Regras de dedução para lógica proposicional

Apresentação em tema: "Regras de dedução para lógica proposicional"— Transcrição da apresentação:

1 Regras de dedução para lógica proposicional
- Equivalência - Inferência Método dedutivo Silogismo hipotético Silogismo disjuntivo

2 Regras de equivalência
Permitem que fbf’s individuais sejam reescritas mantendo o mesmo valor lógico. Regras de inferência Permitem a dedução de novas fbf’s a partir de fbf’s anteriores na sequência de demonstração.

3 fbf – São fórmulas bem formuladas. Do inglês wff (well-formed formula)
Exemplos A ^ (B → C)’ ((A v B) ^ C) → (B v C’) (A v B)’ Uma fbf com diversos conectivos, o último a ser aplicado é o conectivo principal. A ^ (B → C)’ “O conectivo principal é ^” (A → B) ^ (B → A) “O conectivo principal é ^” (A ^ B) → C “O conectivo principal é →” Letras maiúsculas, como P, Q, R e S são usadas para representar as fbf’s. Exemplo ((A v B) ^ C) → (B v C’) = P → Q

4 Sequência de demonstração, é uma sequência de fbf’s nas quais cada fbf é uma hipótese ou o resultado de se aplicar uma das regras de dedução às fbf’s anteriores na sequência. Regras de dedução, são regras que modificam uma fbf de modo a preservar seu valor lógico. * Todo argumento que podemos provar é uma tautologia

5 Regras de equivalência
Determinados pares de fbf’s são equivalentes. Preservam os valores lógicos. Expressão Equivalente a Nome/Abreviação P v Q P ^ Q Q v P Q ^ P Comutatividade - com (P v Q) v R (P ^ Q) ^ R P v (Q v R) P ^ (Q ^ R) Associatividade - ass (P v Q)’ (P ^ Q)’ P’ ^ Q’ P’ v Q’ Leis de Morgan – De Morgan P → Q P’ v Q Condicional - cond P (P’)’ Dupla Negação - dn P ↔ Q (P→ Q) ^ (Q → P) Definição de equivalência - equi

6 Regras de equivalência
Exemplo (A’ v B’) v C 1) (A’ v B’) v C – hip (hipótese) 2) (A ^ B)’ v C – 1, De Morgan 3) (A ^ B) → C – 2, cond. Passo 1 é a hipótese. Passo 2 é deduzido do passo 1 usando-se uma das leis de Morgan. Passo 3 é deduzido do passo 2 usando a regra do condicional (P → Q ≡ P’ v Q), onde P é A ^B e Q é C.

7 Regras de equivalência
As regras de equivalência permitem substituição em qualquer direção. Exemplo No exemplo anterior, substituímos A’ v B’ por (A ^ B)’ mas, em outra sequência de demonstração usando a mesma regra, poderíamos substituir (A ^ B)’ por A’ v B’.

8 Regras de inferência As regras de inferência dizem que se uma ou mais fbf’s, contidas na primeira coluna das regras de inferência, fazem parte de uma sequência de demonstração, então podemos adicionar uma nova fbf na sequência substituindo-se a(s) anterior(res) pela(s) fbf’s correspondente(s) na segunda coluna das regras. Ao contrário das regras de equivalência, as regras de inferência não funcionam em ambas as direções.

9 Regras de inferência P, P → Q Q P → Q, Q’ P’ P, Q P ^ Q P P v Q De
Podemos deduzir Nome / Abreviação P, P → Q Q Modus ponens - mp P → Q, Q’ P’ Modus tollens – mt P, Q P ^ Q Conjunção – conj Simplificação – simp P P v Q Adição – ad

10 Regras de inferência Exemplo
Suponha que A → (B ^ C) e A são duas hipóteses em um argumento. Uma sequência de demonstração para o argumento poderia começar com os seguintes passos: Justificativa: P é A e Q é B ^ C. A → (B ^ C) - hip A - hip B ^ C - 1, 2 mp 1) P → Q 2) P 3) Q Modus ponens: P, P → Q deduz Q

11 Regras de Inferência (adicionais)
Podemos deduzir Nome/Abreviação da regra P → Q, Q → R P → R Silogismo hipotético – sh P v Q, P’ Q Silogismo disjuntivo – sd P → Q Q’ → P’ Contraposição - cont Contraposição – cont P P ^ P Auto-referência – auto P v P (P ^ Q) → R P → (Q → R) Exportação – exp P, P´ Inconsistência – inc P ^ (Q v R) (P ^ Q) v (P ^ R) Distributividade – dist P v (Q ^ R) (P v Q) ^ (P v R)

12 Sequência de demonstração
A ^ (B → C) ^ [(A ^ B) → (D v C’)] ^ B → D A hip B → C hip (A ^ B) → (D v C’) hip B hip C 2,4 mp A ^ B 1,4 conj D v C’ 3,6 mp C’ v D 7 com C → D 8 cond D 5,9 mp

13 Sugestões de dedução Modus Ponens é, provavelmente, a regra de inferência mais intuitiva. Tente usá-la muitas vezes. Fbf’s da forma (P ^ Q)’ ou (P v Q)’ dificilmente são úteis numa sequência de demonstração. Tente usar leis de Morgan para convertê-las em P’ v Q’ e P’ ^ Q’, respectivamente, separando os componentes individuais. Fbf’s da forma P v Q dificilmente são úteis em uma sequência de demonstração, já que não implicam P nem Q. Tente usar a dupla negação para converter P v Q em (P’)’ v Q e depois usar a regra do condicional para obter P’ → Q.

14 Método dedutivo Suponha que o argumento que queremos provar tenha a forma P1 ^ P2 ^ P3 ^ ... ^ Pn → (R → S) onde a conclusão é uma implicação. Ao invés de usar P1, ..., Pn como hipóteses e inferir R → S, o método dedutivo nos permite adicionar R como hipótese adicional e depois inferir S. Em outras palavras, podemos provar P1 ^ P2 ^ P3 ^ ... ^ Pn ^ R → S

15 Método dedutivo Exemplo
Usando o método dedutivo, temos duas hipóteses ao invés de uma e queremos obter B. [A → (A → B)] → (A → B) A → (A → B) hip A hip A → B 1,2 mp B 2,3 mp

16 Método dedutivo A regra para o silogismo hipotético (sh) é
De P → Q e Q → R pode-se deduzir P → R. O que essa regra diz é que (P → Q) ^ (Q → R) → (P → R) é um argumento válido. Exemplo (A’ v B) ^ (B → C) → (A → C) A’ v B hip B → C hip A → B 1, cond A → C 2,3 sh

17 Método dedutivo Sequência de demonstração não utilizando o silogismo hipotético A’ v B hip B → C hip A → B 1 cond A hip B 3,4 mp C 2,5 mp

18 Exercícios Justifique cada passo da sequência de demonstração:
[A → (B v C)] ^ B` ^ C` → A` 1. A → (B v C) 2. B` 3. C` 4. B` ^ C` 5. (B v C)` 6. A`

19 Exercícios Prove a validade dos argumentos abaixo, utilizando a sequência de demonstração: A` ^ (A v B) → B P ^ P` → Q (P v Q) ^ P` → Q (A → B) ^ (A` → B) → B

20 Exercícios Justifique cada passo da sequência de demonstração:
[A → (B v C)] ^ B` ^ C` → A` 1. A → (B v C) 2. B` 3. C` 4. B` ^ C` 5. (B v C)` 6. A`

21 Exercícios Prove a validade dos argumentos abaixo, utilizando a sequência de demonstração: A` ^ (A v B) → B P ^ P` → Q (P v Q) ^ P` → Q (A → B) ^ (A` → B) → B

22 Silogismo Disjuntivo (Regra de inferência) - Adicional
É possível utilizar mais uma regra de inferência, a do Silogismo disjuntivo (sd), a mesma pode ser incluída na tabela das regras de inferência. De Podemos deduzir P v Q, P’ Q

23 Exercícios Prove a validade do argumento abaixo, utilizando a sequência de demonstração: (A → B) ^ (C’ v A) ^ C → B (J → I) ^ (F v I’) ^ J → F C ^ (D’ → C’) → D (R ^ (F’ v N)) ^ N’ ^ (E’ → F) → (E ^ R)

24 EXERCÍCIOS 2) Justifique cada passo na sequência de demonstração:
a) A ^ (B → C) → (B → (A ^ C)) A B → C B C A ^ C b) A’ ^ B ^ [B → (A v C)] → C A’ B → (A v C) A v C (A’)’ v C A’ → C

25 EXERCÍCIOS 3) Justifique cada passo na sequência de demonstração:
[A → (B v C)] ^ B’ ^ C’ → A’ A → (B v C) B’ C’ B’ ^ C’ (B v C)’ A’

26 EXERCÍCIOS 4) Use a lógica proposicional para provar que o argumento é válido. (A → B) ^ [A → (B → C)] → (A → C) A’ ^ (A v B) → B (P v Q) ^ P’ → Q P ^ P’ → Q