Medidas e Incertezas Experimentais

Apresentação em tema: "Medidas e Incertezas Experimentais"— Transcrição da apresentação:

1 Medidas e Incertezas Experimentais
George C. Cardoso

2 “Meça o que mensurável e faça mensurável o que não é”
Galileu Essa filosofia forma a base da ciência e tecnologia moderna. Esta filosofia permitiu o surgimento do método científico e o desenvolvimento da engenharia e produção em massa. O método científico visa minimizar a subjetividade, quantificando tanto o que é observado quanto a incerteza do observável.

3 Vamos medir (contar) o numero de laranjas
Quantas laranjas tem aí? Incerteza? Conte de novo algumas vezes? Peça para outra pessoa contar.

4 Quantas bactérias tem nessa imagem?
Conte numa certa região. Conte novamente. Peça para outra pessoa contar. Muda de medida para medida? Qual a variação?

5 Medir é medir o valor médio
Medir é medir o valor médio. Melhor que isso, só se a quantidade medida puder ser contada. Usar técnicas de medida diferentes e comparar resultados para evitar inconsistências

6 Medindo o diâmetro de uma moeda:
Lifehacker Banggood OnFireGuy Resolução ~ 1 mm Resolução ~ 0,01 mm Resolução ~ 0,5 mm Baixa precisão ~ 0,5 cm Média precisão ~ 0,1 mm Alta precisão ~ 0,01 mm

7 Vamos “medir” a largura desta sala
O que é medir? Calcular o valor médio de estimativas Vamos estimar o valor médio que vocês acham que esta parede tem (em metros ou metros e fração de metros). Cada um – independentemente --estima a largura da melhor forma possível. Anote o valor sem discutir com os colegas para nao enviesar a sua estimativa.

8 Não basta saber o valor médio estimado; precisamos saber qual a confiança, ou a margem de incerteza que temos no valor obtido Valor Médio:

9 Medida da largura da sala (olhômetro)
Resultados escritos em termos Do valor médio e desvio padrão: (9,0 ± 1,4) metros, n = 32 Primeiro escrevemos O desvio padrão com 1 algarismo ou 2 algarismos Significativos no caso do primeiro Dígito ser 1. Valor Médio: Depois, olhando para os algarismos significativos E para a posição da vírgula, se houver, escrevemos O valor da média arredondado até o algarismo correspondente Ao menor algarismo significativo do desvio padrão. Neste exemplo, O menor algarismo significativo do desvio padrão é 4 e fica logo Depois da vírgula. Assim, paramos o arredondamento da média Logo depois da vírgula. = 8,9759 m Desvio padrão da amostra: Resultado medido com a trena: 8,9 metros = 1,3940 m

10 Desvio Padrão amostral: s
Variância (s2) é a “potência média” da variação de medida para medida em torno da média. Desvio padrão (s) tem as mesmas da quantidade medida. Exemplo: se a medida for em metros, o desvio padrão estará em metros.

11 Variância: potência do ruído
V(t) + v = 0 (silencio) Vout (t) = 0 (silencio) R v P(t) = V2/R Considerando, R = 1 Ohm, temos: Microfone Para v não-nulo: Onde: A variância é uma característica do ruído na medição, medindo melhor ou mais vezes conheceremos melhor o valor da variância O desvio padrão é definido como s (e tem dimensões – metros, segundos etc -- da quantidade sendo medida)

12 Para duas quantidades com ruído, somadas, a variância se soma:
Microfone 1 Microfone 2 Assim, a variância da soma é a soma das variâncias:

13 Variância s2 de uma medida: “potencia média” da flutuação ou ruído da medida
A variância é uma característica combinada do processo, condições de medida e habilidade dos experimentadores. Medir mais vezes sem fazer nenhuma mudança não vai diminuir a variância/ruído, Mas vai permitir uma melhor caracterização da variância (obter a variância com mais algarismos significativos) A variância tem unidade do quadrado das unidades medidas. Exemplo: se a quantidade medida foi mm,a variância será em mm2 s (a raiz quadrada da variância) é chamado de desvio padrão e tem as mesmas unidades utilizadas na medida.

14 Medida da largura da sala (olhômetro)
Resultados escritos em termos Do valor médio e desvio padrão: (9,0 ± 1,4) metros, n = 32 Primeiro escrevemos O desvio padrão com 1 algarismo ou 2 algarismos Significativos no caso do primeiro Dígito ser 1. Valor Médio: Depois, olhando para os algarismos significativos E para a posição da vírgula, se houver, escrevemos O valor da média arredondado até o algarismo correspondente Ao menor algarismo significativo do desvio padrão. Neste exemplo, O menor algarismo significativo do desvio padrão é 4 e fica logo Depois da vírgula. Assim, paramos o arredondamento da média Logo depois da vírgula. = 8,9759 m Desvio padrão da amostra: Resultado medido com a trena: 8,9 metros = 1,3940 m

15 Desvio padrão da média (erro padrão)
Suponha que você tem n baterias (ou medidas) do mesmo tipo, todas com ruído do mesmo tipo. Qual o desvio padrão do valor médio destas baterias (ou medidas)? Desvio padrão da média

16 Desvio padrão da média (erro padrão)
Significado: Se repetirmos o experimento de N medidas, qual a flutuação no valor médio obtido. Exemplo: Se perguntarmos para outras classes similares e com o mesmo numero de alunos estimando a largura da parede, qual seria o desvio padrão dos valores médios encontrados? Ou seja, como flutua esse valor médio quando repetimos o experimento? x = x = (9,0 ± 0,2) metros, I.C. 68% I.C. significa “intervalo de confiança”

17 Por que tão poucos algarismos significativos?
Valor Médio 3,5 Eventos – Valores obtidos nos lançamentos do dadinho Por que tão poucos algarismos significativos? 6 A incerteza tem sua própria incerteza. Não é possível conhecer a variância precisamente com poucas medidas. Só podemos usar consistentemente dois algarismos significativos na variância a partir de milhares de pontos experimentais. 2,0 1 1,0 Valor médio* 3,5 0,0 1 2,0 Desvio padrão* Desvio padrão 1,0 Desvio padrão Da média* 1 10 100 1000 10000 Jogadas sucessivas do dado * Calculado até a n-esima jogada

18 Convergência do valor médio e do desvio padrão para muitas medidas de uma variável aleatória (dado de seis faces, neste caso) Variação da variância ainda é da ordem de 10% até muitas centenas de pontos experimentais (medidas)

19 Caso especial de arredondamento (incerteza começando com 1, e N<1000)
No caso da incerteza começar com 1 manter 2 alg. Sig. Se a incerteza começar com 2,3,...,9, basta 1 alg. sig. Valor Médio: 23,456 Incerteza : 0,145  0,15 Como escrever: (23,46 ± 0,15) unidades Se a incerteza começar com algarismo diferente de 1, usar somente 1 alg significativo. Exemplo: (14,29 ± 0,33) fica escrito como: (14,3 ± 0,3)

20 Quando usamos o desvio padrão, precisamos confirmar se o histograma dos dados obedece a distribuição Gaussiana; Quando usamos o desvio padrão da média, a Gaussiana é sempre válida (para n>~15 pontos). Na Gaussiana: Aproximadamente 68% dos valores medidos estão entre o valor médio e ± σ Na Gaussiana: Aproximadamente 95% dos valores medidos estão entre o valor médio e ± 2σ Voltando a medida da largura da sala: <x> = (9,0 ± 1,4) metros, n = 32, incerteza estimada pelo desvio padrão Interpretação: Se o histograma for gaussiano, 68% dos resultados ficam entre 7,6 e 10,4 metros <x> = (9,0 ± 0,2) metros, I.C. 68% incerteza estimada pelo erro padrão <x> = (9,0 ± 0,4) metros, I.C. 95% Interpretação: Em 68% dos experimentos com n =32, Em classes com alunos similares, o valor médio da largura da sala ficará entre 8,8 e 9,2 metros. Em 95% dos experimentos, entre 8,6 e 9,4 metros. 68,2 % 95,4 %

21 Erro padrão (desvio padrão da média)
(incerteza da média) 68,2 % Se distribuição for Gaussiana: 68% dos experimentos com mesmo N terão média encontrada no intervalo: (<x> ± ) . 95% dos experimentos com mesmo N terão média encontrada no intervalo: (<x> ± ) 95,4 % NOTE: Se o número de medições N  ∞ você encontra a média Verdadeira para o tipo de medida feita.

22 Calculando o perímetro da sala:
Seja <x> = (9,0 ± 0,4) m, I.C. 95% Seja <y> = (10,0 ± 0,3) m, I.C. 95% P = 2(x + y) Somar as médias de forma convencional e os desvios padrão conforme: Assim: P = 2*(19,0 ± 0,5) m, I.C. 95% P = (38,0 ± 1,0) m, I.C. 95%

23 Calculando a área da sala:
Seja <x> = (9,0 ± 0,4) m, I.C. 95% Seja <y> = (10,0 ± 0,3) m, I.C. 95% A = x*y Calcula-se a área média de forma convencional <A> = 9*10 = 90 m2 As incertezas são calculadas de acordo com σA 2= δA(x + δx,y)2 + δA(x, y + δy) 2 σA 2= (A(x + δx,y) - <A>)2 + (A(x, y + δ y) - <A>)2 = (9,4*10 – 90)2 + (9,0*10,3 – 90)2 = ,72 = 23,29 σA = 4,82  <A> = (90,0 ± 4,82)  <A> = (90 ± 5) m2, I.C. 95%

24 Como diminuir a incerteza no valor médio?
<A> = (90 ± 5) m2, I.C. 95% Como fazer com que a incerteza fique abaixo de 1 m2 Melhorar a técnica de medida sem mudar o numero de leituras (exemplo: usar uma boa trena, trena laser, etc) Ou Medir mais vezes para melhorar a média. Se com n = 32 obtivemos a incerteza de 5 m2, quantas medidas precisamos fazer para ter igual a 1 m2 ?

25 Nota: Se quisermos diminuir a incerteza no valor médio (desvio padrão da média, também conhecido como erro padrão) em 10 vezes, temos que fazer 100 vezes mais medições. O desvio padrão, por outro lado, é uma caractecterística do ruído e é simplesmente ligado a variância, ou seja, a quanto variam as medidas. Medir mais vezes simplesmente permite melhor conhecer quanto vale essa variação.

26 Representação do Resultado e Algarismos Significativos: olhar primeiro para a incerteza da medida.
Exemplo 1: Incerteza : 0,345  Para < 1000 medidas so teremos um algarismo significativo (máximo 2) Valor Médio: 23,456 Incerteza : 0,3 Valor Médio: 23,5 (note que os números estão arredondados para o numero correto de alg. Sig.) Como escrever: (23,5 ± 0,3) oC Exemplo 2: Incerteza : 15,345   Para < 1000 medidas so teremos um algarismo significativo (máximo 2) Valor Médio: 141,235 Incerteza : (aqui guardamos 2 algarismos significativos porque se arredondássemos para baixo seria uma mudança de 50%, que é maior que a incerteza da incerteza) Valor Médio: (note que os números estão arredondados para o numero correto de alg. Sig.) Como escrever: (141 ± 15) oC

27 Teorema Central do Limite: Ilustração
A interpretação do desvio padrão depende da distribuição das medidas. A interpretação do desvio padrão da média (erro padrão) não sofre desse problema e sempre tenda a uma distribuição normal (teorema central do limite) Teorema Central do Limite: Ilustração Exemplo: Medidas no olhômetro da largura da Sala Ver: JogandoDados-como se acumula a media v2

28 Voltando ao problema da medida da largura da sala de aula
Obtivemos (9,0 ± 1,4) metros, n = 32 O que é a média verdadeira? A média verdadeira seria a média que encontraríamos se medíssemos um número infinito de vezes, ou seja n  infinito. Isso não conseguimos fazer na prática. Sabemos que o desvio padrão é uma característica do processo de medida. Ele vai se manter da mesma ordem de grandeza do que já temos, ou seja, da ordem de 1 metro, mesmo com n muito grande. Repetições para produzir estatística das medidas nao conseguem avaliar se a técnica de medida é adequada ou correta. Para isso precisamos usar diferentes técnicas de medida e comparar os resultados.

29 Comparando resultados: A utilidade das incertezas
X = (100 ± 4 ) m2 95% I.C. Y = (106 ± 3 ) m2 95% I.C. Será que X e Y concordam um com o outro? X – Y = (6 ± 5 ) 95% I.C. Assim no I.C. de 95% X e Y não concordam um com o outro. Por outro lado, com 99% de I.C. eles vão concordar. Com 100% de I.C. nunca podemos dizer que dois resultados discordam entre si. Outro Exemplo: X = (100 ± 0,4 ) m2 95% I.C. Y = (106 ± 0,3 ) m2 95% I.C. X – Y = (6,0 ± 0,5 ) 95% I.C. Com 95% I.C., NAO. Mas aqui, mesmo com 4σ, X – Y = (6 ± 1 ) 99,99% I.C. X e Y ainda são distintos. E ainda seriam distintos com 7 sigma, fora do intervalo Uma vez a cada 390 bilhões de medições. Com 100% de I.C. nunca podemos dizer que dois resultados concordam ou discordam entre si. Na prática, utiliza-se 95% I.C. para determinar concordância ou discordância entre duas medições. Em física, para aceitar que uma lei da Natureza é verdadeira utiliza-se pelo menos 5σ (99,999942% I.C.)

30 Incertezas se somam mesmo nas diferenças de valores

31 Leitura suplementar

32 Incerteza aleatório vs. sistemático
Aleatório (incerteza): tende a variar a cada medida, tanto para mais quanto para menos. Na maioria dos casos forma uma distribuição Gaussiana em torno da média. O erro aleatório está sempre presente nas medidas. O erro aleatório pode ser minimizado fazendo-se muitas médias, melhorando método experimental para minimizar variância e/ou medindo-se a variável em função de outra e fazendo ajuste de curva. Sistemático: erros de calibração e de método. Difícil de detectar. Somas destes erros são somas lineares. ANALISE ESTATISTICA não detecta este erro. Esse erro pode ser detectada utilizando-se métodos alternativos e comparando resultados. Assume-se que não existem enganos nem erros crassos. Supõe-se que o experimentalista é cuidadoso (da mesma forma que se assume que os cálculos num artigo ou relatório cientifico estão corretos, o que nem sempre é verdade.)

33 Erro aleatório: Precisão vs. Exatidão
Fonte: wikipedia (

34 Discuta com seu colega a precisão e exatidao de cada figura

35 Incertezas em vários instrumentos de medida
Incerteza de leitura: ½ da menor divisão Qual a incerteza nesse multimetro? Cuidado com Paralaxe: em instrumentos de ponteiros e Reguas. Instrumentos digitais: Ver manual do fabricante. Metade do digito que contém incerteza ou metade Do ultimo digito caso nenhum digito apresentado tenha incerteza.

36 Incertezas devido a erros Aleatórios e sistemáticos
Erros aleatórios, somente True value Erros aleatórios + sistemático Um resultado é exato se o erro sistemático for pequeno Um resultado é preciso se o erros aleatório for pequeno.