MATRIZES Profª Juliana Schivani juliana.schivani@ifrn.edu.br.

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As telas de TV, computadores e celulares são formadas por uma grade de vários pontos pequeninos chamados de pixels. Um pixel é o menor elemento de uma imagem (Picture Element), vindo daí o seu nome. Essa grade de pontos também pode ser chamada de matriz de pixels, e quanto maior o número de pixels em uma determinada área da tela, maior a sua resolução e melhores serão as imagens. MATRIZES Profª Juliana Schivani

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A LG, uma das maiores companhias de eletroeletrônicos do mundo, lançou em julho de 2013 nos Estados Unidos as TVs de 55 e 65 polegadas com a nova tecnologia 4K, que custam US$ 6,999 e US$ 7,999 respectivamente. Ambos os aparelhos pertencem à linha LA9700 da LG e vêm com a Ultra-Alta Definição (UHDTV), com 3840 x 2160 pixels, ou 8,3 megapixels por frame. Essa especificação de tecnologia é chamada de 4K. MATRIZES Profª Juliana Schivani

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As imagens, por sua vez, também são grandes matrizes compostas de vários pontos. A junção desses pontos compõe uma foto digital como a conhecemos. Ao ampliarmos várias vezes uma imagem, podemos notar que ela vai ficando quadriculada ou como dizemos, com aspecto pixelado. Assim como nas telas, quanto maior o número de pixels uma imagem puder representar, melhor será a sua qualidade. MATRIZES Profª Juliana Schivani

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Nas câmeras fotográficas quando dizem, por exemplo, que é de 14 Megapixels - então uma foto tirada com essa câmera poderá representar até 14 milhões de pixels. MATRIZES Profª Juliana Schivani

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Veja um exemplo simples da representação de como uma figura de uma letra pode ser representada através de uma matriz no computador. A imagem mostra uma matriz de 49 px (7 x 7). Cada posição da matriz corresponde à representação de um pixel. MATRIZES Profª Juliana Schivani

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Veja um exemplo simples da representação de como uma figura de uma letra pode ser representada através de uma matriz no computador. Para uma figura em escala de cinza, o computador entende que existem 255 níveis de branco, sendo 255 o branco total e 0 sendo o preto total. Então, o computador pinta na tela cada posição da matriz com sua devida cor e teremos: MATRIZES Profª Juliana Schivani

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Veja um exemplo simples da representação de como uma figura de uma letra pode ser representada através de uma matriz no computador. Cada vez que aumentarmos o tamanho da matriz (representando mais pixels) para representar o mesmo A, teremos uma imagem de melhor qualidade. É o tamanho da matriz que vai nos dizer a resolução dessa imagem. MATRIZES Profª Juliana Schivani

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É basicamente a mesma ideia do ponto-cruz. Se abrirmos uma imagem no Paint e aumentarmos gradualmente o zoom de visualização, você vai ver que essa matriz vai ficar cada vez mais visível ao ponto que as imagens vão ficando “pixeladas”. MATRIZES Profª Juliana Schivani

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Matriz é toda tabela retangular de ordem m x n, isto é, com m linhas e n colunas, onde estão dispostos números aij em cada linha i e coluna j. MATRIZES Profª Juliana Schivani

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Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Assim, uma matriz A do tipo m x n , isto é, com m linhas e n colunas, com elementos a em posições i linha e j coluna é representada por: A = [ a i j ] m x n MATRIZES Profª Juliana Schivani

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→ Elemento na 3ª linha e 4ª coluna A4 → Matriz com 4 linhas e 4 colunas m11 → Elemento na 1ª linha e 1ª coluna Não fiz atividade de construção por grifos, nem os tipos de matrizes (nula, quadrada, oposta, simétrica, transposta, linha, coluna, etc...) J2x3 → Matriz com 2 linhas e 3 colunas MATRIZES Profª Juliana Schivani

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Cada elemento da matriz está associado a uma linha e a uma coluna, significando duas coisas ao mesmo tempo. V3x4 = 504,00 806,00 803,80 830,90 513,00 624,00 727,80 800, ,80 814,80 MATRIZES Profª Juliana Schivani

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Cada elemento da matriz está associado a uma linha e a uma coluna, significando duas coisas ao mesmo tempo. P1x6 = 36,90 49,90 63,90 71,90 95,90 129,90 MATRIZES Profª Juliana Schivani

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O computador reconhece três cores principais, red, green e blue (RGB). Uma imagem colorida é formada por uma matriz de três dimensões (3 matrizes normais), sendo uma de tons vermelhos, outra de tons azuis e outra de tons verdes. Todas as cores que vemos no nosso computador são uma mistura dessas 3 cores. MATRIZES Profª Juliana Schivani

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Soma de matrizes R = 0 − G = −1 −1 2 0 −3 0 B = Não citei as propriedades (comutatividade, associatividade, elemento neutro, transposição, etc...) Só é possível somar ou subtrair matrizes de mesma ordem, pois cada elemento de uma matriz será somado ou diminuído com o da outra, de mesma posição. MATRIZES Profª Juliana Schivani

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Além da representação de imagens em forma de pixels, as matrizes também podem transformar as imagens (ampliar, reduzir, rotacionar, etc...). Essas operações é o que torna possível construir imagens de objetos virtuais e animações, como vemos nos filmes e jogos de computador. MATRIZES Profª Juliana Schivani

23 Multiplicação de matrizes
Nos movimentos de transformação de figuras, usa-se a multiplicação de cada ponto da imagem por uma matriz específica. Na rotação, a figura roda em diferentes graus sem sair da origem. Cada ponto P (x, y) da figura pode representar um vetor 𝑣 que, por sua vez, corresponde a uma matriz P = 𝑥 𝑦 MATRIZES Profª Juliana Schivani

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𝑅= 𝑐𝑜𝑠α −𝑠𝑒𝑛α 𝑠𝑒𝑛α 𝑐𝑜𝑠α A matriz acima é a matriz que rotaciona a figura em 𝜶 graus, quando multiplicada por um vetor qualquer da imagem. 𝑅∙𝑃= 𝑥𝑐𝑜𝑠α −𝑦𝑠𝑒𝑛α 𝑥𝑠𝑒𝑛α+𝑦𝑐𝑜𝑠α MATRIZES Profª Juliana Schivani

25 Multiplicação de matrizes
𝐸= 𝐸 0 0 𝐸 A matriz acima é a matriz que amplia ou reduz a imagem em E vezes, quando multiplicada por um vetor qualquer da figura. 𝐸∙𝑃= 𝐸𝑥 𝐸𝑦 MATRIZES Profª Juliana Schivani

26 Multiplicação de matrizes
Duas matrizes só podem ser multiplicadas entre si se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda. 𝑀 𝑎∙𝑏 ∙ 𝑁 𝑏∙𝑐 = 𝑃 𝑎∙𝑐 A matriz resultado desse produto, obrigatoriamente terá a quantidade de linhas da primeira e a quantidade de colunas da segunda. MATRIZES Profª Juliana Schivani

27 Multiplicação de matrizes
Quando multiplicamos a linha i da primeira matriz pela coluna j da segunda matriz, obteremos o elemento aij da matriz resultado deste produto. Assim, em um produto de A por B, o c21 é resultado do produto da segunda linha de A pela primeira coluna de B. MATRIZES Profª Juliana Schivani

28 Multiplicação de matrizes
O produto de matrizes não é comutativo! 𝑨 𝒎.𝒏 ∙ 𝑩 𝒏.𝒑 ≠ 𝑩 𝒏.𝒑 ∙ 𝑨 𝒎.𝒏 No caso de uma multiplicação de um número real por uma matriz, basta multiplicar o número por cada elemento da matriz. MATRIZES Profª Juliana Schivani

29 Multiplicação de matrizes
𝑅= 𝑐𝑜𝑠90° −𝑠𝑒𝑛90° 𝑠𝑒𝑛90° 𝑐𝑜𝑠90° (-60, 50) 𝑃= 𝑅∙𝑃= −60 50 MATRIZES Profª Juliana Schivani

30 Multiplicação de matrizes
𝐸= 𝑃= P’ = (100, 120) P = (50, 60) 𝑃∙𝐸= MATRIZES Profª Juliana Schivani

31 Multiplicação de matrizes
𝐸= P = (50, 60) 𝑃= P’ = (100, 120) 𝑃∙𝐸= MATRIZES Profª Juliana Schivani

32 Multiplicação de matrizes
Outro exemplo de multiplicação de matrizes é no consumo de energia de uma residência. Veja: 4 x 1 7 x 4 t52 significa o tempo gasto (hs) na sexta-feira com a utilização do aparelho elétrico 2. MATRIZES Profª Juliana Schivani

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Outro exemplo de multiplicação de matrizes é no consumo de energia de uma residência. Veja: 4 x 1 7 x 4 w21 significa o consumo médio (watts) do aparelho elétrico 2. MATRIZES Profª Juliana Schivani

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Outro exemplo de multiplicação de matrizes é no consumo de energia de uma residência. Veja: x = 4 x 1 7 x 4 7 x 1 Para saber o consumo total desses aparelhos em cada dia da semana, basta multiplicar as duas matrizes. MATRIZES Profª Juliana Schivani

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Referências UFRN, Instituto Metrópole Digital. Aula 10 – Aplicações da Matemática na Computação. Disciplina de Matemática Aplicada. TANENBAUM, Andrew S. Organização estruturada de computadores. 5. ed. São Paulo: Editora Prentice Hall do Brasil, 2007. GONZALEZ, Rafael C.; WOODS, Richard E. Digital Image Processing, 1992, Addison-Wesley. Publishing Company, Inc. MATRIZES Profª Juliana Schivani