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Geometria Espacial. Esfera A esfera é um sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro. Chamamos.

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1 Geometria Espacial

2 Esfera

3 A esfera é um sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro. Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R.

4

5 Polos: interseções da superfície com o eixo Equador: é a seção (circunferência) perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície. Paralelo: é uma secção (circunferência) perpendicular ao eixo. É paralela ao equador. Meridiano: é uma secção circunferência) cujo plano passa pelo eixo. Elementos da esfera

6 Toda secção plana de uma esfera é um círculo. Se a secção passa pelo centro da esfera, temos como secção um círculo máximo da esfera.

7 Superfície Esférica Chama-se superfície da esfera de centro O e raio r ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância OP seja igual ao raio. A superfície de uma esfera é também a superfície de revolução gerada pela rotação de uma semicircunferência com extremidades no raio.

8 Área da superfície esférica A superfície esférica tem uma massa igual à massa de quatro círculos máximos. admitindo que a espessura da superfície esférica é a mesma dos círculos máximos. Desta forma, então:

9 Volume da esfera Vamos imaginar uma esfera como a reunião de infinitas pirâmides

10 A altura de cada uma das pirâmides é o raio r da esfera. Desta forma, teremos que o volume da esfera é igual ao volume destas n pirâmides. O que nos permite concluir que o volume da esfera pode ser obtido por:

11 Volume da esfera – Princípio de Cavalieri Sólidos de mesma altura, cuja área de secção são iguais, possuem volumes iguais:

12 O sólido X é um cilindro equilátero (H = 2R) de onde foram retirados dois cones isósceles (altura = raio da base). O volume do sólido X é igual ao volume do cilindro menos os volumes dos dois cones: H = 2R Volume da esfera – Princípio de Cavalieri

13 Exemplos: 1. Determinar a área total e o volume de uma esfera de raio 6cm. 2. É dada uma esfera de raio 10cm. Um plano secciona essa esfera a uma distância de 6 cm do centro da mesma. Calcule o raio da secção.

14 Toda secção plana de uma esfera é um círculo. Qualquer secção da esfera é um círculo. O que não acontece com os demais sólidos (as secções variam de acordo com a posição dos planos de corte). Secção da esfera

15 OO é a distância do plano α ao centro da esfera. Qualquer plano α que seciona uma esfera de raio R determina como seção plana um círculo de raio R.

16 Secção da esfera Se o plano secante passa pelo centro da esfera temos como secção um círculo máximo da esfera.

17 Secção da esfera Quando o plano que secciona a esfera contiver um diâmetro, teremos d = 0. Nesse caso, o círculo determinado terá raio R e será denominado círculo máximo.

18 (FUVEST/SP) Uma superfície esférica de raio 13 cm é cortada por um plano situado a uma distancia de 12 cm do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O raio dessa circunferência em cm é de: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 =13 plano 12 r r Após devida interpretação, observa- se que o triângulo destacado é um triângulo retângulo com hipotenusa 13 e catetos 12 e r. Daí, utilizando o Teorema de Pitágoras: 13²= 12² + r² 169 = r² 169 – 144 = r²= 25 r = 25 r = 5 Exemplo

19 É a parte da esfera gerada do seguinte modo: Zona esférica é a superfície de revolução cuja geratriz é um arco de circunferência e cujo eixo é uma reta tal que: passa pelo centro da circunferência que contém o arco; não passa por nenhum extremo do arco, nem intercepta o arco em outro ponto; é coplanar com o arco Zona Esférica

20 Calota Esférica É a parte da esfera gerada do seguinte modo: É a superfície de revolução cuja geratriz é um arco de circunferência e cujo eixo é uma reta tal que: passa pelo centro da circunferência que contém o arco; passa por um extremo do arco e não o intercepta em outro ponto; é coplanar com o arco

21 Área da Calota Esférica e da Zona Esférica

22 O fuso esférico é uma parte da superfície esférica que se obtém ao girar uma semi-circunferência máxima de ângulo em torno de seu eixo. 0 < < 2 (em rad) Fuso Esférico É a interseção da superfície de uma esfera com um diedro (ou setor diedral), cuja aresta contém um diâmetro dessa superfície esférica. O que caracteriza o fuso é o ângulo medido na secção equatorial.

23 A área do fuso esférico pode ser obtida por uma regra de três simples: Ângulo Área

24 Cunha Esférica A cunha esférica é uma parte da esfera que se obtém ao girar uma semi-circunferência máxima de ângulo em torno de seu eixo. 0 < < 2 (em rad) É a interseção da superfície de uma esfera com um diedro (ou setor diedral), cuja aresta contém um diâmetro dessa superfície esférica. O que caracteriza a cunha é o raio da esfera e a medida do diedro

25 O volume da cunha esférica também pode ser obtida por uma regra de três simples: Ângulo Volume

26 Exemplos: 1. Determinar a área de um fuso esférico de 30 0, contido numa superfície esférica de raio 4cm. 2. Determinar o volume da cunha esférica obtida a partir da situação anterior.

27 Exemplo: Calcular a área total e o volume de uma cunha esférica contida numa esfera de raio igual a 4 cm, sabendo que o ângulo central da cunha mede 60º. 60º

28 Resolução: 60º Volume:

29 Resolução: 60º Área Total

30 Inscrição e Circunscrição do Cubo na Esfera

31 Inscrição da Esfera no Cilindro


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