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PublicouVictor Negro Alterado mais de 10 anos atrás
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Magnetostática Cap. 5 Equações da magnetostática
Potenciais escalar e vetor Indutâncias (auto e mútua) Campo magnético dipolar Magnetização e correntes de magnetização Força magnetomotriz Densidades efetivas de carga magnética (ferromagnetismo) Condições de contorno em superfícies e interfaces Problemas de condições de contorno
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Inovações tecnológicas do Século XIX
bobina Eletroímã
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Lei de Biot - Savart
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Equivalentes de cargas em movimento : densidades de corrente
filiformes, superficiais e volumétricas
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Ex. : Carga puntiforme em movimento ( v << c)
q
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Princípio da Superposição
Ex. Corrente filamentar em segmento ilimitado.
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Exercício: Mostre que a força entre dois circuitos obedece a
Lei de Newton : Resp.: como
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Existe, portanto, uma força atrativa entre as duas espiras paralelas.
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Fluxo magnético
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Divergência nula de B implica na inexistência de
observação experimental de monopolos magnéticos: Teorema da divergência : Em consequência, define-se o Potencial Vetor A :
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Expressão integral para o Potencial Vetor A :
Verifique que : Lembrando que J é função das coordenadas (x’, y’, z’) :
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Analogia Se em Eletrostática temos : Então em Magnetostática temos :
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Sendo Então Pois
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Uma vez que x Magnetostática !!!
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Lei de Ampère I I I3 Ex.: mo( I1 +I2 +I 3 ) 6moI
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Transformação de Calibre
Calibre de Coulomb
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Equações do Campo Magnetostático
Forma integral Campos magnetostáticos não apresentam dependência do tempo.
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Potenciais Magnéticos
Caso
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Exercício É possível haver uma onda magnetostática? Se sim, como assim! Sugestão:
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Ex.: Campo magnético no eixo de uma bobina plana e na vizinhança do eixo.
Fluxo sobre o cilíndro : Fluxo na superfície lateral Fluxo através da tampa de cima Fluxo através da tampa de baixo
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Sobre o eixo (r = 0) temos :
Na vizinhança do eixo temos : Lembando que : ou seja a inclinação de B relativa ao eixo em M é:
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Ex.: Sendo então
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Ex.: Potencial vetor em torno de segmento filamentar com corrente elétrica I.
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Par de fios paralelos conduzindo correntes de sentidos opostos.
Exercício Par de fios paralelos conduzindo correntes de sentidos opostos. Sobre a linha mediatriz entre os fios :
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Indutância mútua entre dois circuitos de corrente
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Equação de Neumann
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Ex.: Cálculo da indutância mútua entre dois solenóides coaxiais.
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Exercício Mostre que nesse caso a densidade de energia magnética deve ser escrita como:
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Momento de dipolo magnético
Campo magnético dipolar
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Ex.: Campo magnético dipolar (releitura!)
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Momento dipolar magnético (generalização!)
( )
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Visão microscópica
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Exercício Mostre que a expressão geral do campo magnético dipolar inclusive dentro da distribuição dipolar de raio R é dada por: tal que satisfazendo a condição:
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A energia de interação dipolar entre momentos dipolares magnéticos m1 e m2 separados pela distância r constante é descrita pela expressão: Questão Qual a alternativa corresponde a configuração mais estável de energia, (i.e., mínima energia) orientacional magnética. B A B C D E
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Interação entre dipolos magnéticos imersos num campo externo
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Exercício Obtenha o dipolo magnético associado a uma espira plana no limite r >> a.
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Exercício Releitura do exercício anterior sem a imposição r >> a.
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Integrais Elípticas
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Exercício Obtenha o campo magnético do dipolo magnético do exercício anterior.
Mostre que:
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Exercício Nova releitura do exercício anterior usando os harmônicos esféricos.
l par l impar
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Exercício Obtenha o campo dipolar magnético do exercício anterior.
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Uma força magnética conservativa no caso de uma distribuição de correntes localizadas num campo magnetostático que varia suavemente Equivale a um monopolo "Nulo"
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Energia potencial magnetostática
Força Conservativa Energia potencial magnetostática
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Magnetização A magnetização é definida através do momento de dipolo magnético por unidade de volume de um material. Didaticamente, é associada as correntes de magnetização (Amperianas). “pictórico”
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Da relação vetorial : x (f F) = (f ) x F + f ( x F)
Admitindo: Da relação vetorial : x (f F) = (f ) x F + f ( x F) Gauss-Ostrogradski ∫ X F dV = ∫ dA X F
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Materiais magnetizados
Densidade de corrente de magnetização volumétrica : Densidade de corrente de magnetização superficial :
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B e M são funcionais de H Magnetização : M = dm/dV no SI a unidade de M é A m-1 Susceptibilidade magnética Permeabilidade magnética Permeabilidade magnética relativa
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Indução Magnética B e Campo Magnético H
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Definição do campo magnético H :
Equação constitutiva ou funcional : Em consequência
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Lei de Ampère em presença de material magnético
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Ex.: Campos magnéticos externos a ferromagnetos
Densidades efetivas de carga magnética Distante de uma região com M localizada
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Magnetic PeriodicTable
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Magnetismo de átomos livres
As ligações químicas tendem a tornar todas as camadas e/ou sub-camadas eletrônicas completas, eliminando os spins « desemparelhados » !
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Resposta magnética dos materiais
Diamagnetismo: provém de camadas e sub-camadas eletrônicas completas Paramagnetismo: provém de (sub-)camadas eletrônicas incompletas. Ferromagnetismo: provém de (sub-)camadas eletrônicos incompletas e spins acoplados via interação de troca quantum-mecânica.
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A susceptibilidade magnética é um funcional
do campo magnético sendo escrita na forma de um tensor de segunda ordem para levar em conta efeitos de anisotropia de magnetização. Invariância frente as simetrias espaciais torna o tensor c diagonalizável. Três eixos principais de anisotropia. cxx cxy cxz c = cyx cyy cyz czx czy czz cxx ca cb = ca cyy cc cb cc czz
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A interação dipolo-dipolo é muito fraca para explicar os ordenamentos magnéticos
EDD ~ mB Bdip ~ 3 x 10-6 eV sendo R ~ 2.5 Å e m ~ 1 mB então TC ~ 0,04 K !
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Ferromagnetismo é um fenômeno quantum-mecânico relativístico!
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Histerese Magnética Wh = H.dB = 4 BrHC Br HC
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Domínios magnéticos Minimização de energia magnética equivale a
redução de área/volume de pólos magnéticos ! domínios de fechamento
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M texturarizado isotrópico
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Energia magnética armazenada
espaço material
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Força magnetomotriz M = F = m Ni/lS = m S/lM R = l/mS (relutância)
H • d l = 2prH = Ni rm F = m Ni/lS = m S/lM R = l/mS (relutância) l = 2prm Sl = V Ni / l = H B = mH M = R F e = R i (lei de Ohm)
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= l/mS
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Ex.: Solenóide com núcleo de material magnético macio
m >> mo
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usando um ímã ... i m g m m g g m g o
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Otimização da densidade de energia magnética
Volume do gap : AgLg Densidade de energia : ½ Bg2/mo então (½Bg2/mo) AgLg = ½ (Hg Bg)(AgLg) = ½ (Hg Lg)(AgBg) ½ (Hm Lm)(AmBm) = ½ (Hm Bm)(LmAm) (BH) máximo !
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O produto (BH)max é mais importante que a área do ciclo de histerese.
Br indica quanto forte é o ímã. HC indica quanto é difícil desmagnetizar o ímã. (BH)maxindica o volume de material necessário para obter uma certa energia.
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Ex.: Discontinuidade da intensidade de fluxo magnético.
Se •B = 0 e B = mo ( H + M ), então •( H + M ) = 0 e •H = -•M 0 Se M 0 em V e M 0 nas superfícies S1 e S2 , então temos: rm = -•M 0 Algo equivalente a uma densidade de carga magnética efetiva, tal que :
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Ex.: Esfera uniformemente magnetizada.
Se •B = 0 e B = mo (H+M) Então •(H+M) = 0 e •H = -•M 0 ( M 0 na superfície ! ) Logo, rm = -•M (densidade de carga magnética efetiva:) M = Mox ^ Ex.: no Slide 100 H rm -rm
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= mo + B H M
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Condições de contorno em interfaces com
materiais magnéticos
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Interfaces
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Aproximação dipolar
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Ex.: Blindagem magnética usando uma casca esférica de material permeável num
campo magnético uniforme. Temos B = mH somente entre b > r > a. Logo, é preciso resolver apenas a equação de Laplace nas regiões r > b e r < a.
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As soluções fisicamente aceitáveis nas três regiões são :
As condições de contorno em r = a e r = b são tais que Hq e Br são contínuos. Em termos do potencial escalar magnético estas condições são: (m relativo)
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Estas quatro condições são suficientes para a determinação de todas as
constantes desconhecidas pois todos os coeficientes com l ≠ 1 anulam-se. Para l = 1 os coeficientes satifazem simultaneamente as equações : As soluções para a1 e d1 são :
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O potencial fora da casca esférica corresponde ao campo uniforme Bo mais um
campo dipolar com um momento de dipolo a1 orientado paralelo a Bo. Dentro da cavidade há um campo magnético uniforme paralelo à Bo igual em magnitude à d1 . Quando m >> 1, o momento de dipolo a1 e o campo interior d1 tornam-se : Portanto, o campo no interior da casca é proporcional a 1/m e a blindagem magnética com um material de alta permeabilidade torna-se bastante efetiva. Sendo m ~ 103–106 se reduz significativamente o campo no interior da casca esférica.
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B ~ 0
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Exercício (a) Obtenha o potencial e campo magnéticos de uma esfera uniformente magnetizada. (b) Obtenha B, H e M no interior uma esfera magnetizada imersa em um campo magnetostático.
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Exercício Obtenha o potencial e campo magnéticos em torno de um orificio circular num plano condutor com um campo magnético externo assintoticamente tangencial e uniforme em um dos lados (seção 5.13 do livro do Jackson 3a Ed.)
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Dipolo magnético puntiforme
Momento dipolar: Força exercida por um B externo sobre o dipolo: (1) Identidade vetorial: Expressão alternativa para eq. (1): (2)
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Dipolo magnético extenso
Densidades de correntes equivalentes : Densidades de cargas magnéticas equivalentes : Força magnética exercida sobre o dipolo (Força de Lorentz) : Discretização em elementos finitos :
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