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Modelos Matemáticos n Usados como tipos em especificações baseadas em modelos n Apresentados como teorias ou sistemas formais n Uma teoria é definida.

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2 Modelos Matemáticos n Usados como tipos em especificações baseadas em modelos n Apresentados como teorias ou sistemas formais n Uma teoria é definida em termos de: –Linguagem formal –Axiomas –Regras de Inferência

3 Teorias: conceitos adicionais n Teoremas são fórmulas derivadas dos axiomas usando-se regras de inferência n A derivação ou prova de uma fórmula A a partir de um conjunto P de fórmulas é uma seqüência cuja última fórmula é A e cada fórmula na seqüência é: –um axioma –uma premissa (hipótese) - elemento de P –conseqüência de uma fórmula anterior produzida por uma regra de inferência

4 Exemplo n Linguagem: sentença :: nat é par nat :: 0 | 1 | 2 |... n Axioma: 0 é par n Regra de Inferência: se n é par então n + 2 é par n Teorema: 2 é par n Derivação (prova) 1. 0 é par [axioma] 2. 2 é par [1, regra de inferência]

5 Exemplo: Cálculo Proposicional n Linguagem: sentença :: P | Q | R |... |  sentença | sentença  sentença | sentença  sentença | sentença  sentença | sentença  sentença n Axioma: ---

6 Regras de Inferência (Cálculo Proposicional) P, Q P  Q Q, P P  Q  - Intro P  Q P Q  - Elim P P  Q P Q  P  - Intro R  - Elim P R,Q R, P  Q

7 Regras de Inferência (Cálculo Proposicional) P  Q, Q  P P  Q  - Intro P, P  Q Q  - Elim P Q P  Q  - Intro P  Q P  Q P  Q Q  P  - Elim ¬ - Intro ¬ P P Q,P ¬ Q ¬ ¬ P P ¬ - Elim

8 Exercício n Prove o seguinte teorema: P  Q P  Q

9 Regras de Inferência (Cálculo de Predicados)  x. P(x) P(a)  x. P(x)  - Elim  - Intro  - Intro  x. P(x),  x. P(x)  Q Q  - Elim Para um arbitrário P(a)  x. P(x) a

10 Exercício n Prove o seguinte teorema: P(m),  x. (P(x)  Q(x)) Q(m)

11 Teoria de Conjuntos n Conjuntos são coleções de elementos onde a ordem e a repetição de elementos são irrelevantes n Existem dois tipos de representação: Por extenso Compreensão {e 1,..., e n } {x:S | P(x). t(x)} n Exemplos {2, 3, 5, 7} {x:IN | x é primo  x<10. x} {0, 2, 4,...} {x:IN | true. 2 * x} {0, 2, 4, 6} {x:IN | x<4. 2 * x}

12 Teoria de Conjuntos n Abreviações {x:S. t(x)} = {x:S | true. t(x)} {x:S | P(x)} = {x:S | P(x). x} n Portanto, {x:IN. 2 * x} = {x:IN | true. 2 * x} {x:IN | x é primo  x<10} = {x:IN | x é primo  x<10. x}

13 Uma Operação Básica: Pertinência n x  S n x  S =  (x  S) n {x:S | P(x). T(x)} = {x | x  S  P(x). T(x)}

14 Axiomas Fundamentais n Axioma 1. Uma expressão pertence a um conjunto se e somente se tal expressão é igual a um dos elementos deste conjunto: x  {e1,..., en}  (x=e1 ...  x=en) n Axioma 2. Extensionalidade (S=T)  (  x. x  S  x  T)  (  x. x  S  x  T)  (  x. x  T  x  S)

15 Provando Alguns Fatos Elementares n Lema 1. Cada elemento do conjunto {1, 2} é também um elemento do conjunto {2, 1}  x. x  {1, 2}  x  {2,1} Prova: 1. x  {1, 2}[Hipótese] 2. x=1  x=2[Axioma 1] 3. x=2  x=1[Comut. de  ] 4. x  {2, 1}[Axioma 1] 5. x  {1, 2}  x  {2, 1}[  - Intro] 6.  x.x  {1, 2}  x  {2, 1}[  - Intro]

16 n Lema 2. Cada elemento do conjunto {2,1} é também um elemento do conjunto {1,2}  x. x  {2, 1}  x  {1, 2} Prova. Simétrica a do Lema 1. Provando Alguns Fatos Elementares

17 n Teorema {1, 2}={2, 1} Prova. 1.  x.x  {1,2}  x  {2,1}[Lema 1] 2.  x.x  {2,1}  x  {1,2}[Lema 2] 3.  x.x  {1,2}  x  {2,1}  [  -Intro]  x.x  {2,1}  x  {1,2} 4. {1,2} = {2,1}[Axioma 2] n Exercício: Prove que {2,2}={2} Provando Alguns Fatos Elementares

18 Versões do Axioma de Pertinência n Axioma 3. x  {y:S | P(y)}  (x  S  P(x)) n Axioma 4. x  {y:S. t(y)}  (  y:S. x=t(y)) n Axioma 5. x  {y:S | P(y). t(y)}  (  y:S | P(y). x=t(y))

19 Exercício Prove o seguinte teorema n Teorema. A substituição de um predicado (numa representação de conjuntos por compreesão) por um predicado mais fraco pode resultar num conjunto maior. (  x.P(x)  Q(x))  (  x.x  {y:S | P(y)}  x  {y:S | Q(y)})

20 Resolução Teorema: (  x.P(x)  Q(x))  (  x.x  {y:S | P(y)}  x  {y:S | Q(y)}) 1.  x. P(x)  Q(x) [hipótese] 2. P(a)  Q(a) [  -elim] 3. a  {y:S | P(y)} [hipótese] 4. a  S  P(a) [Axima 3] 5. P(a) [  -elim] 6. Q(a) [  -elim] 7. a  S [  -elim] 8. a  S  Q(a) [7,6  -intro] 9. a  {y:S | Q(y)} [Axima 3] 10. a  {y:S | P(y)}  a  {y:S | Q(y)} [  -intro] 11.  x.x  {y:S | P(y)}  x  {y:S | Q(y)}) [  -intro] 12. (  x.P(x)  Q(x))  (  x.x  {y:S | P(y)}  x  {y:S | Q(y)}) [1-11  -intro]

21 Conjunto Vazio: {} n Axioma 6.   x. x  {} ou equivalentemente:  x.  ( x  {}) ou ainda:  x. ( x  {})

22 Subconjuntos:  Definição. (S  T)  (  x. x  S  x  T) Teoremas: (S = T)  (S  T  T  S) (S  T)  (S  T   (S = T)) (S  T)  (S  T)  S. {}  S  S. S  S

23 Conjunto das Partes: |P Definição. (T  |P S)  (T  S) Teoremas:  S. {}  |P S  S. S  |P S

24 Produto Cartesiano:  Definição. p  (S  T)   y, z. p = (y, z)  y  S  z  T Usando a notação de compreensão, temos: (S  T) = {y : S; z : T. (y, z)}

25 Alguns operadores auxiliares Funções de projeção sobre pares: first (y, z) = y second (y, z) = z Cardinalidade de conjuntos finitos: # S

26 Referências n Seção 4.1 do livro The Z Notation n Capítulo 5 do livro Using Z


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