ÁRVORES ABRANGENTES. Árvores abrangentes Uma árvore abrangente é um grafo conexo e sem circuitos, que contém todos os seus vértices. A utilização de uma.

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1 ÁRVORES ABRANGENTES

2 Árvores abrangentes Uma árvore abrangente é um grafo conexo e sem circuitos, que contém todos os seus vértices. A utilização de uma árvore abrangente na resolução de problemas identifica-se com os problemas do tipo do caixeiro viajante: está implícita a procura de um circuito de Hamilton uma vez que temos de «visitar» todos os vértices. No entanto, não temos de regressar ao ponto de partida. ÁRVORES ABRANGENTES

3 O que procuramos é uma árvore abrangente mínima. Uma árvore em que a soma dos pesos das arestas é mínima Algoritmo de Kruskal As arestas do grafo vão-se unindo por ordem crescente dos pesos, desde que não se formem circuitos, sendo que, no final, todos os vértices estão na árvore. Este algoritmo garante que a solução encontrada é uma solução ótima, ao contrário dos algoritmos utilizados para os problemas do tipo do Caixeiro Viajante. ÁRVORES ABRANGENTES

4 Um camião deve recolher resíduos tóxicos de 7 instalações e, ao fazê-lo, deve percorrer a menor distância possível. A empresa responsável distribuiu ao condutor um esquema, com as instalações a visitar e as distâncias entre elas (em km), que está representado a seguir sob a forma de grafo: Determine o percurso mínimo e desenhe a árvore abrangente correspondente. A C D 35 45 70 10 60 93 37 55 52 43 B F E G 23 ÁRVORES ABRANGENTES

5 Vamos ordenar as arestas do grafo representativo da situação problemática apresentada por ordem crescente dos pesos das arestas: A C D 35 45 70 10 60 93 37 55 52 43 B F E G 23 CA ; 10 CD ; 23 CE ; 35 BF ; 60 AD ; 37 EG ; 43 BD ; 45 FG ; 52 AB ; 55 DE ; 70 DF 93 ÁRVORES ABRANGENTES

6 A C 10 60 93 37 55 45 B 52 F 35 E 43 G 70 D 23 CA 10 CD 23 CE. 35 BF, 60 AD 37 EG, 43 BD, 45 FG 52 AB, 55 DE 70 DF, 93 Escolhemos a arestapara começar e juntamos a seguir e A arestanão pode ser acrescentada pois fecharia o circuito. Acrescentam-se as arestas e já não se acrescentam pois já temos todos os vértices ligados. e ÁRVORES ABRANGENTES

7 Resultado final: 10 45 52 35 43 A C B F E G D 23 A árvore abrangente mínima para a situação apresentada é : O percurso tem um comprimento de 10 + 23 + 35 + 43+ 45= 208 km.+ 52 ÁRVORES ABRANGENTES