Caminhamento em Grafos: Busca em Largura e Busca em Profundidade

Apresentação em tema: "Caminhamento em Grafos: Busca em Largura e Busca em Profundidade"— Transcrição da apresentação:

1 Caminhamento em Grafos: Busca em Largura e Busca em Profundidade

2 Busca em Largura 3 mark vertex s as visited
BFS(G) 1 for every vertex s of G not explored yet do Enqueue(S,s) mark vertex s as visited while S is not empty do 5 u ← Dequeue(S); 6 For each v in Adj[u] then 7 if v is unexplored then mark edge (v,u) as tree edge mark vertex v as visited Enqueue(S,v) Notação Adj[u] : lista dos vértices adjacentes a u em alguma ordem Dequeue(S): Remove o primeiro elemento da fila S Enqueue (S,v) : Adiciona o nó v na fila S

3 Exemplo S 4 3 1 2 7 3 mark vertex s as visited 5
BFS(G) 1 for every vertex s of G not explored yet do Enqueue(S,s); mark vertex s as visited while S is not empty do 5 u ← Dequeue(S); 6 For each v in Adj[u] then 7 if v is unexplored then mark edge (v,u) as tree edge mark vertex v as visited Enqueue(S,v) 2 7 5 6

4 Exemplo S 1 4 3 1 2 7 3 mark vertex s as visited 5
BFS(G) 1 for every vertex s of G not explored yet do Enqueue(S,s); mark vertex s as visited while S is not empty do 5 u ← Dequeue(S); 6 For each v in Adj[u] then 7 if v is unexplored then mark edge (v,u) as tree edge mark vertex v as visited Enqueue(S,v) 2 7 5 6

5 Exemplo S 4 3 1 2 7 3 mark vertex s as visited 5
BFS(G) 1 for every vertex s of G not explored yet do Enqueue(S,s); mark vertex s as visited while S is not empty do 5 u ← Dequeue(S); 6 For each v in Adj[u] then 7 if v is unexplored then mark edge (v,u) as tree edge mark vertex v as visited Enqueue(S,v) 2 7 5 6

6 Exemplo S 4 4 3 1 2 7 3 mark vertex s as visited 5
BFS(G) 1 for every vertex s of G not explored yet do Enqueue(S,s); mark vertex s as visited while S is not empty do 5 u ← Dequeue(S); 6 For each v in Adj[u] then 7 if v is unexplored then mark edge (v,u) as tree edge mark vertex v as visited Enqueue(S,v) 2 7 5 6

7 Exemplo S 4 5 4 3 1 2 7 3 mark vertex s as visited 5
BFS(G) 1 for every vertex s of G not explored yet do Enqueue(S,s); mark vertex s as visited while S is not empty do 5 u ← Dequeue(S); 6 For each v in Adj[u] then 7 if v is unexplored then mark edge (v,u) as tree edge mark vertex v as visited Enqueue(S,v) 2 7 5 6

8 Exemplo S 4 5 2 4 3 1 2 7 3 mark vertex s as visited 5
BFS(G) 1 for every vertex s of G not explored yet do Enqueue(S,s); mark vertex s as visited while S is not empty do 5 u ← Dequeue(S); 6 For each v in Adj[u] then 7 if v is unexplored then mark edge (v,u) as tree edge mark vertex v as visited Enqueue(S,v) 2 7 5 6

9 Exemplo S 5 2 4 3 1 2 7 3 mark vertex s as visited 5
BFS(G) 1 for every vertex s of G not explored yet do Enqueue(S,s); mark vertex s as visited while S is not empty do 5 u ← Dequeue(S); 6 For each v in Adj[u] then 7 if v is unexplored then mark edge (v,u) as tree edge mark vertex v as visited Enqueue(S,v) 2 7 5 6

10 Exemplo S 5 2 4 3 1 2 7 3 mark vertex s as visited 5
BFS(G) 1 for every vertex s of G not explored yet do Enqueue(S,s); mark vertex s as visited while S is not empty do 5 u ← Dequeue(S); 6 For each v in Adj[u] then 7 if v is unexplored then mark edge (v,u) as tree edge mark vertex v as visited Enqueue(S,v) 2 7 5 6

11 Exemplo S 5 2 4 3 1 2 7 3 mark vertex s as visited 5
BFS(G) 1 for every vertex s of G not explored yet do Enqueue(S,s); mark vertex s as visited while S is not empty do 5 u ← Dequeue(S); 6 For each v in Adj[u] then 7 if v is unexplored then mark edge (v,u) as tree edge mark vertex v as visited Enqueue(S,v) 2 7 5 6

12 Exemplo S 2 4 3 1 2 7 3 mark vertex s as visited 5
BFS(G) 1 for every vertex s of G not explored yet do Enqueue(S,s); mark vertex s as visited while S is not empty do 5 u ← Dequeue(S); 6 For each v in Adj[u] then 7 if v is unexplored then mark edge (v,u) as tree edge mark vertex v as visited Enqueue(S,v) 2 7 5 6

13 Exemplo S 4 3 1 2 7 3 mark vertex s as visited 5
BFS(G) 1 for every vertex s of G not explored yet do Enqueue(S,s); mark vertex s as visited while S is not empty do 5 u ← Dequeue(S); 6 For each v in Adj[u] then 7 if v is unexplored then mark edge (v,u) as tree edge mark vertex v as visited Enqueue(S,v) 2 7 5 6

14 Exemplo S 6 4 3 1 2 7 3 mark vertex s as visited 5
BFS(G) 1 for every vertex s of G not explored yet do Enqueue(S,s); mark vertex s as visited while S is not empty do 5 u ← Dequeue(S); 6 For each v in Adj[u] then 7 if v is unexplored then mark edge (v,u) as tree edge mark vertex v as visited Enqueue(S,v) 2 7 5 6

15 Exemplo S 4 3 1 2 7 3 mark vertex s as visited 5
BFS(G) 1 for every vertex s of G not explored yet do Enqueue(S,s); mark vertex s as visited while S is not empty do 5 u ← Dequeue(S); 6 For each v in Adj[u] then 7 if v is unexplored then mark edge (v,u) as tree edge mark vertex v as visited Enqueue(S,v) 2 7 5 6

16 Exemplo S 3 4 3 1 2 7 3 mark vertex s as visited 5
BFS(G) 1 for every vertex s of G not explored yet do Enqueue(S,s); mark vertex s as visited while S is not empty do 5 u ← Dequeue(S); 6 For each v in Adj[u] then 7 if v is unexplored then mark edge (v,u) as tree edge mark vertex v as visited Enqueue(S,v) 2 7 5 6

17 Exemplo S 3 4 3 3 1 3 mark vertex s as visited
BFS(G) 1 for every vertex s of G not explored yet do Enqueue(S,s); mark vertex s as visited while S is not empty do 5 u ← Dequeue(S); 6 For each v in Adj[u] then 7 if v is unexplored then mark edge (v,u) as tree edge mark vertex v as visited Enqueue(S,v) 2 7 5 6

18 Exemplo S 4 3 3 1 3 mark vertex s as visited
BFS(G) 1 for every vertex s of G not explored yet do Enqueue(S,s); mark vertex s as visited while S is not empty do 5 u ← Dequeue(S); 6 For each v in Adj[u] then 7 if v is unexplored then mark edge (v,u) as tree edge mark vertex v as visited Enqueue(S,v) 2 7 5 6

19 Exemplo S 7 4 3 1 2 7 3 mark vertex s as visited 5
BFS(G) 1 for every vertex s of G not explored yet do Enqueue(S,s); mark vertex s as visited while S is not empty do 5 u ← Dequeue(S); 6 For each v in Adj[u] then 7 if v is unexplored then mark edge (v,u) as tree edge mark vertex v as visited Enqueue(S,v) 2 7 5 6

20 Distâncias da origem aos demais vértices
BFS(G) 1 For each v do d[v]infinito (inicia o vetor d) Enqueue(S,s) ; d[s]0 mark vertex s as visited while S is not empty do 5 u ← Dequeue(S); 6 For each v in Adj[u] then 7 if v is unexplored then 8 d[v]d[u] (atualiza o valor de d[v]) mark edge (v,u) as tree edge mark vertex v as visited Enqueue(S,v) Assumimos que o grafo é conexo Ao término da execução d[v] guarda a distância entre a origem s e o vértice v

21 Propriedades da Busca em Largura
Teorema: A BFS visita os vértices em ordem crescente de distâncias L0 L4 L3 L1 L2 Teorema: Para toda aresta (v, w) em G tal que v  Li e w  Lj, |i – j| ≤ 1.

22 Busca em Profundidade 4 3 1 2 7 5 5 DFS-Visit(G, w) 6 DFS(G)
1 Para todo v em G 2 Se v não visitado então 3 DFS-Visit(G, v) DFS-Visit(G, v) 1 Marque v como visitado 2 Para todo w em Adj(v) Se w não visitado então Insira aresta (v, w) na árvore DFS-Visit(G, w) 4 3 1 2 7 5 6

23 Busca em Profundidade : Exemplo
DFS(G) 1 Para todo v em G 2 Se v não visitado então 3 DFS-Visit(G, v) DFS-Visit(G, v) 1 Marque v como visitado 2 Para todo w em Adj(v) Se w não visitado então Insira aresta (v, w) na árvore DFS-Visit(G, w) 4 3 1 2 7 5 6

24 Busca em Profundidade : Exemplo
DFS(G) 1 Para todo v em G 2 Se v não visitado então 3 DFS-Visit(G, v) DFS-Visit(G, v) 1 Marque v como visitado 2 Para todo w em Adj(v) Se w não visitado então Insira aresta (v, w) na árvore DFS-Visit(G, w) 4 3 1 2 7 5 6

25 Busca em Profundidade : Exemplo
DFS(G) 1 Para todo v em G 2 Se v não visitado então 3 DFS-Visit(G, v) DFS-Visit(G, v) 1 Marque v como visitado 2 Para todo w em Adj(v) Se w não visitado então Insira aresta (v, w) na árvore DFS-Visit(G, w) 4 3 1 2 7 5 6

26 Busca em Profundidade : Exemplo
DFS(G) 1 Para todo v em G 2 Se v não visitado então 3 DFS-Visit(G, v) DFS-Visit(G, v) 1 Marque v como visitado 2 Para todo w em Adj(v) Se w não visitado então Insira aresta (v, w) na árvore DFS-Visit(G, w) 4 3 1 2 7 5 6

27 Busca em Profundidade : Exemplo
DFS(G) 1 Para todo v em G 2 Se v não visitado então 3 DFS-Visit(G, v) DFS-Visit(G, v) 1 Marque v como visitado 2 Para todo w em Adj(v) Se w não visitado então Insira aresta (v, w) na árvore DFS-Visit(G, w) 4 3 1 2 7 5 6

28 Busca em Profundidade : Exemplo
DFS(G) 1 Para todo v em G 2 Se v não visitado então 3 DFS-Visit(G, v) DFS-Visit(G, v) 1 Marque v como visitado 2 Para todo w em Adj(v) Se w não visitado então Insira aresta (v, w) na árvore DFS-Visit(G, w) 4 3 1 2 7 5 6

29 Busca em Profundidade : Exemplo
DFS(G) 1 Para todo v em G 2 Se v não visitado então 3 DFS-Visit(G, v) DFS-Visit(G, v) 1 Marque v como visitado 2 Para todo w em Adj(v) Se w não visitado então Insira aresta (v, w) na árvore DFS-Visit(G, w) 4 3 1 2 7 5 6

30 Busca em Profundidade : Exemplo
DFS(G) 1 Para todo v em G 2 Se v não visitado então 3 DFS-Visit(G, v) DFS-Visit(G, v) 1 Marque v como visitado 2 Para todo w em Adj(v) Se w não visitado então Insira aresta (v, w) na árvore DFS-Visit(G, w) 4 3 1 2 7 5 6

31 Aplicações: Determinar as Componentes Conexas
Vetor Componente(v) Armazena um número inteiro correspondente a componente conexa aonde v se encontra

32 Aplicações: Determinar as Componentes Conexas
COMPONENTES (G) 1 num =1 2 Para todo v em G 3 Se v não visitado então 4 componrnte(v)  num 5 DFS_visit(v,num) 6 num ++ DFS_Visit(v, num) 1 Marque v como visitado 2 Para todo w em Adj(v) Se w não visitado então DFS_Visit(w,num) componente(w)  num

33 Aplicações: Determinar se um grafo é bipartido
G = (V,E) = (X,Y,E) XY = V XY =  {u,w}E então uX e wY Exemplos professores e horários candidatos e postos masculino e feminino A D B E C F

34 Aplicações: Determinar se um grafo é bipartido
BIPARTITE (G) 1 Bipartite  true 2 Para todo v em G 3 Se v não visitado então 4 DFS_Visit(v,0) DFS_Visit(v,p) 1 Marque v como visitado 2 partição(v)  p 3 Para todo w em Adj(v) Se w não visitado então 5 DFS_Visit (w, 1– p ) Senão Se partição(w)=p 8 Bipartite  false A D B E C F Estrutura de Dados Partição: vetor de |V| posições Partição(u) armazena 0 ou 1, dependendo da partição em que o vértice u se encontra

35 DFS: Estrutura de Dados
cor cor(u)=branco, u não foi visitado cor(u)=cinza, u já foi visitado mas seus vizinhos ainda não cor(u)=preto, u e seus vizinhos já foram visitados  (u) = v se e somente se u é visitado quando a lista dos vizinhos de v é percorrida d d(u) marca o momento em que u é visitado f f(u) marca o momento em que a DFS a partir de u termina (u se torna preto)

36 Busca em Profundidade 3 time0 2 time  time+1 6 [v]u;
DFS(G) 1 for every vertex u of G 2 cor[u]white; [u]NIL 3 time0 4 for every vertex v of G 5 if cor[v]=BRANCO then 6 DFS-Visit(u) DFS-Visit(u) 1 cor[u]CINZA 2 time  time+1 3 d[u] time 4 for each v in Adj[u] 6 [v]u; 7 DFS-Visit[u] 8 cor[u]NEGRO 9 time time+1 10 f[u] time+1

37 Busca em Profundidade

38 Propriedades da DFS Teorema 1: Seja T a árvore produzida por uma DFS em G e seja vw uma aresta de G. Se v é visitado antes de w então v é ancestral de w em T. Observe que isto não é válido para caminhos de comprimento 2. G=(V,E), onde {a,b,c} e E={(a,b),(b,c),(c,a),(a,d)} c é visitado antes de d, existe caminho de c para d, porém c não é ancestral de d.

39 Propriedades da DFS Teorema 2: Sejam u e v dois vértices de G tal que u é visitado antes de v. Então uma das duas possibilidades ocorre d(u) < d(v) < f(v) < f(u) d(u) < f(u) <d(v) < f(v)

40 Propriedades da DFS Teorema 3: Um nó v é descendente de um nó u em uma busca em profundidade se e somente se existe um caminho de u até v que utilize apenas nós com cor branca no momento que u se torna cinza => Se existe o caminho branco podemos argumentar por indução no tamanho do caminho. Seja w o primeiro vértice do caminho ‘branco’ que liga u a v que é visitado durante DFS(u). Este w tem que existir já que o sucessor de u no caminho é visitado durante a DFS(u) pela Teorema 1. Segue que w é descendente de u e v é descendente de w pela hipótese de indução. <= Se não existe caminho branco então DFS(u) não alcança v

41 Classificação de arcos em um dígrafo
Arco de Árvore: (u,v) é do tipo ‘A’ se v é visitado pela primeira vez quando a lista Adj[u] é percorrida Arco Reverso: (u,v) é do tipo ‘R’ se v é ancestral de u na árvore gerada pela DFS Arco Direto: (u,v) é do tipo ‘D’ se v é descendente de u na árvore gerada pela DFS e (u,v) não é do tipo ‘A’ 4. Arco Cruzado: Demais arcos

42 Propriedades da DFS Iniciar pelo laranja

43 Testando se um grafo direcionado contem ciclos
Teorema: O grafo G é cíclico se e somente se a execução de uma DFS em G produz um arco reverso. Prova  Seja C um ciclo em G e seja u o primeiro nó de C visitado pela DFS. Seja v o predecessor de C no ciclo. Portanto, v é descendente de u (caminhos brancos) e o arco (u,v) é reverso. Seja (u,v) um arco reverso. Portanto, v é descendente de u. Logo, existe um caminho de v para u em G. Adicionando (u,v) a este caminho obtemos um ciclo

44 Testando se um grafo direcionado contem ciclos
DFS(G) 1 for every vertex v of G 2 do set d[v]  0,f[v]  0 3 Time  1; Aciclico  true 4 for every vertex v of G 5 if d[v] =0 then 6 DFS(G, v) 7 Return Aciclico DFS_Visit (v) 1 d[v]  time ; time ++ 2 For every w in Adj(v) if d[w]=0 then DFS_Visit (w) Else if f[w]=0 then ( ‘arco reverso’) 6 Aciclico  false 7 f[v]  time; time ++