Completude e Corretude do Sistema de Tableaux Semânticos

Apresentação em tema: "Completude e Corretude do Sistema de Tableaux Semânticos"— Transcrição da apresentação:

1 Completude e Corretude do Sistema de Tableaux Semânticos
Lógica Proposicional Completude e Corretude do Sistema de Tableaux Semânticos

2 Relembrando Corretude e Completude...

3 Correto Correto: Toda sentença deduzida por SD a partir de um dado conjunto de sentenças S inclusive o conjunto vazio de sentenças! Seja realmente dedutível a partir de S! Se as premissas são válidas, a conclusão também é válida!

4 Completo e Consistente
Toda sentença realmente dedutível a partir de S, seja também dedutível através de SD Consistente: Não seja possível gerar contradições usando SD

5 Teorema da correção Se Γ├SD A, então Γ ⊨ A
Um sistema de dedução SD é correto se satisfaz à condição abaixo Se Γ├SD A, então Γ ⊨ A SD só deduz fórmulas corretas!!

6 Teorema da completude Se Γ⊨ A, então Γ├SD A
Um sistema de dedução SD é completo se satisfaz às condições abaixo Se Γ⊨ A, então Γ├SD A Toda fórmula dedutível também é dedutível por SD!!

7 Conjuntos Saturados Um conjunto de fórmulas θ em que:
Se existe uma fórmula em θ do tipo α, então α1 e α2 também estão em θ Se A é do tipo α e A ∈ θ  α1∈ θ e α2 ∈ θ Se existe uma fórmula em θ do tipo β, então β1 ou β2 também estão em θ Se A é do tipo β e A ∈ θ  β1∈ θ ou β2 ∈ θ

8 Conjuntos de Hintikka ou Conjuntos Descendentemente Saturados
Um conjunto saturado de fórmulas θ em que: Nenhuma fórmula e sua negação estão em θ A ∈ θ  ¬A ∉ θ

9 Conjuntos de Hintikka ou Conjuntos Descendentemente Saturados
Um conjunto de fórmulas θ em que: Nenhuma fórmula e sua negação estão em θ A ∈ θ  ¬A ∉ θ Se existe uma fórmula em θ do tipo α, então α1 e α2 também estão em θ Se α ∈ θ  α1∈ θ e α2 ∈ θ Se existe uma fórmula em θ do tipo β, então β1 ou β2 também estão em θ Se β ∈ θ  β1∈ θ ou β2 ∈ θ

10 Lema Todo ramo saturado e aberto de um tableaux é descendentemente saturado Prova: Se é aberto, satisfaz à 1ª condição A ∈ θ  ¬A ∉ θ Se é saturado satisfaz à 2ª condição

11 Lema Θ (ainda não saturado) é satisfatível se para toda fórmula sse para toda ψ∈θ, existir uma interpretação I tal que I[ψ]=T Se θ é satisfatível, então θ U {α1,α2} é satisfatível tb Se θ é satisfatível, então θ U {β1} é satisfatível ou θ U {β2} é satisfatível

12 Demonstração Suponha que α∈θ e é da forma A^B.
Se θ é satisfatível, então existe I[θ]=T e I[A^B]=T tb. Então I[A]=I[B]=T e θ U {A,B} é satisfatível tb Suponha que β∈θ e é da forma AvB. Se θ é satisfatível, então existe I[θ]=T e I[AvB]=T tb. Então I[A]=T ou I[B]=T e θ U {A} ou θ U {B} é satisfatível Provas análogas para AB e ¬A

13 Lema de Hintikka Todo conjunto descendentemente saturado é satisfatível Prova Se é descendentemente saturado então A ∈ θ  ¬A ∉ θ Se A e ¬A ∉ simultaneamente a θ e é saturado então A é satisfatível (ramo aberto) e há uma interpretação I[A]=T

14 Lema de Hintikka - Prova
Caso básico coberto (A ∈ θ  I[A]=T) Indução sobre a complexidade de ψ∈θ Caso α ∈ θ  α1,α2 ∈ θ Pela hipótese de indução I[α]=T então I[α1] = I[α2]=T

15 Lema de Hintikka - Prova
Caso básico coberto (A ∈ θ  I[A]=T) Indução sobre a complexidade de ψ∈θ Caso α ∈ θ Caso β ∈ θ  β1∈ θ ou β2 ∈ θ Pela hipótese de indução I[β]=T então I[β1] =T ou I[β2]=T Se I[β1] =T ou I[β2]=T  I[β]=T

16 Corretude dos Tableaux
Se Γ├TS A, então Γ ⊨ A Prova pela contrapositiva Supomos Γ ⊭ A e se chegarmos em Γ⊬TS A, então está provado Se Γ ⊭ A então existe uma interpretação I tal que I[Γ]=T e I[A]=F

17 Corretude dos Tableaux (cont)
Seja Θ um conjunto de fórmulas ainda não saturado e que θ├TS A mas por absurdo θ ⊭ A Neste caso, existe uma interpretação I[θ]=T e I[A]=F Se θ├TS A então I[θ]=T Chamamos θi a expansão por tableaux de θ em que foi aplicada apenas uma regra

18 Corretude dos Tableaux (cont)
A cada passo de expansão por tableaux de θ, haverá um ramo θi, em que foi aplicada apenas uma regra Se existe uma interpretação I[θ]=T, nesta interpretação I[θi-1]=T

19 Corretude dos Tableaux (cont)
Então por lemas anteriores, se θi-1é satisfatível e há uma expansão : por α, então θi= θi-1 U {α1,α2} é satisfatível tb O ramo continua aberto! por β, então θi= θi-1 U {β1 ou β2} é satisfatível Um dos ramos está aberto!

20 Corretude dos Tableaux (cont)
Sempre haverá um ramo aberto, que após as expansões será um conjunto descendentemente saturado, e que não fecha Portanto θ⊬TS A Não pode haver tableau fechado quando θ ⊭ A

21 Completude dos Tableaux
Se Γ ⊨ A então Γ├TS A Prova pela contrapositiva Supomos Γ ⊬TS A e se chegarmos em Γ⊭ A, então está provado Se Γ ⊬TS A então temos um ramo θ saturado Pelo lema de Hintikka, θ é satisfatível Então existe uma interpretação I tal que I[Γ]=T e I[A]=F e portanto Γ⊭ A

22