COORDENADAS GEOGRÁFICAS, DISTÂNCIAS E ÂNGULOS ESFÉRICOS.

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1 COORDENADAS GEOGRÁFICAS, DISTÂNCIAS E ÂNGULOS ESFÉRICOS.
A MATEMÁTICA E O GPS: COORDENADAS GEOGRÁFICAS, DISTÂNCIAS E ÂNGULOS ESFÉRICOS. Luciana Cadar Chamone Orientador: Francisco Dutenhefner

2 O SISTEMA DE POSIONAMENTO GLOBAL (GPS)
O que é GPS? GPS é um sistema de radionavegação, inicialmente desenvolvido e controlado pelo departamento de defesa dos Estados Unidos que permite a qualquer usuário saber a sua localização, 24 horas por dia, sob quaisquer condições atmosféricas e em qualquer ponto do globo terrestre.

3 O GPS é constituído por três segmentos principais: ( O segmento espacial, o segmento de controle e o receptor ) O segmento espacial é constituído por 24 satélites orbitando em torno da terra a uma altura aproximada de Km acima do nível do mar. Foi concebido para que exista no mínimo 4 satélites visíveis acima do horizonte a qualquer ponto da superfície e a qualquer altura.

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5 O segmento de controle é constituído por estações terrestres distribuídas ao longo do globo. Uma estação principal rastreia os satélites, atualiza suas posições orbitais calibra e sincroniza seus relógios. Essas informações são enviadas a cada satélite para depois serem transmitida por este ao receptor.

6 O segmento do usuário é o aparelho receptor, usado para receber e converter o sinal GPS em posição, velocidade e tempo. Inclui ainda todos os elementos necessários neste processo como as antenas e software de processamento.

7 Como funciona o GPS Cada satélite transmite continuamente um sinal que é recebido pelo receptor. Este por sua vez, mede o tempo que os sinais demoram para chegar até ele. Multiplicando este tempo pela velocidade do sinal (velocidade da luz), obtém-se a distância entre o satélite e o receptor. d = v x t Daí o receptor está na esfera de centro no satélite e raio d.

8 Para determinar a posição do receptor
Se o receptor capta o sinal de um satélite, concluí-se que ele deve estar sobre a superfície da esfera que tem centro no satélite e raio igual a distância do receptor ao satélite. Agora, se ao mesmo tempo o receptor recebe o sinal de dois satélites, ele deve estar na interseção de duas esferas, cujos centros são os satélites:

9 Quando o receptor recebe o sinal de mais um satélite, ele deve estar na interseção de 3 esferas, cujos centros são os satélites. Neste caso a interseção de três esferas é um conjunto com dois pontos. Com a interseção de mais uma esfera, conseguimos identificar o ponto de localização do receptor.

10 Logo, para determinar a posição do receptor é necessário, que este receba o sinal de no mínimo 4 satélites. A localização é dada pela interseção de quatro esferas imaginárias, sendo os satélites o centro das esferas.

11 INTERSEÇÃO DE QUATRO ESFERAS
Teorema: Sejam S1, S2, S3 e S4 quatro superfícies esféricas, tais que S1 ∩ S2 ∩ S3 ∩ S4 ≠ Ø. Se os centros dessas esferas não são coplanares, então S1 ∩ S2 ∩ S3 ∩ S4 contém um único ponto.

12 COORDENADAS DE UM PONTO NO ESPAÇO.
Coordenadas cartesianas: Coordenadas geográficas:

13 Geometria Esférica

14 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS CONTIDOS NA SUPERFÍCIE ESFÉRICA.
Sejam A e B dois pontos sobre a esfera S. Esses pontos dividem o grande círculo de S que os contém em dois arcos. O menor deles é a geodésica que liga A até B.

15 Ângulo esférico: Ângulo entre dois grandes círculos que se intersectam em um ponto P. É determinado pelo ângulo entre os vetores V e W , tangentes aos grandes círculos em P.

16 Triângulo esférico: É formado por três pontos distintos A, B, C e pelos arcos geodésicos AB, AC, BC. Um triângulo esférico define seis ângulos, sendo três ângulos de lados e três ângulos de vértices.

17 Os três ângulos de lados são :
Os comprimentos dos lados desse triângulo esférico são dados por:

18 Os três ângulos de vértices são :
Os ângulos Os ângulos podem ser dados por:

19 Lei dos cossenos : Seja dado um triângulo esférico ABC em uma esfera S de raio R. Então

20 CÁLCULO DE DISTÂNCIAS AÉREAS E ÂNGULO AZIMUTE
Distância em quilômetros entre Belo Horizonte e Beijing.

21 Para isso usamos as coordenadas de BH e Beijing.
Belo Horizonte Beijing Latitude 20º S 40º N Longitude 44º O 116º L

22 Aplicando a Lei dos cossenos, tem-se a seguinte equação:
Distância

23 b) Ângulo azimute de Belo Horizonte a Beijing: ângulo .

24 c) Ângulo azimute e de Beijing a Belo Horizonte: ângulo .

25 REFERÊNCIAS [1]ALVES, S. A geometria do globo terrestre, II Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática, Disponível em: Acessado em: setembro 2008. [2]ALVES, S. A matemática do GPS Revista do Professor de Matemática, n.59, 2006. [3]JENNINGS, George. Modern geometry with applications. New York: Springer-Verlarg, 994. [4]LIMA, Elon Lages. Coordenadas no espaço. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática/IMPA, c1993. [5]ROCHA, Cézar H.B. GPS de navegação: para mapeadores, trilheiros e navegadores, Ed. Autor, 2003. [6]SANTOS, Reginaldo J. Um curso de geometria analítica e álgebra linear. Imprensa Universitária da UFMG, 2007. Sites: [7] [8]