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MatemΓ‘tica Aplicada I Integrais
Prof. Dr. JosΓ© Eduardo Holler Branco Piracicaba Junho/2015
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Γrea abaixo da curva π π₯ =π π₯
π π π(π) π=5 aresta direita 0,2 0,4 0,6 0,8 b = 1,0 π π,π π π,π π π,π π π,π π βπβ β a=0,0 π΄ π = π=1 π π π₯ π .βπ βπ= πβπ π π΄ π =1,8958
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Γrea abaixo da curva π π₯ =π π₯
π(π) π=5 aresta esquerda π π,π π π,π 0,2 0,4 0,6 0,8 b = 1,0 π π,π π π,π π π =π π a=0,0 βπβ β π΄ π = π=1 π π π₯ π .βπ βπ=( πβπ π ) π΄ π =1,5522
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Γrea abaixo da curva π π₯ =π π₯
π(π) π=10 aresta direita 0,2 0,4 0,6 0,8 (b) 1,0 π (a) 0,0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 π΄ π = π=1 π π π₯ π .βπ βπ= πβπ π π΄ π =1,8056
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Γrea abaixo da curva π π₯ =π π₯
π(π) π=10 aresta esquerda 0,2 0,4 0,6 0,8 (b) 1,0 π (a) 0,0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 π΄ π = π=1 π π π₯ π .βπ βπ= πβπ π π΄ π =1,6338
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Integral Definida π π π(π₯) = lim πββ π=1 π π π₯ π .βπ
(Aresta Direita) (Aresta Esquerda) 5 1,8958 > S 1,5522 10 1,8056 1,6338 20 1,7616 1,6757 40 1,7398 1,6969 100 1,7269 1,7097 500 1,7200 1,7166 1000 1,7191 1,7174 Proxy da Γ‘rea S abaixo da curva π π₯ = π π₯ no intervalo 0,1 π π π(π₯) = lim πββ π=1 π π π₯ π .βπ βπ= (πβπ) π e π π =π+π.βπ Se π(π₯) for integrΓ‘vel em π,π
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Integral Definida π π π(π₯) ππ₯ ππππππ πππππ Γ Γ‘πππ π ππ π ππ’ππ£π π¦=π π₯ , ππ πππ‘πππ£πππ [π,π] Obs.: π π₯ >0,ππ πππ‘πππ£πππ [π,π] π(π) A a π b
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Integral Definida π= π(π) + + a - b π π π(π₯) ππ₯= π΄ 1 β π΄ 2 π(π) π
π π π(π₯) ππ₯= π΄ 1 β π΄ 2 π΄ 1 :Γrea da parte superior π π₯ >0 π΄ 2 :Γrea da parte inferior π π₯ <0
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Teorema Fundamental do CΓ‘lculo
Se π for contΓnua em π,π , entΓ£o a função π Γ© definida por: π π₯ = π π₯ π π‘ ππ‘ πβ€π₯β€πβ π β² π₯ =π(π₯) Se π for contΓnua em π,π , entΓ£o: π π π π₯ ππ₯=πΉ π βπΉ(π) Onde πΉ Γ© qualquer primitiva de π, isto Γ©, uma função tal que πΉβ = π
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Propriedades da Integral
π π π(π₯) ππ₯=β π π π(π₯) ππ₯ π π π(π₯) ππ₯=0 π π π ππ₯=π.(πβπ) π π π π₯ Β±π(π₯) ππ₯ = π π π(π₯) ππ₯Β± π π π(π₯) ππ₯ π π ππ(π₯) ππ₯ =c π π π(π₯) ππ₯ (Stewart, 2013)
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Propriedades da Integral
π π π(π₯) ππ₯+ π π π(π₯) ππ₯= π π π(π₯) ππ₯ π π π π₯ β₯0 ππππ πβ€π₯β€π, πππ‘Γ£π π π π π₯ ππ₯ β₯0 π π π π₯ β₯π(π₯) ππππ πβ€π₯β€π, πππ‘Γ£π π π π π₯ ππ₯ β₯ π π π π₯ ππ₯ π π πβ€π π₯ β€π ππππ πβ€π₯β€π, πππ‘Γ£π: π.(πβπ)β€ π π π π₯ ππ₯ β€π.(πβπ) (Stewart, 2013)
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Interpretação da Função Integral
π 3 =π π π‘ ππ‘=4,3 y y y 2 2 2 1 1 1 + 1 2 3 4 5 t 1 2 3 4 5 -1 -1 t 1 2 3 - 4 5 -1 t -2 -2 -2 π 1 = 0 1 π π‘ ππ‘=1 π 5 =π π π‘ ππ‘=1,7 y 5 π 4 3 2 1 1 2 3 4 5 (Stewart, 2013)
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ππ πππ§πππππ π’= (1+ π₯ 2 )β ππ’ ππ₯ =2π₯βππ’=2π₯ ππ₯
Regra da Substituição π΄πβπ π πΌππ‘πππππ 2π₯ 1+π₯Β² ππ₯ ππ πππ§πππππ π’= (1+ π₯ 2 )β ππ’ ππ₯ =2π₯βππ’=2π₯ ππ₯ 2π₯ 1+π₯Β² ππ₯= π₯Β² 2π₯ ππ₯= π’ ππ’ 2 3 π’ πΆ= (1+ π₯ 2 ) C π ππ₯ π₯ C = π₯ π₯=2π₯ 1+π₯Β² (Stewart, 2013)
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Regra da Substituição πΆππππ’ππ: 2π₯+1 ππ₯
πΆππππ’ππ: 2π₯+1 ππ₯ ππππ π’=2π₯+1β ππ’ ππ₯ =2βππ’=2 ππ₯βππ₯= 1 2 ππ’ 2π₯+1 ππ₯ = π’ ππ’ = (π’) ππ’= (π’) 3/2 +C= π₯ πΆ π ππ₯ π₯ C = π₯ = 2π₯+1 (Stewart, 2013)
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Regra da Substituição - Integrais Definidas
π₯+1 ππ₯ ππππ π’=2π₯+1β ππ’ ππ₯ =2βππ’=2 ππ₯βππ₯= 1 2 ππ’ πππ‘πππ£πππ ππ π π’ :π π π₯=0βπ’=1 π π π π₯=4βπ’=9 π₯+1 ππ₯= π’ ππ’ = π’ = β = 26 3 (Stewart, 2013)
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Regra da Substituição Se π’=π π₯ for uma função derivΓ‘vel cuja imagem Γ© um intervalo πΌ e f for contΓnua em πΌ π π π₯ π β² π₯ ππ₯= π π’ ππ’ πΉ β² π π₯ π β² π₯ ππ₯=πΉ π π₯ +πΆ, ππππ : π ππ₯ πΉ π π₯ +πΆ= πΉ β² π π₯ . π β² π₯ =π π π₯ . πβ²(π₯) (Stewart, 2013)
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Regra da Substituição - Integrais Definidas
Se πβ² for contΓnua em π,π e π for contΓnua na imagem de u=π(π₯), entΓ£o: π π π π π₯ . π β² π₯ ππ₯= π(π) π(π) π π’ ππ’ (Stewart, 2013)
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