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Lógica Proposicional Completude e Corretude do Sistema de Tableaux Semânticos.

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Apresentação em tema: "Lógica Proposicional Completude e Corretude do Sistema de Tableaux Semânticos."— Transcrição da apresentação:

1 Lógica Proposicional Completude e Corretude do Sistema de Tableaux Semânticos

2 Relembrando Corretude e Completude...

3 Correto Correto: Toda sentença deduzida por SD a partir de um dado conjunto de sentenças S inclusive o conjunto vazio de sentenças! Seja realmente dedutível a partir de S! Se as premissas são válidas, a conclusão também é válida!

4 Completo e Consistente Completo: Toda sentença realmente dedutível a partir de S, seja também dedutível através de SD Consistente: Não seja possível gerar contradições usando SD

5 Teorema da correção Um sistema de dedução SD é correto se satisfaz à condição abaixo Se Γ ├ SD A, então Γ ⊨ A SD só deduz fórmulas corretas!!

6 Teorema da completude Um sistema de dedução SD é completo se satisfaz às condições abaixo Se Γ ⊨ A, então Γ ├ SD A Toda fórmula dedutível também é dedutível por SD!!

7 Conjuntos Saturados Um conjunto de fórmulas θ em que: Se existe uma fórmula em θ do tipo α, então α1 e α2 também estão em θ Se A é do tipo α e A ∈ θ  α1∈ θ e α2 ∈ θ Se existe uma fórmula em θ do tipo β, então β1 ou β2 também estão em θ Se A é do tipo β e A ∈ θ  β1∈ θ ou β2 ∈ θ

8 Conjuntos de Hintikka ou Conjuntos Descendentemente Saturados Um conjunto saturado de fórmulas θ em que: Nenhuma fórmula e sua negação estão em θ A ∈ θ  ¬A ∉ θ

9 Conjuntos de Hintikka ou Conjuntos Descendentemente Saturados Um conjunto de fórmulas θ em que: Nenhuma fórmula e sua negação estão em θ A ∈ θ  ¬A ∉ θ Se existe uma fórmula em θ do tipo α, então α1 e α2 também estão em θ Se α ∈ θ  α1∈ θ e α2 ∈ θ Se existe uma fórmula em θ do tipo β, então β1 ou β2 também estão em θ Se β ∈ θ  β1∈ θ ou β2 ∈ θ

10 Lema Todo ramo saturado e aberto de um tableaux é descendentemente saturado Prova: Se é aberto, satisfaz à 1ª condição A ∈ θ  ¬A ∉ θ Se é saturado satisfaz à 2ª condição

11 Lema Θ (ainda não saturado) é satisfatível se para toda fórmula sse para toda ψ∈θ, existir uma interpretação I tal que I[ ψ ]=T Se θ é satisfatível, então θ U { α1,α 2} é satisfatível tb Se θ é satisfatível, então θ U { β 1} é satisfatível ou θ U { β 2} é satisfatível

12 Demonstração Suponha que α∈θ e é da forma A^B. Se θ é satisfatível, então existe I[ θ ]=T e I[A^B]=T tb. Então I[A]=I[B]=T e θ U {A,B} é satisfatível tb Suponha que β∈θ e é da forma AvB. Se θ é satisfatível, então existe I[ θ ]=T e I[AvB]=T tb. Então I[A]=T ou I[B]=T e θ U { A } ou θ U {B} é satisfatível Provas análogas para A  B e ¬A

13 Lema de Hintikka Todo conjunto descendentemente saturado é satisfatível Prova Se é descendentemente saturado então A ∈ θ  ¬A ∉ θ Se A e ¬A ∉ simultaneamente a θ e é saturado então A é satisfatível (ramo aberto) e há uma interpretação I[A]=T

14 Lema de Hintikka - Prova Caso básico coberto ( A ∈ θ  I[A]=T) Indução sobre a complexidade de ψ∈θ Caso α ∈ θ  α1,α2 ∈ θ Pela hipótese de indução I[ α]=T então I[ α 1] = I[ α 2]=T

15 Lema de Hintikka - Prova Caso básico coberto ( A ∈ θ  I[A]=T) Indução sobre a complexidade de ψ∈θ Caso α ∈ θ Caso β ∈ θ  β1∈ θ ou β2 ∈ θ Pela hipótese de indução I[ β]=T então I[ β 1] =T ou I[ β 2]=T Se I[ β 1] =T ou I[ β 2]=T  I[ β ]=T

16 Corretude dos Tableaux Se Γ ├ TS A, então Γ ⊨ A Prova pela contrapositiva Supomos Γ ⊭ A e se chegarmos em Γ⊬ TS A, então está provado Se Γ ⊭ A então existe uma interpretação I tal que I[ Γ ]=T e I[A]=F

17 Corretude dos Tableaux (cont) Seja Θ um conjunto de fórmulas ainda não saturado e que θ ├ TS A mas por absurdo θ ⊭ A Neste caso, existe uma interpretação I[ θ ]=T e I[A]=F Se θ ├ TS A então I[ θ ]=T Chamamos θ i a expansão por tableaux de θ em que foi aplicada apenas uma regra

18 Corretude dos Tableaux (cont) A cada passo de expansão por tableaux de θ, haverá um ramo θ i, em que foi aplicada apenas uma regra Se existe uma interpretação I[ θ ]=T, nesta interpretação I[ θ i-1 ]=T

19 Corretude dos Tableaux (cont) Então por lemas anteriores, se θi-1 é satisfatível e há uma expansão : por α, então θi= θi-1 U { α1,α 2} é satisfatível tb O ramo continua aberto! por β, então θi= θi-1 U { β 1 ou β 2} é satisfatível Um dos ramos está aberto!

20 Corretude dos Tableaux (cont) Sempre haverá um ramo aberto, que após as expansões será um conjunto descendentemente saturado, e que não fecha Portanto θ ⊬ TS A Não pode haver tableau fechado quando θ ⊭ A

21 Completude dos Tableaux Se Γ ⊨ A então Γ ├ TS A Prova pela contrapositiva Supomos Γ ⊬ TS A e se chegarmos em Γ⊭ A, então está provado Se Γ ⊬ TS A então temos um ramo θ saturado Pelo lema de Hintikka, θ é satisfatível Então existe uma interpretação I tal que I[ Γ ]=T e I[A]=F e portanto Γ⊭ A

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