | = 𝑥 𝑣 , 𝑦 𝑣 , 𝑧 𝑣 = 𝑐𝑜𝑠𝛼, 𝑐𝑜𝑠𝛽, 𝑐𝑜𝑠𝛾 |𝑣 0 |= 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛾 =1 𝑐𝑜𝑠 2 𝛼+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛽+ 𝑐𝑜𝑠 2 𝛾=1