Dedução Natural Universidade Tecnológica Federal do Paraná

Apresentação em tema: "Dedução Natural Universidade Tecnológica Federal do Paraná"— Transcrição da apresentação:

1 Dedução Natural Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Curso de Engenharia de Computação

2 Método da dedução natural
Deduzir uma conclusão a partir de premissas. Regras de inferência. Método prático.

3 Regras de inferência Quantas regras se pode ter num sistema?
Mínimo: duas regras para cada operador – introdutora e eliminadora. Regras de inferência diretas. Regras de inferência hipotéticas. Regras de inferência derivadas.

4 Regras de inferência diretas
Dupla Negação (DN): ¬¬  Modus Ponens (MP):   Conjunção (C):  Separação (S):     Expansão (E):    

5 Regras de inferência diretas
Silogismo Disjuntivo (SD):   ¬ ¬   Condicionais para Bicondicional (CB):    Bicondicional para Condicionais (BC):    

6 Exemplo de dedução Pa  (Qab  Cq), (Qab  Cq)  Dc,
Dc  (E  (¬E  Fba)), Pa, ¬E ╞ Fba. 1. Pa  (Qab  Cq) P 2. (Qab  Cq)  Dc P 3. Dc  (E  (¬E  Fba)) P 4. Pa P 5. ¬E P ?Fba

7 1. Pa  (Qab  Cq) P 2. (Qab  Cq)  Dc P 3. Dc  (E  (¬E  Fba)) P 4. Pa P 5. ¬E P ?Fba 6. Qab  Cq 1, 4 MP 7. Dc , 6 MP 8. E  (¬E  Fba) 3, 7 MP 9. ¬E  Fba 5, 8 SD 10. Fba 5, 9 MP

8 Definições “Definição 1: Sejam  um conjunto qualquer
de fórmulas e  uma fórmula. Uma dedução de  a partir de  é uma sequência finita 1,...,n de fórmulas, tal que n =  e cada i, 1 i  n, é uma fórmula que pertence a  ou foi obtida a partir de fórmulas que aparecem antes na sequência, por meio da aplicação de alguma regra de inferência.” (MORTARI, 2001:242)

9 Definições “Definição 2: Sejam  um conjunto qualquer
de fórmulas e  uma fórmula. Dizemos que  é consequência lógica (sintática) de , o que denotamos por ├  , se há uma dedução de  a partir de .” (MORTARI, 2001:243)

10 Exemplos {Pa  (Qab  Cq), (Qab  Cq)  Dc,
Dc  (E  (¬E  Fba)), Pa, ¬E} ├ Fba. {1,...,n} ├  1,...,n ├ 

11 Regras de inferência hipotéticas
Se Miau é um gato típico, ele não gosta de nadar. Se não gosta de nadar, então não pratica pesca submarina. Logo, se Miau é um gato típico, Miau não pratica pesca submarina. Gm  ¬Nm, ¬Nm  ¬Pm ├ Gm  ¬ Pm. 1. Gm  ¬Nm P 2. ¬Nm  ¬Pm P ?Gm  ¬ Pm 3. | Gm H ?¬Pm

12 1. Gm  ¬Nm P 2. ¬Nm  ¬Pm P ?Gm  ¬ Pm 3. Gm H ?¬Pm 4. ¬Nm 1, 3 MP 5. ¬Pm 2, 4 MP 6. Gm  ¬Pm 3-5 RPC

13 Regra de prova condicional
Formulação  :  

14 Uso apropriado da RPC Introduzir na derivação uma linha vertical toda vez que uma hipótese adicional for introduzida. Não usar uma fórmula que ocorre à direita de uma linha vertical depois de terminada essa linha. Descartar as hipóteses na ordem inversa em que foram introduzidas. Uma dedução não termina enquanto não forem descartadas todas as hipóteses adicionais.

15 Regras de inferência hipotéticas
Cb  ¬Fnp ├ ¬(Cb  Fnp) 1. Cb  ¬Fnp P ?¬(Cb  Fnp) 2. Cb  Fnp H ?CTR 3. Cb 2 S 4. ¬Fnp 1, 3 MP 5. Fnp 2 S 6. Fnp  ¬Fnp 4, 5 C 7.¬(Cb  Fnp) RAA

16 Regra de redução ao absurdo
Formulação:  ¬ ¬

17 Regras de inferência derivadas
São as regras que podem ser provadas a partir das regras mencionadas anteriormente. Podem ser consideradas como uma maneira de abreviar parte de uma dedução.

18 Regras de inferência derivadas
Modus Tollens (MT):  ¬ ¬ Silogismo Hipotético(SH):   Contraposição ¬¬ Dupla Negação (DN): ¬¬  Contradição (CTR): ¬  Leis de De Morgan (DM): ¬(  ) ¬(  ) ¬  ¬ ¬  ¬

19 Teoremas Definição 3: Uma fórmula  é um teorema
(do CQC) se há uma dedução de  a partir do conjunto vazio de premissas. Assim,  é um teorema se e somente se ├ , o que abreviamos escrevendo simplesmente ├ .

20 Teoremas Exemplo: ├ (Fa  Gb)  Fa. 1. Fa  Gb H 2. Fa 1 S
3. (Fa  Gb)  Fa RPC

21 Consequência sintática e consequência semântica
Teorema de Correção e Completude ├  se e somente se ╞   é uma consequência sintática de  se e somente se  é uma consequência semântica de .

22 O método de dedução natural é um sistema
de prova correto e completo. Correto porque se uma conclusão pode ser deduzida de um conjunto  de premissas, então ela de fato é consequência lógica (semântica) de . E completo porque, se uma fórmula é consequência lógica (sintática) de um conjunto de premissas, há uma dedução demonstrando isso.