Aula 5 Value-at-Risk Prof. José Valentim Machado Vicente, D.Sc.

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1 Aula 5 Value-at-Risk Prof. José Valentim Machado Vicente, D.Sc. jvalent@terra.com.br

2 Aula 5 2 Conteúdo da Aula  O que é VaR?  Modelos Paramétricos  Método Delta-Normal  Simulação Histórica

3 Aula 5 3 O que é VaR ?  Metodologia de avaliação do risco proposta pelo Banco J.P. Morgan em 1994.  Valor monetário das perdas a que uma carteira está sujeita, a um determinado nível de confiança e dentro de um horizonte de tempo.  Carteira com VaR de R$ 1.300.000, em um dia e para um nível de confiança de 95%, significa que há 5% de probabilidade de apurarmos uma perda de mais de R$ 1.300.000 em um dia.  Ou ainda que com 95% de confiança a perda não será superior a R$ 1.300.000.

4 Aula 5 4 O que é VaR ?  O VaR está sempre associado a: uma moeda (valor monetário). um intervalo de tempo (quando devemos notar a perda). uma probabilidade (com que freqüência a perda será notada).

5 Aula 5 5 O que é VaR ?  Formalmente temos, Onde: α é o nível de significância (ou (1 – α) é o nível de confiança) adotado.  X t é a variação no valor da carteira de preço X t. VaR é o valor em risco para o horizonte de tempo t.

6 Aula 5 6 A Distribuição Normal  A distribuição normal ou Gaussiana é uma das mais importantes distribuições de probabilidade.  Ela serve como uma excelente aproximação para uma grande classe de distribuições que têm enorme importância prática.  Notação: N( ,  2 ) significa distribuição normal com média  e variância  2. Já Z = N(0,1) significa distribuição normal padrão, isto é, com média zero e a variância unitária.

7 Aula 5 7 A Distribuição Normal  >  > 

8 Aula 5 8  A maior parte dos dados se encontram em torno da média. A medida que nos afastamos dela, tanto para mais como para menos, a probabilidade de ocorrência de um resultado diminui de uma forma simétrica, isto é, a distribuição é uma curva simétrica em relação a .  O espalhamento do gráfico é determinado pelo desvio padrão .  A equação da curva é A Distribuição Normal

9 Aula 5 9 A Distribuição Normal  Propriedade: Se X tem distribuição normal N( ,  2 ) então (X –  )/  tem distribuição normal padrão.  Tabela da distribuição normal padrão. zz  = P[Z  z  ] -30,00135 -20,02275 0,158655 00,5

10 Aula 5 10 A Distribuição Normal  Exemplo: Suponha que a altura H de um brasileiro adulto seja distribuída normalmente com média 170 cm e variância 100 cm 2. Calcule a probabilidade da altura de um brasileiro sorteado ao acaso ser maior que 2,0 m. P[H > 200] = P[H – 170 > 30] = = P[(H – 170)/10 > 3] = = P[Z > 3] = (simetria) = = P[Z < – 3] = (tabela) = 0,00135.

11 Aula 5 11 Modelos Paramétricos – VaR de um Único Ativo  Hipótese 1 - Retorno Aritmético ([S 1 – S 0 ]/S 0, onde S 0 é o preço do ativo hoje e S 1 o preço do ativo amanhã) distribuído normalmente.  Para um horizonte de tempo t diferente de um dia, temos: onde  volatilidade diária do retorno aritmético do ativo, X 0 posição marcada a mercado da carteira, isto é, valor atual investido no ativo, e z 1-  constante relativa ao número de desvios padrões para o nível de confiança desejado.

12 Aula 5 12 Modelos Paramétricos – VaR de um Único Ativo  Exemplo: Considere uma carteira formada unicamente por ações da Petrobras no dia 04/11/2004. Suponha que queiramos determinar o VaR para o dia 05/11/2004 com nível de confiança de 95%. Posição de 10.000 ações de Petrobras, X 0 = 94,49·10.000= R$ 944.900. Nível de confiança 95%  z = 1,65. Volatilidade da Petrobras  = 1,21% (método simples com janela de 60 dias, isto é, o desvio padrão é estimado tendo por base uma amostra dos últimos 60 dias). VaR (1 dia) = 944.900·1,65·1,21% = R$ 18.852.

13 Aula 5 13 Modelos Paramétricos – VaR de um Único Ativo

14 Aula 5 14 Modelos Paramétricos – VaR de um Único Ativo  Hipótese 2 – Retorno Geométrico (ln[S 1 /S 0 ]) distribuído normalmente. onde  g é a volatilidade do retorno geométrico de um dia.  Para os mesmos dados do exemplo anterior temos VaR = R$ 16.640.  Estimando a volatilidade via EWMA com lambda = 0,94 temos:

15 Aula 5 15 Modelos Paramétricos – VaR de uma Carteira  Para carteiras formadas por dois ativos temos de levar em conta o efeito da correlação: Onde: VaR c = Value at Risk da carteira; VaR 1 = Value at Risk do ativo 1 da carteira; VaR 2 = Value at Risk do ativo 2 da carteira ;  1,2 = coeficiente de correlação entre o ativo 1 e o ativo 2.

16 Aula 5 16 Modelos Paramétricos – VaR de uma Carteira  Exemplo: Carteira = 10 mil ações Petrobras e 10 milhões ações de Telemar, o VaR com (1 -  ) = 95% é  Exercício: Verifique que o VaR da carteira é menor que a soma dos VaR´s das duas ações (efeito da diversificação).

17 Aula 5 17  Uma forma alternativa de calcular o VaR de uma carteira formada por dois ativos consiste em, primeiramente, calcular a variância da carteira e em seguida empregar uma das fórmulas de VaR vistas anteriormente. Modelos Paramétricos – VaR de uma Carteira

18 Aula 5 18 O Método Delta-Normal  No método Delta-Normal, o VaR de um ativo (ou carteira) que responde não linearmente em relação a um fator de risco é calculado através de uma linearização de primeira ordem.  Exemplos: A sensibilidade do prêmio de uma opção em relação ao ativo objeto é o delta. A sensibilidade de um título de renda fixa à taxa de juros é a duration.

19 Aula 5 19 O Método Delta-Normal  O VaR de um posição em opções pode ser aproximado pelo VaR de uma posição composta pelo ativo objeto em valor igual a  vezes a posição em opções: onde sigma é a volatilidade do retorno do ativo objeto.  VaR de um título zero-cupon é aproximado por: onde sigma é a volatilidade do retorno da taxa de juros. Se a capitalização é contínua então a duration é igual a T.

20 Aula 5 20 O Método Delta-Normal  Considere uma carteira formada por 100.000 opções sobre Petrobras no dia 04/11/2004. Determine o VaR para o dia 05/11/2004 com 95% de confiança. Suponha válido o modelo de B&S. Suponha também que o único risco importante é o de variação no preço do ativo objeto. Dados da opção: Strike = 96, prazo = 52 dias, taxa para 52 dias = 15.53% a.a. (contínua), prêmio = R$ 5.75.  Nesse caso  = 0,5907, logo: VaR = 0,5907  100.000  94,49  1,21%  1,65 = 111.429

21 Aula 5 21 O Método Delta-Gama-Normal  O método delta-normal consiste em fazer um aproximação de primeira ordem para a influência dos fatores de risco no preço do ativo.  Em algumas situações, essa abordagem apresenta uma qualidade ruim. Portanto, é necessário utilizar termos de ordem superior. A aproximação de segunda ordem é conhecida como delta-gama- normal. Para opções temos:

22 Aula 5 22 Modelos Não Paramétricos  Existem mercados em que a suposição de um distribuição normal para os retornos dos ativos não corresponde a realidade. Exemplos: Mercado de dólares no Brasil entre os anos de 1994 e 1998. Mercados nos quais existe probabilidade não desprezível de ocorrência de retornos longe da média. Carteiras com ativos não lineares como opções.  Solução: Modelos não paramétricos, que consistem basicamente na simulação de uma série de cenários. Essa simulação poder ser feita historicamente ou então usando o método de Monte Carlo.

23 Aula 5 23 Modelos Não Paramétricos  Nos mercados em que existem maiores ocorrências de observações longe da média (distribuições com caudas gordas), assumir uma distribuição normal irá causar, inevitavelmente, uma distorção no cálculo do risco para um valor inferior ao real, ou seja, serão atribuídas probabilidades de ocorrência menores do que as observadas, ou esperadas, para grandes variações. Essa deficiência se agrava principalmente nos casos de haver uma tendência na distribuição (uma cauda mais gorda do que a outra

24 Aula 5 24 Modelos Não Paramétricos  Em estatística, distribuições com caudas gordas são chamadas de leptocúrticas. Uma medida da extensão dos dados observados que caem perto do centro ou nas caudas de uma distribuição é dada pela curtose. A curtose de um conjunto de dados x 1,..., x n é definida como  A função CURT do MS Excel calcula a curtose.

25 Aula 5 25 Modelos Não Paramétricos  A curtose de uma distribuição normal é zero (dizemos que a distribuição é mesocúrtica). Uma curtose maior que zero (leptocúrtica) indica uma distribuição com grandes picos, caudas grossas e poucos dados intermediários. Já uma curtose menor que zero (platicúrtica) significa que a distribuição possui muitos dados de magnitude intermediária e um pico pequeno.

26 Aula 5 26 Modelos Não Paramétricos

27 Aula 5 27 Modelos Não Paramétricos  Outro problema bastante sério dos modelos paramétricos ocorre quando a carteira a ser analisada é uma função não linear de pelo menos um dos fatores de risco. Isso acontece com as opções: dada uma variação no preço do ativo objeto podemos apenas aproximar a variação no prêmio por uma função linear.

28 Aula 5 28 Simulação Histórica  Passo 1: Definir um período de tempo e estudar as variações de preços ocorrida nesse período.  Passo 2: Empregar estas variações para reavaliar a carteira em cada um dos cenários históricos.  Passo 3: Esse conjunto de dados determina a distribuição da carteira segundo a série de cenários simulados  Passo 4: Determinar o quantil dos dados simulados correspondente ao nível de confiança adotado.

29 Aula 5 29 Simulação Histórica  Exemplo: Considere uma carteira formada unicamente por ações da Petrobras no dia 04/11/2004. Suponha que queiramos determinar o VaR para o dia 05/11/2004 com um nível de confiança de 95%. A posição em Petrobras é de 10.000 ações. Fechamento de Petrobras em 04/11/2004 igual R$ 94.49, logo o valor da carteira é R$ 944.900,00.

30 Aula 5 30 Simulação Histórica DataRetornoP/GData*P/G * 04-Nov-20040.52%4,925.5413-Oct-2004-36,946.43 03-Nov-20040.13%1,207.8019-Oct-2004-21,767.75 01-Nov-20040.62%5,873.9828-Jun-2004-17,292.29 29-Oct-20040.16%1,521.5805-Aug-2004-16,229.20 28-Oct-2004-0.90%-8,544.3107-Jul-2004-16,082.87 27-Oct-20040.27%2,519.7322-Jul-2004-13,613.49 26-Oct-2004-1.11%-10,465.6625-Jun-2004-13,394.20 …………… 14-Jun-20041.05%9,918.8423-Jun-200438,580.25

31 Aula 5 31 Simulação Histórica  O VaR com 95% de confiança é o 5% Percentil da última coluna da tabela anterior. Para calcular o percentil de uma série de dados você pode usar a função PERCENTIL do MS Excel.  O percentil pode ser calculado de várias maneiras. Por exemplo, se os dados são 1, 2, 3 e 4, então o Excel considera que esses são os percentis 0, 33.33%, 66.67% e 100% respectivamente. Valores intermediários são obtidos por interpolação.  Então o VaR é R$ 13.737.

32 Aula 5 32 Simulação Histórica  Exercício: Considere uma carteira formada por ações da Petrobras e da Vale no dia 04/11/2004. Determine o VaR para o dia 05/11/2004 com um nível de confiança de 95%. A posição em Vale é de 15.000 ações e em Petrobras é de 10.000 ações.

33 Aula 5 33 Simulação Histórica  VaR = 31.628 DataP/G PetrP/G ValeP/G carteira 4-nov-044,925.541,352.316,277.86 3-nov-041,207.807,585.108,792.89 1-nov-045,873.98303.526,177.50 29-out-041,521.584,272.305,793.88 28-out-04-8,544.31-24,540.69-33,084.99  14-jun-049,918.84-24,730.54-14,811.70

34 Aula 5 34 Simulação Histórica  Considere uma carteira formada por 100.000 opções sobre Petrobras no dia 04/11/2004. Determine o VaR para o dia 05/11/2004 com 95% de confiança. Para calcular o preço simulado use o modelo de B&S. Suponha que o único risco importante é o de variação no preço do ativo objeto. Dados da opção: Strike = 96, prazo = 52 dias, taxa para 52 dias (e 51 dias) = 15.53% a.a. (contínua), prêmio = R$ 5.75.  VaR = R$ 250.027 (solução).solução  Para incluir o risco de volatilidade, é necessário simular a volatilidade para o prazo de 51 dias e moneyness da opção. Isso deve ser feito a partir das superfícies de volatilidade.

35 Aula 5 35 Simulação Histórica

36 Aula 5 36 Simulação Histórica  Calcule o VaR de uma carteira no dia 04/11/04 para o dia 05/11/04 de uma carteira formada por uma LTN vencendo em 50 dias. Use nível de confiança de 95%. Preço atual da LTN = R$ 968,7514 (taxa contínua = 16,00% a.a.).  Nesse exercício, o mais natural é usar a decomposição em vértice adjacentes da LTN. No entanto, para simplificar simulamos apenas a taxa de 49 dias, obtida por interpolação.  VaR = R$ 0,15 (solução).solução

37 Aula 5 37 Simulação Histórica

38 Aula 5 38 Simulação Histórica  Simulação histórica consiste em construir uma base de movimentos diários de todos os fatores de risco de mercado.  Vantagem da SH: Reflete a distribuição multivariada histórica dos fatores de risco.  Desvantagem da SH Não incorpora atualizações da volatilidade (tipo EWMA e GARCH). Isto é, não incorpora volatilidade estocástica.

39 Aula 5 39 Simulação Histórica  Solução 1: Amostrar mais freqüentemente das observações mais recentes. Boudoukh, Richardson, e Whitelaw (1998) propõem uma versão dessa abordagem no qual o peso da observação n+1 dias atrás é igual a lambda vezes o peso da observação n dias atrás. Para determinar o particular percentil é necessário ordenar as observações dos últimos N dias e, começando da menor, acumular os pesos até chegar no percentil.

40 Aula 5 40 Simulação Histórica  Solução 2: Ajustar as observações pela volatilidade GARCH/EWMA estimada diariamente (Hull e White, 1998). Seja h t a variação percentual histórica na data t. Seja  t a volatilidade GARCH/EWMA no dia t e  N a volatilidade GARCH/EWMA no dia N (hoje). Então devemos h t por h t * onde

41 Aula 5 41 Simulação Histórica  Exercício: Aplique os dois métodos anteriores para a carteira no dia 04/11/04 formada por 10.000 ações de Petrobras.

42 Aula 5 42 Leitura  Jorion, (2007) – Value-at-Risk Capítulos 5, 7 e 10.  Hull, J. Options, Futures and Other Derivatives, 2006. Capítulo 16.  Boudoukh, J., M. Richardson, and R. Whitelaw, "The Best of Both Worlds," RISK, May 1998, pp. 64-67.  Hull, J. C, and A. White, "Incorporating Volatility Updating into the Historical Simulation Method for Value at Risk," Journal of Risk, 1, no. 1 (1998), 5-19.