MATEMÁTICA.

Apresentação em tema: "MATEMÁTICA."— Transcrição da apresentação:

1 MATEMÁTICA

2 Matemática contexto e aplicações
Luiz Roberto Dante – 3º ano ensino médio

3 2º Bimestre – Geometria espacial e geometria analítica
Neste bimestre foram trabalhados os temas: Cilindro Cone e tronco de cone Esfera Fuso esférico e cunha esférica Sistema cartesiano ortogonal Distância entre dois pontos; coordenadas do ponto médio de um segmento Inclinação da reta e coeficiente angular Equações da reta Distância de um ponto a uma reta e área de uma região triangular Circunferência Posições relativas Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3| 2º Bimestre

4 CAPÍTULO 3 – GEOMETRIA ESPACIAL – CORPOS REDONDOS
O CILINDRO Cilindro oblíquo Cilindro reto A secção meridiana de um cilindro reto é um retângulo. Se a secção meridiana de um cilindro reto for um quadrado, dizemos que esse cilindro é equilátero e h = 2r. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3| 2º Bimestre

5 CAPÍTULO 3 – GEOMETRIA ESPACIAL – CORPOS REDONDOS
CILINDRO RETO Planificação do cilindro reto área das bases: 2Ab = 2πr² área lateral: Al = 2πrh Professor, comente com seus alunos a diferença da secção meridiana e da secção transversal de um cilindro. área total: AT = 2πr (h + r) área da secção meridiana: Am = 2rh volume: V = πr²h Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3| 2º Bimestre

6 CAPÍTULO 3 – GEOMETRIA ESPACIAL – CORPOS REDONDOS
O CONE A secção meridiana de um cone é um triângulo. Se esse triângulo for equilátero, dizemos que o cone é equilátero e, nesse caso, a geratriz g é igual a 2r e h = r Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3| 2º Bimestre

7 CAPÍTULO 3 – GEOMETRIA ESPACIAL – CORPOS REDONDOS
O CONE Cone reto Planificação do cone reto 𝛼= 360°. 𝑟 𝑔 (em graus) 𝛼= 2 . 𝜋 . 𝑟 𝑔 (em radianos) ASM = r ⋅ h (área da secção meridiana) Ab = π ⋅ r² (área da base) Al = π ⋅ r ⋅ g (área da superfície lateral) A geratriz g do cone reto é o raio do setor circular (g = R). Não se deve confundir o raio da base (r) com o raio do setor (R). AT = π ⋅ r ⋅ (g + r) (área total) g² = h² + r² V = 𝜋 . 𝑟 2 .ℎ 3 (volume) Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3| 2º Bimestre

8 CAPÍTULO 3 – GEOMETRIA ESPACIAL – CORPOS REDONDOS
TRONCO DE CONE No tronco de cone destacamos: Duas bases: a base maior (base do cone inicial) e a base menor (secção determinada por α); A altura (h1), que é a distância entre as bases (h1 = h − d); A geratriz, cuja medida (g1) é obtida pela diferença das medidas das geratrizes dos dois cones: g1 = g − g2 Professor, comente com seus alunos que o volume do tronco de cone também pode ser obtido pelo volume do cone original subtraído do volume do cone menor, após seccionado. Al = π ⋅ g1 ⋅ (R + r) (área lateral) 𝑉= 𝜋 . ℎ ( 𝑅 2 +𝑅𝑟 + 𝑟 2 ) Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3| 2º Bimestre

9 CAPÍTULO 3 – GEOMETRIA ESPACIAL – CORPOS REDONDOS
A ESFERA Consideremos um ponto C e um número real positivo R qualquer. A esfera de centro C e raio de medida R é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão a uma distância menor ou igual a R do ponto C. Secção plana da esfera C → centro da esfera AB → raio da esfera QP → diâmetr da esfera Professor, comente com seus alunos que a esfera é um sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo cujo eixo é seu diâmetro. R → medida do raio da esfera R² = r² + d² A = 4 ⋅ π ⋅ R² (Área da superfície esférica) 𝑉= 𝜋 . 𝑅 3 (volume da esfera) Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3| 2º Bimestre

10 CAPÍTULO 3 – GEOMETRIA ESPACIAL – CORPOS REDONDOS
A ESFERA Fuso esférico Cunha esférica Professor, comente com seus alunos as definições de fuso esférico e cunha esférica. 𝐴 𝑓𝑢𝑠𝑜 = 𝛼 . 𝜋 . 𝑅 2 90° 𝛼 em graus Afuso = 2 ⋅ α ⋅ R² α em radianos 𝑉 𝑐𝑢𝑛ℎ𝑎 = 𝛼 . 𝜋 . 𝑅 ° 𝛼 em graus 𝑉 𝑐𝑢𝑛ℎ𝑎 = 2𝛼. 𝑅 3 3 𝛼 em radianos Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3| 2º Bimestre

11 CAPÍTULO 4 – GEOMETRIA ANALÍTICA – PONTO E RETA
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Dois eixos reais perpendiculares entre si determinam um único plano denominado de plano cartesiano. Associa-se a intersecção desses dois eixos ao número zero, que será a origem desse sistema. Um ponto qualquer desse plano é identificado por suas coordenadas. Assim: P(x) = (xp, yp) xp é a abscissa do ponto yp é a ordenada do ponto. O = (0, 0) A = (3, 2) B = (−1, 4) C = (−2, −3) D = (2, −1) E = (2, 3) F = (−4, 1) G = (4, −1) H = ( −3, 2) Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3| 2º Bimestre

12 CAPÍTULO 4 – GEOMETRIA ANALÍTICA – PONTO E RETA
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Observações: Os eixos x e y chamam-se eixos coordenados e dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes. Se o ponto P pertence ao eixo x (eixo das abscissas), suas coordenadas são (a, 0), com a ∈ ℝ. Se o ponto P pertence ao eixo y (eixo das ordenadas, suas coordenadas são (0, b), com b ∈ ℝ. Distância entre dois pontos Dados dois pontos A e B, a distância entre eles, d(A, B), é a medida do segmento de reta de extremidades A e B. Professor, comente com seus alunos que a fórmula da distância é obtida por meio do Teorema de Pitágoras. 𝑑 𝐴, 𝐵 = ( 𝑥 2 − 𝑥 1 ) 2 + ( 𝑦 2 − 𝑦 1 ) 2 Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3| 2º Bimestre

13 CAPÍTULO 4 – GEOMETRIA ANALÍTICA – PONTO E RETA
COORDENADAS DO PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO Considere: 1. Um segmento de reta com extremidades A(x1, y1) e B (x2, y2); 2. O ponto M(x, y), ponto médio do segmento de reta AB. 𝑥= 𝑥 2 + 𝑥 1 2 𝑦= 𝑦 2 + 𝑦 1 2 Condição de alinhamento de três pontos Considere três pontos A(x1, y1), B (x2, y2), C (x3, y3). Para que eles estejam alinhados, devemos ter: Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3| 2º Bimestre

14 CAPÍTULO 4 – GEOMETRIA ANALÍTICA – PONTO E RETA
INCLINAÇÃO DE UMA RETA Seja α a medida do ângulo que a reta r forma com o eixo x. A medida α do ângulo é considerada do eixo x para a reta r, no sentido anti-horário, e denomina-se inclinação da reta. Se a reta r é paralela ao eixo x, sua inclinação é zero, ou seja: α = 0. 0° < α < 90° ° < α < 180° α = 90° Coeficiente angular da reta Seja a reta r determinada pelos pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e m o coeficiente angular dessa reta. Considere uma reta r de inclinação α. Define-se coeficiente angular da reta r (m) à tangente da inclinação. 𝑚= Δ𝑦 Δ𝑥 = 𝑦 2 − 𝑦 1 𝑥 2 − 𝑥 1 𝑚= tan 𝛼 Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3| 2º Bimestre

15 CAPÍTULO 4 – GEOMETRIA ANALÍTICA – PONTO E RETA
EQUAÇÕES DA RETA Equação fundamental da reta Equação geral da reta ax + by + c = 0 a, b, c ∈ ℝ e a e b não são nulos simultaneamente. − 𝑎 𝑏 = coeficiente angular Professor, comente com seus alunos que o coeficiente linear é a ordenada do ponto que intercepta o eixo y. − 𝑐 𝑏 = coeficiente linear 𝑦 − 𝑦 0 =𝑚 . (𝑥− 𝑥 0 ) Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3| 2º Bimestre

16 CAPÍTULO 4 – GEOMETRIA ANALÍTICA – PONTO E RETA
EQUAÇÕES DA RETA Equação reduzida da reta y = mx + q m é o coeficiente angular e q é o coeficiente linear Equação segmentária da reta x a + y b =1 Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3| 2º Bimestre

17 CAPÍTULO 4 – GEOMETRIA ANALÍTICA – PONTO E RETA
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS NO PLANO Considere mr o coeficiente angular da reta r e ms o coeficiente angular da reta s (r e s são duas retas distintas e não verticais). r e s são paralelas ⇔ mr = ms r e s são concorrentes ⇔ mr ≠ ms Duas retas r e s, distintas e não verticais com coeficientes angulares mr e ms são perpendiculares quando mr ⋅ ms = −1 Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3| 2º Bimestre

18 CAPÍTULO 4 – GEOMETRIA ANALÍTICA – PONTO E RETA
DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA E ÁREA DE UMA REGIÃO TRIANGULAR Distância de um ponto a uma reta 𝑃= 𝑥 0 , 𝑦 0 (r) : ax +by +c =0 𝑑= |𝑎 𝑥 𝑝 +𝑏 𝑦 𝑝 +𝑐| 𝑎 2 + 𝑏 2 Área de uma região triangular Se os vértices de um triângulo são os pontos A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3), então a área dessa região triangular é dada por: S= 1 1 |D| , em que: Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3| 2º Bimestre

19 CAPÍTULO 5 – GEOMETRIA ANALÍTICA – A CIRCUNFERÊNCIA
DEFINIÇÃO E EQUAÇÃO Equações da circunferência Uma circunferência com centro O(a, b) e raio r é o conjunto de todos os pontos P(x, y) do plano equidistantes de O. 𝑥 2 + 𝑦 2 +𝐴𝑥+𝐵𝑦+𝑐=0 Equação geral da circunferência de centro (a, b) . (𝑥−𝑎) 2 + (𝑦−𝑏) 2 = 𝑟 2 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 Equação reduzida da circunferência de centro (a, b). Equação reduzida da circunferência de centro (0, 0). a=− A 2 b=− B 2 𝑟= 𝑎 2 + 𝑏 2 −𝑐 Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3| 2º Bimestre

20 CAPÍTULO 5 – GEOMETRIA ANALÍTICA – A CIRCUNFERÊNCIA
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA A reta t é tangente à circunferência ⇔ dOt = r A reta t é exterior à circunferência ⇔ dOt > r A reta t é secante à circunferência ⇔ dOt < r Tangência Quando a reta é tangente à circunferência, a distância do centro da circunferência à reta tangente é o raio. A reta tangente é sempre perpendicular ao raio no ponto de tangência. Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3| 2º Bimestre

21 CAPÍTULO 5 – GEOMETRIA ANALÍTICA – A CIRCUNFERÊNCIA
POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS Secantes (dois pontos em comum) Tangentes (um ponto em comum) Externas e internas(nenhum ponto em comum) Circunferências externas Tangentes exteriormente d(C1, C2) > r1 + r2 d(C1, C2) = r1 + r2 | r1 − r2| < d(C1, C2) < r1 + r2 Tangentes interiormente Uma circunferência interna à outra Circunferências concêntricas Professor, comente com seus alunos a definição de circunferências concêntricas. C1 = C2; d(C1, C2) = 0 d(C1, C2) < |r1 − r2| d(C1, C2) = |r1 − r2| Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 3| 2º Bimestre