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Magnetostática Cap. 5 Equações da magnetostática Potenciais escalar e vetor Indutâncias (auto e mútua) Campo magnético dipolar Magnetização e correntes.

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1 Magnetostática Cap. 5 Equações da magnetostática Potenciais escalar e vetor Indutâncias (auto e mútua) Campo magnético dipolar Magnetização e correntes de magnetização Força magnetomotriz Densidades efetivas de carga magnética (ferromagnetismo) Condições de contorno em superfícies e interfaces Problemas de condições de contorno

2 Inovações tecnológicas do Século XIX bobinaEletroímã

3 Lei de Biot - Savart

4 Equivalentes de cargas em movimento : densidades de corrente filiformes, superficiais e volumétricas

5 Ex. : Carga puntiforme em movimento ( v << c) q

6 Princípio da Superposição Ex. Corrente filamentar em segmento ilimitado.

7 Exercício: Mostre que a força entre dois circuitos obedece a Lei de Newton :. Resp.: como

8 Existe, portanto, uma força atrativa entre as duas espiras paralelas.

9 Fluxo magnético

10 Divergência nula de B implica na inexistência de observação experimental de monopolos magnéticos: Teorema da divergência : Em consequência, define-se o Potencial Vetor A :

11 Expressão integral para o Potencial Vetor A : Verifique que : Lembrando que J é função das coordenadas (x, y, z) :

12 Analogia Se em Eletrostática temos : Então em Magnetostática temos :

13 Sendo Então Pois

14 Uma vez que x Magnetostática !!!

15 Lei de Ampère o ( I 1 +I 2 +I 3 ) o I Ex.: I 1 I 2 I 3

16 Transformação de Calibre Calibre de Coulomb

17 Equações do Campo Magnetostático Forma integral Campos magnetostáticos não apresentam dependência do tempo.

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19 Potenciais Magnéticos Caso

20 Exercício É possível haver uma onda magnetostática? Se sim, como assim! Sugestão:

21 Ex.: Campo magnético no eixo de uma bobina plana e na vizinhança do eixo. Fluxo sobre o cilíndro : Fluxo na superfície lateral Fluxo através da tampa de cima Fluxo através da tampa de baixo

22 Sobre o eixo (r = 0) temos : Na vizinhança do eixo temos : Lembando que : ou seja a inclinação de B relativa ao eixo em M é:

23 Ex.: Sendo então.

24 Ex.: Potencial vetor em torno de segmento filamentar com corrente elétrica I.

25 Exercício Par de fios paralelos conduzindo correntes de sentidos opostos. Sobre a linha mediatriz entre os fios :

26 Indutância mútua entre dois circuitos de corrente

27 Equação de Neumann

28 Ex.: Cálculo da indutância mútua entre dois solenóides coaxiais.

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30 Exercício Mostre que nesse caso a densidade de energia magnética deve ser escrita como:

31 Momento de dipolo magnético Campo magnético dipolar

32 Ex.: Campo magnético dipolar (releitura!)

33 Momento dipolar magnético (generalização!) ( )

34 Visão microscópica

35 Exercício Mostre que a expressão geral do campo magnético dipolar inclusive dentro da distribuição dipolar de raio R é dada por: tal que satisfazendo a condição:

36 A energia de interação dipolar entre momentos dipolares magnéticos m 1 e m 2 separados pela distância r constante é descrita pela expressão: Questão Qual a alternativa corresponde a configuração mais estável de energia, (i.e., mínima energia) orientacional magnética. A B C D E B

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38 Interação entre dipolos magnéticos imersos num campo externo

39 Exercício Obtenha o dipolo magnético associado a uma espira plana no limite r >> a.

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42 Exercício Releitura do exercício anterior sem a imposição r >> a.

43 Integrais Elípticas

44 Exercício Obtenha o campo magnético do dipolo magnético do exercício anterior. Mostre que:

45 Exercício Nova releitura do exercício anterior usando os harmônicos esféricos. m =1 l par l impar

46 Exercício Obtenha o campo dipolar magnético do exercício anterior.

47 Uma força magnética conservativa no caso de uma distribuição de correntes localizadas num campo magnetostático que varia suavemente Equivale a um monopolo "Nulo"

48 Força Conservativa Energia potencial magnetostática

49 Magnetização A magnetização é definida através do momento de dipolo magnético por unidade de volume de um material. Didaticamente, é associada as correntes de magnetização (Amperianas). pictórico

50 Admitindo: Da relação vetorial : x ( f F) = ( f ) x F + f ( x F) X F dV = d A X F Gauss-Ostrogradski

51 Materiais magnetizados Densidade de corrente de magnetização volumétrica : Densidade de corrente de magnetização superficial :

52 B e M são funcionais de H Magnetização : M = dm/d V no SI a unidade de M é A m -1 Susceptibilidade magnética Permeabilidade magnética Permeabilidade magnética relativa

53 Indução Magnética B e Campo Magnético H

54 Definição do campo magnético H : Equação constitutiva ou funcional : Em consequência

55 Lei de Ampère em presença de material magnético

56 Ex.: Campos magnéticos externos a ferromagnetos Densidades efetivas de carga magnética Distante de uma região com M localizada

57 Magnetic PeriodicTable

58 Magnetismo de átomos livres As ligações químicas tendem a tornar todas as camadas e/ou sub-camadas eletrônicas completas, eliminando os spins « desemparelhados » !

59 Resposta magnética dos materiais Diamagnetismo: provém de camadas e sub-camadas eletrônicas completas Paramagnetismo: provém de (sub-)camadas eletrônicas incompletas. Ferromagnetismo: provém de (sub-)camadas eletrônicos incompletas e spins acoplados via interação de troca quantum-mecânica.

60 A susceptibilidade magnética é um funcional do campo magnético sendo escrita na forma de um tensor de segunda ordem para levar em conta efeitos de anisotropia de magnetização. Invariância frente as simetrias espaciais torna o tensor diagonalizável. Três eixos principais de anisotropia. xx xy xz yx yy yz zx zy zz xx a b a yy c b c zz

61 A interação dipolo-dipolo é muito fraca para explicar os ordenamentos magnéticos E DD ~ B B dip ~ 3 x eV sendo R ~ 2.5 Å e ~ 1 B então T C ~ 0,04 K !

62 Ferromagnetismo é um fenômeno quantum-mecânico relativístico!

63 Histerese Magnética W h = H. dB = 4 B r H C BrBr HCHC

64 Domínios magnéticos Minimização de energia magnética equivale a redução de área/volume de pólos magnéticos ! domínios de fechamento

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66 texturarizado isotrópico M

67 Energia magnética armazenada espaço material

68 Força magnetomotriz M = H d l = rH = Ni = Ni / l S = S / lM l = 2 r m S l = V Ni / l = H B = H M = R R = l/ S (relutância) = R i (lei de Ohm) rmrm

69 = l/ S

70 Ex.: Solenóide com núcleo de material magnético macio o

71 usando um ímã... i m g m m gg m m g g o m m m m g g gggg

72 Otimização da densidade de energia magnética Volume do gap : A g L g Densidade de energia : ½ B g 2 / o então (½B g 2 / o ) A g L g = ½ (H g B g )(A g L g ) = ½ (H g L g )(A g B g ) ½ (H m L m )(A m B m ) = ½ (H m B m )(L m A m ) (BH) máximo !

73 O produto (BH) max é mais importante que a área do ciclo de histerese. B r indica quanto forte é o ímã. H C indica quanto é difícil desmagnetizar o ímã. (BH) max indica o volume de material necessário para obter uma certa energia.

74 Ex.: Discontinuidade da intensidade de fluxo magnético. SeB = 0 e B = ( H + M ), então ( H + M ) = 0 eH = -M 0 Se M 0 em V e M 0 nas superfícies S 1 e S 2, então temos: mM 0 Algo equivalente a uma densidade de carga magnética efetiva, tal que :

75 SeB = 0 e B = (H+M) Então (H+M) = 0 eH = -M 0 ( M 0 na superfície ! ) Logo, mM (densidade de carga magnética efetiva:) M = M o x ^ H m m m m Ex.: Esfera uniformemente magnetizada. Ex.: no Slide 100

76 = o + B H M

77 Condições de contorno em interfaces com materiais magnéticos

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80 Interfaces

81 Aproximação dipolar

82 Ex.: Blindagem magnética usando uma casca esférica de material permeável num campo magnético uniforme. Temos B = H somente entre b > r > a. Logo, é preciso resolver apenas a equação de Laplace nas regiões r > b e r < a.

83 As soluções fisicamente aceitáveis nas três regiões são : As condições de contorno em r = a e r = b são tais que H e B r são contínuos. Em termos do potencial escalar magnético estas condições são: ( relativo)

84 Estas quatro condições são suficientes para a determinação de todas as constantes desconhecidas pois todos os coeficientes com l 1 anulam-se. Para l = 1 os coeficientes satifazem simultaneamente as equações : As soluções para e são :

85 O potencial fora da casca esférica corresponde ao campo uniforme B o mais um campo dipolar com um momento de dipolo orientado paralelo a B o. Dentro da cavidade há um campo magnético uniforme paralelo à B o igual em magnitude à. Quando >> 1, o momento de dipolo e o campo interior tornam-se : Portanto, o campo no interior da casca é proporcional a 1/ e a blindagem magnética com um material de alta permeabilidade torna-se bastante efetiva. Sendo ~ 10 3 –10 6 se reduz significativamente o campo no interior da casca esférica.

86 B ~ 0

87 Exercício (a) Obtenha o potencial e campo magnéticos de uma esfera uniformente magnetizada. (b) Obtenha B, H e M no interior uma esfera magnetizada imersa em um campo magnetostático.

88 Exercício Obtenha o potencial e campo magnéticos em torno de um orificio circular num plano condutor com um campo magnético externo assintoticamente tangencial e uniforme em um dos lados (seção 5.13 do livro do Jackson 3 a Ed.)

89 Dipolo magnético puntiforme Momento dipolar: Força exercida por um B externo sobre o dipolo: Identidade vetorial: Expressão alternativa para eq. (1): (1) (2)

90 Densidades de correntes equivalentes : Densidades de cargas magnéticas equivalentes : Força magnética exercida sobre o dipolo (Força de Lorentz) : Discretização em elementos finitos : Dipolo magnético extenso


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