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Paradoxos Clássicos no Cálculo das Probabilidades Carlos Tenreiro Universidade de Coimbra Escola Secundária Drª Maria Cândida, Mira 17 de Novembro de 2004.

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1 Paradoxos Clássicos no Cálculo das Probabilidades Carlos Tenreiro Universidade de Coimbra Escola Secundária Drª Maria Cândida, Mira 17 de Novembro de 2004

2 Paradoxo Opinião contrária à opinião comum ou ao sentir comum; Contradição ou contra-senso, pelo menos aparente; Coisa que não liga bem com outra; Coisa incrível; Discordância, discrepância, desarmonia.

3 Probabilidade A probabilidade é um número entre 0 e 1 (ou entre 0% e 100%). Quantifica a maior ou menor possibilidade que um acontecimento tem de ocorrer. Quanto maior for a probabilidade de determinado acontecimento, mais possibilidade tem ele de ocorrer.

4 Probabilidade No lançamento de um dado equilibrado, qual é a probabilidade: de sair a face 6? de sair face com número par? de não sair a face 6? = 0.166… = 0.5 = 0.833…

5 Probabilidade Probabilidade = resultados favoráveis resultados possíveis Para resultados igualmente prováveis:

6 Probabilidade Probabilidade = 1 - resultados desfavoráveis resultados possíveis Para resultados igualmente prováveis:

7 Probabilidade Resultados de vários lançamentos: nº lançamentosface 1proporção 100 1000 10000 50000

8 Probabilidade Resultados de vários lançamentos: nº lançamentosface 1proporção 100230.23 1000 10000 50000

9 Probabilidade Resultados de vários lançamentos: nº lançamentosface 1proporção 100230.23 10001710.171 10000 50000

10 Probabilidade Resultados de vários lançamentos: nº lançamentosface 1proporção 100230.23 10001710.171 1000016880.1688 50000

11 Probabilidade Resultados de vários lançamentos: nº lançamentosface 1proporção 100230.23 10001710.171 1000016880.1688 5000082660.16532 Probabilidade = 0.1666…

12 Probabilidade Resultados de vários lançamentos: nº lançamentosface parproporção 100 1000 10000 50000

13 Probabilidade Resultados de vários lançamentos: nº lançamentosface parproporção 100490.49 1000 10000 50000

14 Probabilidade Resultados de vários lançamentos: nº lançamentosface parproporção 100490.49 10005100.510 10000 50000

15 Probabilidade Resultados de vários lançamentos: nº lançamentosface parproporção 100490.49 10005100.510 1000050670.5067 50000

16 Probabilidade Resultados de vários lançamentos: nº lançamentosface parproporção 100490.49 10005100.510 1000050670.5067 50000251630.50326 Probabilidade = 0.5

17 Probabilidade Probabilidade ~ Repetindo muitas vezes a experiência: proporção de resultados favoráveis

18 Probabilidade A igualdade anterior é conhecida como Lei dos grandes números e é devida a Jacques Bernoulli (1645-1705). Jacques Bernoulli

19 Paradoxo dos dados Jogando com três dados, 9 e 10 pontos podem ser obtidos de seis maneiras diferentes: 9 pontos 1 2 6 1 3 5 1 4 4 2 2 5 2 3 4 3 3 3 10 pontos 1 3 6 1 4 5 2 2 6 2 3 5 2 4 4 3 3 4

20 Paradoxo dos dados Porque não está este facto de acordo com a experiência que revela que a soma 10 ocorre mais vezes que a soma 9?

21 Paradoxo dos dados Resultados de vários lançamentos: nº lançamentosSoma 9Soma 10 100 1000 10000 20000

22 Paradoxo dos dados Resultados de vários lançamentos: nº lançamentosSoma 9Soma 10 100 12 11 1000 10000 20000

23 Paradoxo dos dados Resultados de vários lançamentos: nº lançamentosSoma 9Soma 10 100 12 11 1000 137 124 10000 20000

24 Paradoxo dos dados Resultados de vários lançamentos: nº lançamentosSoma 9Soma 10 100 12 11 1000 137 124 10000 1183 1260 20000

25 Paradoxo dos dados Resultados de vários lançamentos: nº lançamentosSoma 9Soma 10 100 12 11 1000 137 124 10000 1183 1260 20000 2287 2493

26 Paradoxo dos dados Cardano (1501-1576) Livro sobre jogos de azar (escrito em 1526, publicado em 1663) Este problema foi estudado por gente famosa: Girolamo Cardano

27 Paradoxo dos dados Galileu Galilei (1564- 1642) Considerações sobre o jogo dos dados (escrito entre 1613 e 1623) Galileu Galilei

28 Paradoxo dos dados As combinações anteriores não são igualmente prováveis. Há 27 maneiras igualmente prováveis de obter 10 pontos. Há apenas 25 maneiras igualmente prováveis de obter 9 pontos.

29 Paradoxo dos dados Resultado 1 2 6 1º dado2º dado3º dado 126 162 216 261 612 621

30 Paradoxo dos dados Resultado 1 4 4 1º dado2º dado3º dado 144 414 441 Resultado 3 3 3 1º dado2º dado3º dado 3 33

31 Paradoxo dos dados 9 pontosPossibili- dades 1 2 6 1 3 5 1 4 4 2 2 5 2 3 4 3 3 3

32 Paradoxo dos dados 9 pontosPossibili- dades 1 2 66 1 3 5 1 4 4 2 2 5 2 3 4 3 3 3

33 Paradoxo dos dados 9 pontosPossibili- dades 1 2 66 1 3 56 1 4 4 2 2 5 2 3 4 3 3 3

34 Paradoxo dos dados 9 pontosPossibili- dades 1 2 66 1 3 56 1 4 43 2 2 5 2 3 4 3 3 3

35 Paradoxo dos dados 9 pontosPossibili- dades 1 2 66 1 3 56 1 4 43 2 2 53 2 3 4 3 3 3

36 Paradoxo dos dados 9 pontosPossibili- dades 1 2 66 1 3 56 1 4 43 2 2 53 2 3 46 3 3 3

37 Paradoxo dos dados 9 pontosPossibili- dades 1 2 66 1 3 56 1 4 43 2 2 53 2 3 46 3 3 31

38 Paradoxo dos dados 9 pontosPossibili- dades 1 2 66 1 3 56 1 4 43 2 2 53 2 3 46 3 3 31 total25

39 Paradoxo dos dados 9 pontosPossibili- dades 1 2 66 1 3 56 1 4 43 2 2 53 2 3 46 3 3 31 total25 10 pontosPossibili- dades 1 3 6 1 4 5 2 2 6 2 3 5 2 4 4 3 3 4

40 Paradoxo dos dados 9 pontosPossibili- dades 1 2 66 1 3 56 1 4 43 2 2 53 2 3 46 3 3 31 total25 10 pontosPossibili- dades 1 3 66 1 4 5 2 2 6 2 3 5 2 4 4 3 3 4

41 Paradoxo dos dados 9 pontosPossibili- dades 1 2 66 1 3 56 1 4 43 2 2 53 2 3 46 3 3 31 total25 10 pontosPossibili- dades 1 3 66 1 4 56 2 2 6 2 3 5 2 4 4 3 3 4

42 Paradoxo dos dados 9 pontosPossibili- dades 1 2 66 1 3 56 1 4 43 2 2 53 2 3 46 3 3 31 total25 10 pontosPossibili- dades 1 3 66 1 4 56 2 2 63 2 3 5 2 4 4 3 3 4

43 Paradoxo dos dados 9 pontosPossibili- dades 1 2 66 1 3 56 1 4 43 2 2 53 2 3 46 3 3 31 total25 10 pontosPossibili- dades 1 3 66 1 4 56 2 2 63 2 3 56 2 4 4 3 3 4

44 Paradoxo dos dados 9 pontosPossibili- dades 1 2 66 1 3 56 1 4 43 2 2 53 2 3 46 3 3 31 total25 10 pontosPossibili- dades 1 3 66 1 4 56 2 2 63 2 3 56 2 4 43 3 3 4

45 Paradoxo dos dados 9 pontosPossibili- dades 1 2 66 1 3 56 1 4 43 2 2 53 2 3 46 3 3 31 total25 10 pontosPossibili- dades 1 3 66 1 4 56 2 2 63 2 3 56 2 4 43 3 3 43

46 Paradoxo dos dados 9 pontosPossibili- dades 1 2 66 1 3 56 1 4 43 2 2 53 2 3 46 3 3 31 total25 10 pontosPossibili- dades 1 3 66 1 4 56 2 2 63 2 3 56 2 4 43 3 3 43 total27

47 O paradoxo da divisão Dois jogadores jogam uma série de partidas justas até que um deles obtenha 6 vitórias. Por motivos exteriores ao jogo, este é interrompido quando um dos jogadores somava 5 vitórias e o outro 3 vitórias.

48 O paradoxo da divisão Jogador A Jogador B VVVVV VVV

49 O paradoxo da divisão Como devemos dividir, de forma justa, o montante apostado por ambos os jogadores?

50 O paradoxo da divisão Por volta de 1652, este problema é colocado a Pascal (1623-1662). Blaise Pascal

51 O paradoxo da divisão No verão de 1654, ele é o principal motivo duma troca de correspondência entre Pascal e Fermat (1601-1665). Pierre de Fermat

52 O paradoxo da divisão O problema já tinha sido discutido por vários matemáticos: 1494 – Pacioli (1445- 1517) propõe: Luca Pacioli

53 O paradoxo da divisão 1556 – Tartaglia (1499-1557) diz: A solução de Pacioli não parece estar correcta, mas qualquer que seja a forma de dividir o prémio haverá sempre lugar a litígio Nicolo Tartaglia

54 O paradoxo da divisão 1564 – Cardano (1501- 1576) diz: Há um erro evidente na divisão do prémio proposta por Pacioli que até uma criança pode reconhecê-lo Girolamo Cardano

55 O paradoxo da divisão Para os matemáticos anteriores o problema da divisão das apostas é um problema sobre proporções. Para Pascal e Fermat o problema reduz-se a um problema de probabilidades.

56 O paradoxo da divisão Se p é a probabilidade de um dos jogadores ganhar, ele deverá arrecadar p x Prémio Divisão justa: p x Prémio (1-p) x Prémio

57 O paradoxo da divisão Jogador A Jogador B VVVVV VVV V VV

58 O paradoxo da divisão As soluções apresentadas pelos dois matemáticos são diferentes mas chegam ao mesmo resultado. Fermat analisa as possíveis evoluções do jogo mesmo depois do vencedor estar encontrado.

59 O paradoxo da divisão 1ª partida2ª partida3ª partidavencedor A B A B A B A B A B ABABABAB A A A A A A A B

60 O paradoxo da divisão Divisão justa: Jogador A recebe Jogador B recebe

61 Paradoxo de DAlembert Este paradoxo tem origem num artigo publicado por DAlembert (1717- 1783) na Enciclopédia Francesa de 1754. Jean Le Round DAlembert

62 Paradoxo de DAlembert

63 Qual é a probabilidade de obter pelo menos uma cara em dois lançamentos duma moeda? Resposta de DAlembert: = 0.666…

64 Paradoxo de DAlembert cara sim coroa coroa não 1º lançamento2º lançamento1 ou 2 caras

65 Paradoxo de DAlembert Qual é a probabilidade de obter pelo menos uma cara em três lançamentos duma moeda? Resposta de DAlembert: = 0.75

66 Paradoxo de DAlembert 1º lançamento 2º lançamento 3º lançamento 1,2 ou 3 caras cara coroa cara coroa cara coroa sim não

67 Paradoxo de DAlembert

68 E DAlembert termina: Isto parece-me digno de merecer a atenção dos calculadores que irão reformular as regras por todos aceites sobre os jogos de azar Estarão as respostas de DAlembert correctas?

69 Paradoxo de DAlembert Resultados de várias repetições de 2 lançamentos: nº repetições1 ou 2 carasproporção 100 1000 10000 50000

70 Paradoxo de DAlembert Resultados de várias repetições de 2 lançamentos: nº repetições1 ou 2 carasproporção 100690.69 1000 10000 50000

71 Paradoxo de DAlembert Resultados de várias repetições de 2 lançamentos: nº repetições1 ou 2 carasproporção 100690.69 10007780.778 10000 50000

72 Paradoxo de DAlembert Resultados de várias repetições de 2 lançamentos: nº repetições1 ou 2 carasproporção 100690.69 10007780.778 1000075450.7545 50000

73 Paradoxo de DAlembert Resultados de várias repetições de 2 lançamentos: nº repetições1 ou 2 carasproporção 100690.69 10007780.778 1000075450.7545 50000373370.74674

74 Paradoxo de DAlembert Resultados de várias repetições de 2 lançamentos: nº repetições1 ou 2 carasproporção 100690.69 10007780.778 1000075450.7545 50000373370.74674 Resposta de DAlembert : 0.666… ?

75 Paradoxo de DAlembert Resultados de várias repetições de 3 lançamentos: nº repetições1, 2 ou 3 carasproporção 100 1000 10000 50000

76 Paradoxo de DAlembert Resultados de várias repetições de 3 lançamentos: nº repetições1, 2 ou 3 carasproporção 100920.92 1000 10000 50000

77 Paradoxo de DAlembert Resultados de várias repetições de 3 lançamentos: nº repetições1, 2 ou 3 carasproporção 100920.92 10008820.882 10000 50000

78 Paradoxo de DAlembert Resultados de várias repetições de 3 lançamentos: nº repetições1, 2 ou 3 carasproporção 100920.92 10008820.882 1000087620.8762 50000

79 Paradoxo de DAlembert Resultados de várias repetições de 3 lançamentos: nº repetições1, 2 ou 3 carasproporção 100920.92 10008820.882 1000087620.8762 50000438140.87628

80 Paradoxo de DAlembert Resultados de várias repetições de 3 lançamentos: nº repetições1, 2 ou 3 carasproporção 100920.92 10008820.882 1000087620.8762 50000438140.87628 Resposta de DAlembert : 0.75 ?

81 Paradoxo de DAlembert As respostas de DAlembert não estão correctas. As combinações por ele descritas não são igualmente prováveis. DAlembert devia ter usado o método que Fermat utilizou 100 anos antes.

82 Paradoxo de DAlembert cara sim cara coroa sim cara sim coroa coroa não 1º lançamento2º lançamento1 ou 2 caras

83 Paradoxo de DAlembert Resposta correcta para 2 lançamentos: = 0.75 Resultado de 50000 repetições: 0.74674

84 Paradoxo de DAlembert 1º lançamento 2º lançamento 3º lançamento 1,2 ou 3 caras cara coroa cara coroa cara coroa cara coroa cara coroa cara coroa cara coroa sim não

85 Paradoxo de DAlembert Resposta correcta para 3 lançamentos: = 0.875 Resultado de 50000 repetições: 0.87628

86 Paradoxo do dia de aniversário Se não mais que 365 pessoas estiverem reunidas, é possível que todas tenham um dia de aniversário diferente. Com 366 pessoas é certo que pelo menos duas delas têm o mesmo dia de aniversário.

87 Paradoxo do dia de aniversário Se 57 pessoas estiverem reunidas, qual é a probabilidade de pelo menos duas terem o mesmo dia de aniversário? Com certeza deve ser pequena...

88 Paradoxo do dia de aniversário Probabilidade = resultados favoráveis resultados possíveis Para resultados igualmente prováveis:

89 Paradoxo do dia de aniversário 2 pessoas 1 2 3 … 365 1,2,3,…,365 … 1,2,3,…,365 365 x 365 resultados possíveis resultados possíveis

90 Paradoxo do dia de aniversário 2 pessoas 1 2 3 … 365 365 resultados favoráveis 1 2 3 … 365 resultados favoráveis

91 Paradoxo do dia de aniversário Para 2 pessoas a probabilidade pedida é igual a = 0.0027 Em 0.27% das reuniões com 2 pessoas, essas duas pessoas têm o mesmo dia de aniversário

92 Paradoxo do dia de aniversário Probabilidade = 1 - resultados desfavoráveis resultados possíveis Para resultados igualmente prováveis:

93 Paradoxo do dia de aniversário 2 pessoas 1 2 3 … 365 2,3,…,365 1,3,…,365 1,2,…,365 … 1,2,…,364 365 x 364 resultados desfavoráveis resultados desfavoráveis

94 Paradoxo do dia de aniversário Para 2 pessoas a probabilidade pedida é igual a = 0.0027

95 Paradoxo do dia de aniversário 3 pessoas 365 x 365 x 365 resultados possíveis 365 resultados possíveis

96 Paradoxo do dia de aniversário 3 pessoas 365 x 364 x 363 resultados desfavoráveis 365 364 363 resultados desfavoráveis

97 Paradoxo do dia de aniversário Para 3 pessoas a probabilidade pedida é igual a = 0.0082 Em 0.82% das reuniões com 3 pessoas, há pelo menos duas que têm o mesmo dia de aniversário

98 Paradoxo do dia de aniversário Fórmula de cálculo para 2 pessoas Fórmula de cálculo para 3 pessoas

99 Paradoxo do dia de aniversário Fórmula de cálculo para 57 pessoas = 0.9901!!!

100 Paradoxo do dia de aniversário Em 99.01% das reuniões com 57 pessoas, há pelo menos duas que têm o mesmo dia de aniversário

101 Paradoxo do dia de aniversário nºP P P 20.27%2350.73%5097.04% 1216.70%3070.63%5799.01% 2041.14%4089.12%6999.90%

102 Paradoxo do dia de aniversário Não devemos confundir o problema anterior com o seguinte: Qual é a probabilidade de alguém nesta sala ter o mesmo dia de aniversário que eu?

103 Paradoxo do dia de aniversário 3 pessoas além de mim 364 x 364 x 364 364 resultados desfavoráveisresultados possíveis eu 365 365 x 365 x 365 364

104 Paradoxo do dia de aniversário nºP P P 235.86%10023.78%100093.55% 5714.24%25450.05%200099.58% 6917.02%50074.56%251899.90%

105 O paradoxo das coincidências Numa festa de natal os alunos de uma escola decidem dar presente uns aos outros. Cada um traz um presente que é misturado com os outros presentes. Os presentes são distribuídos ao acaso pelos alunos.

106 O paradoxo das coincidências Este procedimento é usado acreditando-se que, se o número de alunos for grande, a probabilidade de alguém receber o seu próprio presente deve ser muito pequena... Será isto verdade?

107 O paradoxo das coincidências Este problema é referido por Pierre Rémond de Montmort (1678-1719) em 1708.

108 O paradoxo das coincidências Este problema é referido por Pierre Rémond de Montmort (1678-1719) em 1708. Uma tal probabilidade é dada por:

109 O paradoxo das coincidências nºP P P 147 258 369

110 O paradoxo das coincidências nºP P P 1100%47 258 369

111 O paradoxo das coincidências nºP P P 1100%47 250%58 369

112 O paradoxo das coincidências nºP P P 1100%47 250%58 366.66%69

113 O paradoxo das coincidências nºP P P 1100%462.5%7 250%58 366.66%69

114 O paradoxo das coincidências nºP P P 1100%462.5%7 250%563.33%8 366.66%69

115 O paradoxo das coincidências nºP P P 1100%462.5%7 250%563.33%8 366.66%663.19%9

116 O paradoxo das coincidências nºP P P 1100%462.5%763.21% 250%563.33%8 366.66%663.19%9

117 O paradoxo das coincidências nºP P P 1100%462.5%763.21% 250%563.33%863.21% 366.66%663.19%9

118 O paradoxo das coincidências nºP P P 1100%462.5%763.21% 250%563.33%863.21% 366.66%663.19%963.21%

119 O paradoxo das coincidências

120 Bibliografia Deheuvels, Paul (1990) La Probabilité, le Hasard et la Certitude, PUF. Hald, Anders (1990) A history of probability and statistics and their applications before 1750, Wiley. Székely, Gábor J. (1986) Paradoxes in probability theory and mathematical statistics, Reidel.


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