Fundamentos de modelagem matemática e técnicas de simulação aplicados a sistemas ambientais CESET, Limeira Março, 2005.

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1 Fundamentos de modelagem matemática e técnicas de simulação aplicados a sistemas ambientais
CESET, Limeira Março, 2005

2 ... da matemática de considerações ambientais
Poluição de corpos aquáticos: lagos, represas, rios, estuários, mares costeiros. Poluição do ar: efeitos aerossóis de usinas, de concentrações de indústrias, de centros urbanos. Poluição do solo: lixões, lençóis freáticos, vazamentos em depósitos de produtos tóxicos. Combinações dos anteriores.

3 Matemática e vida: isso combina?
... foi assim que começou É para isso que existe o campo da matemática aplicada/aplicável Na escola, hoje, tem até nome: “temas transversais”! e como acontece?

4 Problema Real Hipóteses de Simplificação Problema Matemático Resolução
(aproximada!) do Problema Matemático Validação Social da solução Validação Matemática da solução Processos decisórios

5 Muito trabalho por fazer
Estudando modelos prontos, Usando-os em testes e simulações, Modificando/melhorando modelos existentes, Criando modelagens novas: Desafios enormes! ... e imediatos

6 Um exemplo desta roda viva:
a poluição, ou um acidente... as prefeituras Rios, lagos e Represas.

7 –d.C(n) F C(n) F V A figura é homeomorfa a uma represa qualquer (esta é uma hipótese aceitável?)... Degradação: d o volume da represa: V unidades de volume o fluxo do rio que entra (e sai):F unidades de volume

8 q(n) –d.C(n) F C(n) F V Ainda: além da degradação do poluente, suposta proporcional à quantidade pode haver um aporte semanal: q(n).

9 serve? Meio homogêneo, Avaliar a Progressão Instantaneamente,
contaminação Meio homogêneo, Instantaneamente, e tudo regular Progressão Matemática Resolução do Problema Matemático (nem que seja No Excel!) Validação Social: Essa resposta serve? Validação Matemática da solução Processos decisórios

10 O (na verdade “um”) modelo:
A quantidade de poluente na semana que vem = = a quantidade de poluente desta semana – – a quantidade que sai com o fluxo do rio – – a quantidade que se degrada + + ( se houver) algum aporte semanal.

11 Literalmente, em outras palavras:
C( n+1 ) = = C( n ) – – F. C( n ) /V – – d. C( n ) + + q( n )

12 ... alguns casos Não há rio  F = 0 Não há aporte semanal  q(n) = 0 Não há degradações  d = 0

13 Não há rio, nem degradação  F = 0 e d = 0
C( n+1 ) = = C( n ) + + q( n ) ou seja, C( n+1 ) = C( n ) + q( n ) é uma Progressão Aritmética!

14 Outro caso, q(n) = 0: não há aporte semanal
C( n+1 ) = = C( n ) .( 1 – F/V – d ) ou para  = 1 – F/V – d, C( n+1 ) = .C( n ) ou seja, é uma Progressão Geométrica

15 Como é uma P.G., Tudo depende da razão, = 1 – F/V – d > 1  C( n ) cresce, < 1  C( n ) decresce, e = 1  C( n ) permanece.

16 Um caso, com V=1e+5, F=5e+2, d=0.0001 aporte semanal de 10 unidades sem aporte semanal

17 E quando há de tudo acontecendo: aporte, fluxo, degradação etc?
... Nem P.Aritm. nem P.Geom., mas uma mistura das duas coisas! Modelagem matemática ... E usa-se a equação de diferenças linear de primeira ordem vista antes.

18 O modelo, então, é: C( n+1 ) = C( n ) – F. C( n ) /V – – d. C( n ) + q( n ) ou C( n+1 ) = C( n ) .( 1 – F/V – d ) + + q( n )

19 Modelo com aporte semanal, com degradação e com fluxo constante.
i e Tempo – em unidades escolhidas

20 Além desta aula, isto serve para alguma coisa?
Tentativas: como se comporta o acúmulo de contaminante se o aporte se der semana sim, semana não? ... Matlab ou alguma planilha.

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22 E se fosse duas semanas não, a outra semana sim?
Em outras palavras, teríamos nessa simulação: C( n+1 ) = C( n ) – F. C( n ) /V – – d. C( n ) + q( n ) Sendo q( n ) = q com n múltiplo de três e q = 0 caso contrário

23 Aporte a cada três semanas

24 Nos ensaios, F<<V. O que aconteceria se isto não fosse assim?
É o caso de um rio... A(n) B(n) C(n) D(n) E(n)

25 O que temos, então, é um sistema, em que o que sai de um compartimento entra no seguinte: A(n+1) = A(n).(1 – F/V1 - d1) + q1 B(n+1) = A(n). F/V1 + B(n).(1 – F/V2 - d2) + q2 C(n+1) = B(n). F/V2 + C(n).(1 – F/V3 - d3) + q3 D(n+1) = C(n). F/V3 + D(n).(1 – F/V4 - d4) + q4 E(n+1) = D(n). F/V4 + E(n).(1 – F/V5 - d5) + q5

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27 E, se em vez de um córrego, fosse um rio de ‘verdade’?

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30 Outra possibilidade: um contaminante que “demora” para começar a degradar-se: 1 semana
C( n+1 ) = C( n ) – F. C( n ) /V – – d. C( n-1 ) + q( n ) uma equação de diferenças ainda linear de segunda ordem: envolve duas semanas.

31 Uma equação linear de diferenças de segunda ordem
O que se pode fazer é testar para ver se a solução geral da PG serve aqui. E serve! Fazendo Cn = A.n, e substituindo na equação original, obtem-se: Cn = A1. (1)n + A2. (2)n + q.V/(F+d.V)

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33 Estudo de impacto: por estudar? Efeitos nas dinâmicas de populações Nas possibilidades epidemiológicas E as contribuições para efeitos globais Além da economia!

34 Ainda, poderíamos ter avaliação instantânea dos fenômenos:
... daí, teríamos Equações Diferenciais, sistemas de equações diferenciais (ordinárias), com variação no tempo: d.../dt