Base Teorema: Seja um sistema de geradores do espaço vetorial . Então dentre os vetores de existe uma base para . Teorema:

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1 Base Teorema: Seja um sistema de geradores do espaço vetorial . Então dentre os vetores de existe uma base para Teorema: Seja um espaço vetorial gerado por um conjunto finito de vetores Então qualquer conjunto com mais do que n vetores é necessariamente linearmente dependente (L.D.).

2 Dimensão Corolário: Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos. Definição: Dado um espaço vetorial finitamente gerado, denominamos dimensão de ao número de vetores de uma base de

3 Base e Dimensão Teorema: Qualquer conjunto L.I. de vetores de um espaço vetorial de dimensão finita pode ser completado de modo a se tornar uma base para . Corolário: Se , qualquer conjunto com n vetores L.I. formam uma base de

4 Dimensão - Exemplos

5 Exercício Exercício 01: Obtenha bases e dimensões para os subespaços vetoriais abaixo relacionados: 1. 2. 3. 4.

6 Processo Prático: Base
A permuta de dois vetores, dentre os geradores, não altera o subespaço gerado. A substituição de um vetor por uma combinação linear dele com outros do conjunto, não altera o subespaço gerado. Vetores geradores na forma escalonada formam um conjunto L.I.

7 Exercícios Exercício 02: Determinar uma base e a dimensão para e , sendo:

8 Exercícios Exercício 03: Considere o sistema linear e determine uma base e a dimensão para o subespaço das soluções:

9 Teorema da Dimensão Teorema: Sejam e dois subespaços vetoriais de um dado espaço vetorial com dimensão finita, então:

10 Proposição: Se é um subespaço vetorial de tal que
então

11 Exercícios Exercício 04: Determinar uma base e a dimensão para , e , sendo: