Estatística – Unidade 2.

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1 Estatística – Unidade 2

2 Educação a Distância – EaD
Estatística Professor: Flávio Brustoloni

3 Estatística Cronograma: Turma EMD 0119 Data Atividade 10/04 17/04
1º Encontro 17/04 Atividades Acadêmicas 24/04 2º Encontro 1ª Avaliação Disciplina 08/05 3º Encontro 2ª Avaliação Disciplina 15/05 4º Encontro 3ª Avaliação Disciplina (FINAL)

4 Unidade 2 DESCRIÇÃO DE DADOS – MEDIDAS DE POSIÇÃO

5 Objetivos da Unidade: Dominar a terminologia, os símbolos usuais e conceitos básicos habitualmente encontrados na literatura especializada de estatística de forma a ler com proveito trabalhos técnicos; Efetuar cálculos pertinentes e necessários à obtenção dos chamados dados estatísticos; Delinear ações de coleta de dados, resumir, relatar, organizar e interpretar informações sob o aspecto estatístico; Efetuar cálculos de medidas de tendência central e dispersão de dados; Reconhecer e calcular separatrizes;

6 TUTORIAL Indicação do Tópico Numeração do slide Página da apostila 03
Unid. 1 TUTORIAL Numeração do slide Página da apostila 03 2/45

7 TÓPICO 1 Distribuição de Frequência 1/62

8 2 Distribuição de Frequência
Tópico 1 Unid. 2 É um tipo de tabela que condensa uma coleção de dados conforme as frequências (repetições de seus valores). 81 2/62

9 2 Distribuição de Frequência
Tópico 1 Unid. 2 Tabela Primitiva ou Dados brutos: são os dados coletados em campo e trazidos para o local de análise na forma como foram coletados. 81 3/62

10 2 Distribuição de Frequência
Tópico 1 Unid. 2 ROL: é a tabela obtida após a ordenação dos dados (crescente ou decrescente). 82 4/62

11 Tabela 27 – NOTA EM ESTATÍSTICA - 2000
3 Tipos de Distribuição de Frequência 3.1 Distribuição de Frequência sem Intervalos de Classe Tópico 1 Unid. 2 Tabela 27 – NOTA EM ESTATÍSTICA i Informação Frequência (fi) 1 2 3 4 5 9 6 7 8 Total 28 FONTE: Dados hipotéticos (fictícios) Na 1ª linha (i=1) temos que os alunos tiraram nota 2 em Estatística (x1 = 2) foram 3 (fi = 3). 83 5/62

12 3 Tipos de Distribuição de Frequência 3
3 Tipos de Distribuição de Frequência 3.2 Distribuição de Frequência com Intervalos de Classe Tópico 1 Unid. 2 Quando o tamanho da amostra é elevado, é mais racional efetuar o agrupamento dos valores em vários intervalos de classe. 84 5/62

13 Tabela 28 – NOTAS EM ESTATÍSTICA - 2002
3 Tipos de Distribuição de Frequência 3.2 Distribuição de Frequência com Intervalos de Classe Tópico 1 Unid. 2 Tabela 28 – NOTAS EM ESTATÍSTICA Classes Frequências (fi) 02 |- 04 6 04 |- 06 8 06 |- 08 13 08 |- 10 1 Total 28 FONTE: Dados hipotéticos (fictícios) 84 6/62

14 4 Elementos de Distribuição de Frequência
Tópico 1 Unid. 2 a) Classe: são os intervalos de variação da variável. É simbolizada por i e o número total de classes é simbolizado por k. 85 6/62

15 4 Elementos de Distribuição de Frequência
Tópico 1 Unid. 2 Tabela 28 – NOTAS EM ESTATÍSTICA Classes Frequências (fi) 02 |- 04 6 04 |- 06 8 06 |- 08 13 08 |- 10 1 Total 28 FONTE: Dados hipotéticos (fictícios) k = 4 (4 linhas); a primeira classe (i = 1) apresenta que os alunos tiraram notas entre 2 e menores que 4 (02 |- 04) foram 6 (f1 = 6). 85 7/62

16 4 Elementos de Distribuição de Frequência
Tópico 1 Unid. 2 b) Limites de Classe: são os extremos de cada classe. O menor número é o limite inferior de classe (li) e o maior número, o limite superior da classe (Ls). 85 8/62

17 4 Elementos de Distribuição de Frequência
Tópico 1 Unid. 2 Tabela 28 – NOTAS EM ESTATÍSTICA Classes Frequências (fi) 02 |- 04 6 04 |- 06 8 06 |- 08 13 08 |- 10 1 Total 28 FONTE: Dados hipotéticos (fictícios) Temos a classe 06 |- 08, onde li = 6 e Ls = 8, lembrando que o valor 8 não pertence à esta classe. 86 9/62

18 4 Elementos de Distribuição de Frequência
Tópico 1 Unid. 2 c) Amplitude do Intervalo de Classe: é obtida através da diferença entre o limite superior e inferior da classe e é simbolizada por hi = Ls – li. 86 10/62

19 4 Elementos de Distribuição de Frequência
Tópico 1 Unid. 2 Tabela 28 – NOTAS EM ESTATÍSTICA Classes Frequências (fi) 02 |- 04 6 04 |- 06 8 06 |- 08 13 08 |- 10 1 Total 28 FONTE: Dados hipotéticos (fictícios) h1 = 4 – 2 = 2. Em distribuição de frequências com intervalo de classes o hi será igual em todas as classes. 86 11/62

20 4 Elementos de Distribuição de Frequência
Tópico 1 Unid. 2 d) Amplitude total da distribuição: é a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe. AT = L(max) – l(min). 86 12/62

21 4 Elementos de Distribuição de Frequência
Tópico 1 Unid. 2 Tabela 28 – NOTAS EM ESTATÍSTICA Classes Frequências (fi) 02 |- 04 6 04 |- 06 8 06 |- 08 13 08 |- 10 1 Total 28 FONTE: Dados hipotéticos (fictícios) AT = L(max) – l(min) = 10 – 2 = 8 86 13/62

22 4 Elementos de Distribuição de Frequência
Tópico 1 Unid. 2 e) Amplitude total da amostra (ROL): é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra (ROL), onde AA = Xmax – Xmin. AA = 8 – 2 = 6 86 14/62

23 4 Elementos de Distribuição de Frequência
Tópico 1 Unid. 2 f) Ponto médio da classe: é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. 86 15/62

24 4 Elementos de Distribuição de Frequência
Tópico 1 Unid. 2 Tabela 28 – NOTAS EM ESTATÍSTICA Classes Frequências (fi) 02 |- 04 6 04 |- 06 8 06 |- 08 13 08 |- 10 1 Total 28 FONTE: Dados hipotéticos (fictícios) Em 06 |- 08 o ponto médio xi = (6 + 8)/2 = 7. 86 16/62

25 4 Elementos de Distribuição de Frequência 4
4 Elementos de Distribuição de Frequência 4.1 Método Prático para construção de uma distribuição de frequência com intervalos de classe Tópico 1 Unid. 2 Exemplo 1: Uma prefeitura coletou dados sobre a renda mensal dos indivíduos de uma comunidade para traçar um perfil socioeconômico e a partir disto elaborar um projeto social na comunidade. 87 17/62

26 Tabela 30 – SALÁRIO DOS MORADORES DA COMUNIDADE
4 Elementos de Distribuição de Frequência 4.1 Método Prático para construção de uma distribuição de frequência com intervalos de classe Tópico 1 Unid. 2 Tabela 30 – SALÁRIO DOS MORADORES DA COMUNIDADE i Classes Frequências (fi) 1 628,90 |- 810,90 8 2 810,90 |- 1042,90 17 3 1042,90 |- 1274,90 6 4 1274,90 |- 1506,90 5 1506,90 |- 1738,90 1738,90 |- 1970,90 7 1970,90 |- 2202,90 Total 50 FONTE: Dados hipotéticos (fictícios) 89 18/62

27 TÓPICO 2 Representações Gráficas das Distribuições de Frequência 19/62

28 2 Tipos de Gráficos de uma Distribuição de Frequência
Tópico 2 Unid. 2 Histograma: os histogramas são formados por um conjunto de retângulos, com as bases sobre o eixo x, sendo o centro de cada retângulo o ponto médio da classe por ele representada. 95 20/62

29 2 Tipos de Gráficos de uma Distribuição de Frequência
Tópico 2 Unid. 2 Tabela 32 – ALTURA DOS ALUNOS DA TURMA A Classe de altura Altura (cm) fi Nº Estudantes A 150 |- 158 5 B 158 |- 166 18 C 166 |- 174 42 D 174 |- 182 27 E 182 |- 190 8 FONTE: Dados hipotéticos (fictícios) 96 21/62

30 2 Tipos de Gráficos de uma Distribuição de Frequência
Tópico 2 Unid. 2 GRÁFICO 7 – ALTURA DOS ALUNOS DA TURMA A DE 2004 FONTE: Dados fictícios 97 22/62

31 TÓPICO 3 Medidas de Posição – Tendência Central 23/62

32 2 Média Aritmética (X) 2.1 Dados Não Agrupados
Tópico 3 Unid. 2 Exemplo: Um gerente de supermercado que deseja estudar a movimentação de pessoas em seu estabelecimento, constata que entraram em sua loja nos últimos 5 dias: 295, 1002, 941, 768 e 1283 pessoas. Descobrir o número médio de pessoas que entraram no estabelecimento nesses cinco dias. 102 24/62

33 2 Média Aritmética (X) 2.1 Dados Não Agrupados
Tópico 3 Unid. 2 X = = 858 pessoas 5 O número médio de pessoas que entraram no estabelecimento nos últimos 5 dias foi de 858 pessoas por dia. 102 25/62

34 Tabela 34 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
2 Média Aritmética (X) 2.2 Dados Agrupados em Distribuição de Frequência Simples Tópico 3 Unid. 2 Tabela 34 – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA Classe ( i ) Dados Frequência ( fi ) 1 2 3 4 9 15 5 27 k = 5 Total 12 x = 2 = 12 = 18 = 45 = 27 + 104 FONTE: Dados hipotéticos (fictícios) 104 / 12 = 8,67 102 26/62

35 2 Média Aritmética (X) 2.3 Dados Agrupados em Distribuições com Intervalos de Classes
Tópico 3 Unid. 2 a) Frequência Acumulada (Fai) i Classes fi Fai Xi Xi . fi 1 100 |- 200 15 2 200 |- 300 19 34 3 300 |- 400 16 50 Totais - 104 27/62

36 2 Média Aritmética (X) 2.3 Dados Agrupados em Distribuições com Intervalos de Classes
Tópico 3 Unid. 2 b) Ponto Médio (Xi) i Classes fi Fai Xi Xi . fi 1 100 |- 200 15 150 2 200 |- 300 19 34 250 3 300 |- 400 16 50 350 Totais - 2 104 28/62

37 2 Média Aritmética (X) 2.3 Dados Agrupados em Distribuições com Intervalos de Classes
Tópico 3 Unid. 2 c) Coluna (Xi . fi) i Classes fi Fai Xi Xi . fi 1 100 |- 200 15 150 2250 2 200 |- 300 19 34 250 4750 3 300 |- 400 16 50 350 5600 Totais - 12600 105 29/62

38 2 Média Aritmética (X) 2.3 Dados Agrupados em Distribuições com Intervalos de Classes
Tópico 3 Unid. 2 d) Média = / 50 = 252 105 30/62

39 2 Média Aritmética (X) 2.3 Dados Agrupados em Distribuições com Intervalos de Classes
Tópico 3 Unid. 2 e) Coluna ( ) i Classes fi Fai Xi Xi . fi 1 100 |- 200 15 150 2250 -102 2 200 |- 300 19 34 250 4750 -2 3 300 |- 400 16 50 350 5600 98 Totais - 12600 -252 105 31/62

40 2 Média Aritmética (X) 2.3 Dados Agrupados em Distribuições com Intervalos de Classes
Tópico 3 Unid. 2 f) Coluna ( ) i Classes fi Fai Xi Xi . fi 1 100 |- 200 15 150 2250 -102 156060 2 200 |- 300 19 34 250 4750 -2 76 3 300 |- 400 16 50 350 5600 98 153664 Totais - 12600 309800 106 32/62

41 Veremos agora outro exemplo de média:
2 Média Aritmética (X) 2.3 Dados Agrupados em Distribuições com Intervalos de Classes Tópico 3 Unid. 2 Veremos agora outro exemplo de média: Suponha que estamos interessados na vida média de um lote de 40 mil lâmpadas. É óbvio que não temos como testar todas. Tomamos então uma amostra, calculamos sua média e com este valor estimamos a média populacional (µ). 107 33/62

42 2 Média Aritmética (X) 2.3 Dados Agrupados em Distribuições com Intervalos de Classes
Tópico 3 Unid. 2 Se n = 5 e as lâmpadas da amostra duram: 967, 949, 940, 952 e 922 horas, temos: µ = 946 horas 107 34/62

43 2 Média Aritmética (X) 2.3 Dados Agrupados em Distribuições com Intervalos de Classes
Tópico 3 Unid. 2 Vejamos outro exemplo que mostra como a média está sujeita a valores extremos: As idades de seis alunos, que participaram de uma excursão com finalidade ecológica são 18, 19, 20, 17, 19, 18. A idade do instrutor que foi com eles é 50. 108 35/62

44 2 Média Aritmética (X) 2.3 Dados Agrupados em Distribuições com Intervalos de Classes
Tópico 3 Unid. 2 A informação de que a idade média do grupo é de 23 anos não fecha com a realidade. Neste caso o mais correto é o uso da mediana ou moda. 108 36/62

45 3 Moda (M0) 3.1 Dados Não Agrupados
Tópico 3 Unid. 2 Moda é o valor da variável ou observação com maior frequência ou que ocorre mais vezes. Para Dados Não Agrupados basta colocar os valores no ROL e depois verificar qual valor ocorreu com maior frequência. Esse valor será a moda da distribuição. 109 37/62

46 3 Moda (M0) 3.2 Dados Agrupados em Frequência Simples
Tópico 3 Unid. 2 A moda será o valor com maior frequência. Basta olhar a linha em que fi é maior. A moda da distribuição a seguir é o valor 3 (coluna dados) pois é a que tem maior frequência. 109 38/62

47 3 Moda (M0) 3.2 Dados Agrupados em Frequência Simples
Tópico 3 Unid. 2 Classe ( i ) Dados Frequência ( fi ) 1 2 3 4 9 15 5 27 k = 5 Total 12 109 39/62

48 3 Moda (M0) 3.3 Dados Agrupados em Classe
Tópico 3 Unid. 2 Quando os dados estiverem agrupados em intervalos de classe, encontra-se a classe modal e calcula-se a moda pela seguinte fórmula: 110 40/62

49 3 Moda (M0) 3.3 Dados Agrupados em Classe
Tópico 3 Unid. 2 110 41/62

50 3 Moda (M0) 3.3 Dados Agrupados em Classe
Tópico 3 Unid. 2 TABELA 37 – CONJUNTO DE DADOS ALEATÓRIOS Classe ( i ) Classes Frequência ( fi ) Xi Fai 1 1 |- 3 2 3 |- 5 4 6 3 5 |- 7 8 14 7 |- 9 18 5 9 |- 11 10 20 Totais FONTE: Dados fictícios d1 = f3 – f2 = 8 – 4 = 4 d2 = f3 – f4 = 8 – 3 = 5 110 42/62

51 3 Moda (M0) 3.3 Dados Agrupados em Classe
Tópico 3 Unid. 2 A classe modal é a terceira classe (i3) da distribuição, pois ali é onde está a maior frequência (8). 110 43/62

52 3 Moda (M0) 3.3 Dados Agrupados em Classe
Tópico 3 Unid. 2 111 44/62

53 4 Mediana (Md) 4.1 Dados Não Agrupados
Tópico 3 Unid. 2 Quando todas as observações estão ordenadas (em rol), a mediana é o valor da observação central. A mediana não é calculada como a média. Ao invés disso, para determinar a mediana, calculamos a sua posição, o valor que estiver naquela posição será a mediana. 112 45/62

54 4 Mediana (Md) 4.1 Dados Não Agrupados
Tópico 3 Unid. 2 Para o cálculo da mediana fazemos (n+1)/2, sendo n o número de dados da distribuição. Exemplo1: Qual a mediana dos dados a seguir? 112 46/62

55 4 Mediana (Md) 4.1 Dados Não Agrupados
Tópico 3 Unid. 2 (n + 1)/2 -> (3 + 1)/2 = 4/2 = 2 A mediana é o dado da 2ª posição, ou seja, Md = 7. 112 47/62

56 4 Mediana (Md) 4.1 Dados Não Agrupados
Tópico 3 Unid. 2 Exemplo2: Qual a mediana dos dados a seguir? 112 48/62

57 4 Mediana (Md) 4.1 Dados Não Agrupados
Tópico 3 Unid. 2 (n + 1)/2 -> (4 + 1)/2 = 5/2 = 2,5 que representa a posição entre o 2º e o 3º dado. Neste caso calcularemos a média entre o 2º (5) e o 3º (9): (5+9)/2 = 14/2 = 7 113 49/62

58 4 Mediana (Md) 4.2 Frequência Simples
Tópico 3 Unid. 2 TABELA 38 – NÚMERO DE FILHOS DAS FAMÍLIAS NO AMAPÁ Classe ( i ) Xi Frequência ( fi ) Fai 1 2 7 9 3 21 30 4 18 48 5 62 6 61 Total FONTE: Dados fictícios 114 50/62

59 4 Mediana (Md) 4.2 Frequência Simples
Tópico 3 Unid. 2 1º. Posição: (n+1)/2 -> (61 + 1)/2 = 62/2 = 31 2º. Mediana: Md= 3 115 51/62

60 4 Mediana (Md) 4.3 Dados Agrupados
Tópico 3 Unid. 2 TABELA 39 – PONTUAÇÃO AFERIDA PELAS EQUIPES NO CAMPEONATO DE VOLEIBOL Classe ( i ) Pontos fi Xi Fai 1 1 |- 3 2 3 |- 5 4 16 3 5 |- 7 8 6 14 7 |- 9 18 5 9 |- 11 10 20 Total FONTE: Dados fictícios 115 52/62

61 TABELA 40 – DISTRIBUIÇÃO DE NOTAS ESTATÍSTICA – NFD 2111
5 Simetria e Assimetria Tópico 3 Unid. 2 TABELA 40 – DISTRIBUIÇÃO DE NOTAS ESTATÍSTICA – NFD 2111 Classe ( i ) Notas fi Fai 1 6 5 2 7 9 14 3 8 20 34 4 43 10 48 k = 5 Total 14 FONTE: Dados fictícios Posição = (48+1)/2 = 49/2 = 24,5 Md = 8 117 53/62

62 5 Simetria e Assimetria Sendo assim, devemos observar que:
Tópico 3 Unid. 2 Sendo assim, devemos observar que: Quando uma distribuição é simétrica, as três medidas coincidem: X = Md = M0 118 54/62

63 5 Simetria e Assimetria Tópico 3 Unid. 2 b) Quando a assimetria as torna diferentes, temos: M0 < Md < X (curva assimétrica positiva ou à direita) X < Md < M0 (curva assimétrica negativa ou à esquerda) 118 55/62

64 TÓPICO 4 Separatrizes 56/62

65 1 Introdução Tópico 4 Unid. 2 As separatrizes são medidas, como o nome já sugere, que separam a distribuição em grupos. A mediana é uma separatriz, embora separe ao meio e por isso pode também ser classificada como medida de tendência central. 123 57/62

66 2 Cálculo da Separatriz Tópico 4 Unid. 2 Onde k representa a porcentagem que você quer fazer na divisão da distribuição. 123 58/62

67 2 Cálculo da Separatriz 124 Tópico 4 Unid. 2
TABELA 39 – PONTUAÇÃO AFERIDA PELAS EQUIPES NO CAMPEONATO DE VOLEIBOL Classe ( i ) Pontos fi xi Fai 1 1 |- 3 2 3 |- 5 4 6 3 5 |- 7 8 14 7 |- 9 18 5 9 |- 11 10 20 Total FONTE: Dados fictícios a) Qual o valor que separa a distribuição 15% abaixo e 85% acima? 124 59/62

68 Logo, queremos encontrar a posição 15 (15% ou k = 15 ou C15).
2 Cálculo da Separatriz Tópico 4 Unid. 2 TABELA 39 – PONTUAÇÃO AFERIDA PELAS EQUIPES NO CAMPEONATO DE VOLEIBOL 15% 85% 1 11 2 ? 5,5 É como se dividíssemos a distribuição em 100 posições (11 posições = 100%) Logo, queremos encontrar a posição 15 (15% ou k = 15 ou C15). a) Qual o valor que separa a distribuição 15% abaixo e 85% acima? 124 60/62

69 2 Cálculo da Separatriz 124 Tópico 4 Unid. 2
TABELA 39 – PONTUAÇÃO AFERIDA PELAS EQUIPES NO CAMPEONATO DE VOLEIBOL Classe ( i ) Pontos fi xi Fai 1 1 |- 3 2 3 |- 5 4 6 3 5 |- 7 8 14 7 |- 9 18 5 9 |- 11 10 20 Total FONTE: Dados fictícios Dados: k = 15; Ʃfi = 20; i = 2; Fai (anterior) = 2 124 61/62

70 2 Cálculo da Separatriz 124 Tópico 4 Unid. 2 1 11 2 5,5 C15 = 3,5
15% 85% 1 11 2 5,5 C15 = 3,5 C15 = 3,5 Ou seja, 15% dos dados são menores ou iguais que 3,5 e 85% dos dados são maiores ou iguais a 3,5. 124 62/62

71 Parabéns!!! Terminamos a Unidade.

72 Estatística PRÓXIMA AULA:
3º Encontro da Disciplina 2ª Avaliação da Disciplina (10 questões sem consulta)