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Resolução Aron Sebastian André Sousa Vivian Maria Márcio André

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Apresentação em tema: "Resolução Aron Sebastian André Sousa Vivian Maria Márcio André"— Transcrição da apresentação:

1 Resolução Aron Sebastian André Sousa Vivian Maria Márcio André

2 Resolução Princípio da Resolução A resolução na lógica de primeira ordem Exemplos

3 Princípio da Resolução O princípio da resolução é uma regra de inferência que dá origem a uma técnica de demonstração por refutação para sentenças e inferências da lógica proposicional e da lógica de primeira ordem.

4 A Resolução na Lógica de Primeira Ordem A resolução na Lógica de primeira ordem condensa os silogismos tradicionais de inferência lógica em uma única regra. Para entender como a resolução funciona, considere o seguinte exemplo de silogismo da lógica aristotélica: Todos os gregos são europeus. Homero é grego. Então, Homero é europeu. Ou de maneira mais geral: X.(P(X) implica Q(X)). P(a). Então, Q(a).

5 A Resolução na Lógica de Primeira Ordem Para traçar o raciocínio usado na técnica de resolução, primeiro as cláusulas devem ser convertidas para a forma normal conjuntiva. Nessa forma, todas as quantificações se tornam implícitas: quantificadores universais em variáveis (X, Y...) são simplesmente omitidos quando subentendidos, enquanto variáveis em quantificadores existenciais são substituídas por funções de Skolem. ¬P(X) V Q(X) P(a) Então, Q(a)

6 A Resolução na Lógica de Primeira Ordem Então a questão é, como a técnica de resolução deriva a ultima cláusula a partir das duas primeiras? A regra é simples: Encontre duas cláusulas contendo o mesmo predicado, onde uma cláusula é negada e a outra não. Faça a unificação em ambos os predicados. (Se a unificação falhar, então você fez uma má escolha de predicados. Volte para o passo anterior e tente novamente.)

7 A Resolução na Lógica de Primeira Ordem Se, após a unificação, alguma variável não-ligada que foi ligada nos predicados unificados também ocorre em outros predicados nas duas cláusulas, então substitua pelos seus respectivos termos ligados. Descarte os predicados unificados, e combine o restante das duas cláusulas em uma nova cláusula.

8 A Resolução na Lógica de Primeira Ordem Para aplicar essa regra no exemplo acima, nós encontramos o predicado P na forma negada na primeira cláusula: ¬P(X) E em forma não negada na segunda cláusula: P(a) X é uma variável livre, enquanto a é um átomo. Unificando os dois obtemos a substituição: = [(a,X)] Descartando os predicados unificados, e aplicando a substituição dos predicados restantes (apenas Q(X), nesse caso), obtemos a conclusão: Q(a)

9 A Resolução na Lógica de Primeira Ordem Para um outro exemplo, considere a forma silogística: Todos os políticos são corruptos. Todos os corruptos são mentirosos. Então todos os políticos são mentirosos. Ou de maneira mais geral: X P(X) implica Q(X) X Q(X) implica R(X) Então, X P(X) implica R(X)

10 A Resolução na Lógica de Primeira Ordem Na FNC (Forma Normal Conjuntiva): ¬P(X) V Q(X) ¬Q(Y) V R(Y) (Note que a variável na segunda cláusula foi renomeada pra deixar claro que variáveis em cláusulas diferentes são distintas) Agora, unificando Q(X) na primeira cláusula com Q(Y) na segunda cláusula temos que X e Y se tornam a mesma variável. Efetuando esta substituição nas cláusulas restantes e combinando-as, temos a conclusão: ¬P(X) V R(X)

11 Exemplos de Resolução Toda pessoa é sábia ou tucana. Zé não é tucano. Zé é sábio? U=pessoas I[q(x)]=T sse x é sábio I[p(x)]=T sse x é tucana I[a]=Zé

12 Exemplos de Resolução Cont. Toda pessoa é sábia ou tucana. Zé não é tucano. Zé é sábio? ( x)(p(x)v q(x))^ p(a) q(a)

13 Exemplos de Resolução Cont. Por refutação: (( x)(p(x)v q(x))^ p(a) q(a)) ( (( x)(p(x)v q(x))^ p(a)) v q(a)) ( x)(p(x)v q(x))^ p(a)) v q(a)) ( x)(p(x)v q(x))^ p(a)) ^ q(a)) {[p(x),q(x)], [ p(a)], [ q(a)]}

14 Exemplos de Resolução Cont. Agora, é só fazer a expansão por resolução! 1. [p(x),q(x)] 2. [ p(a)] 3. [ q(a)] 4. [q(a)]Res(1,2), O1={x a} 5. {}Res(3,4), O2={x a}

15 Exemplos de Resolução Tonha gosta de quem não se valoriza. Não existe ninguém que se valorize e que Tonha goste?

16 Exemplos de Resolução Cont. v(x) = x se valoriza g(x,y) = x gosta de y a = Tonha (Antônia)

17 Exemplos de Resolução Cont. ( x)( v(x)^g(a,x)) ( y)(v(y)^g(a,y)) ( ( x)( v(x)^g(a,x)) v ( y)(v(y)^g(a,y))) ( x)( v(x)^g(a,x)) ^ ( y)(v(y)^g(a,y)))

18 Conclusões Dada uma fórmula da lógica de predicados H H é tautologia EXISTE uma Expansão por resolução associada a Hc (forma clausal de H) que é fechada H é contraditória (insatisfatível) H é tautologia EXSTE uma Expansão por resolução associada a Hc (forma clausal de H) que é fechada H é refutável TODA Expansão por resolução associada a Hc (forma clausal de H) é aberta


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