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O número de ouro As relações entre o número de ouro, a seqüência de Fibonacci, o Triângulo de Pascal, as Artes, a Natureza e o Cotidiano das Pessoas. Ilydio.

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1 O número de ouro As relações entre o número de ouro, a seqüência de Fibonacci, o Triângulo de Pascal, as Artes, a Natureza e o Cotidiano das Pessoas. Ilydio Pereira de Sá – USS / UERJ

2 Diz-se que um segmento de reta está dividido em duas partes, na razão áurea ou divina proporção, quando o todo está para a maior parte, na mesma razão em que esta parte está para a outra. Tal relação gera o valor 1, , que é o irracional, denominado número de ouro. O número de ouro é representado pela letra grega  (Fi), em homenagem a Fídias (Phideas), famoso escultor grego, por ter usado a proporção de ouro em muitos dos seus trabalhos.

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4 Um Método para a divisão de um segmento AB, na razão áurea. 1) Inicialmente determina-se a mediatriz de AB, que corta o segmento no ponto O. 2) A partir de B, levanta-se uma perpendicular a AB. 3) Com centro em B e raio BO, determina-se o ponto C. 4) Traça-se o segmento CA. 5) Com centro em C e raio CB, determina-se D, sobre CA. 6) Com centro em A e raio AD, determina-se E, sobre AB. Finalmente tem-se que: AE é o segmento áureo de AB.

5 JUSTIFICATIVA MATEMÁTICA DO MÉTODO

6 O RETÂNGULO DE OURO

7 O RETÂNGULO DE OURO NAS ARTES No quadro Mona Lisa pode-se observar a proporção áurea em várias situações. Por exemplo, ao se construir um retângulo em torno de seu rosto, vê-se que este é um retângulo de ouro. Pode-se também subdividir este retângulo usando a linha dos olhos para traçar uma reta horizontal e tem-se novamente a razão de ouro. Pode-se continuar a explorar esta proporção em várias outras partes do corpo. As próprias dimensões do quadro formam igualmente um retângulo áureo.

8 Decompondo a figura num quadrado e num retângulo, o retângulo obtido tem as proporções de ouro. Curiosamente esta divisão permite que o retângulo de ouro enquadre as partes mais importantes da figura: o anjo e a jovem, se o quadrado for construído no lado direito ou no lado esquerdo, respectivamente.

9 Construção do Retângulo de Ouro, a partir de um quadrado de lado unitário

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11 A ESPIRAL DE OURO

12 A SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI A seguir será analisada uma importante seqüência, que está relacionada ao número de ouro e que surgiu de um curioso problema proposto pelo matemático Leonardo de Pisa (Fibonacci – Filho de Bonacci). Veja o seguinte problema: "Quantos pares ou casais de coelhos serão produzidos, por exemplo em um ano, começando-se com um só par, se em cada mês cada par gera um novo par, que se torna produtivo a partir do segundo mês?". Este problema considera que os coelhos estão permanentemente fechados num certo local e que não ocorrem mortes. A tabela a seguir mostra a progressão dos casais, até o mês 16.

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14 Listando a seqüência: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, na margem dos seus apontamentos, ele observou que cada um dos números a partir do terceiro é obtido pela adição dos dois números antecessores, e assim pode-se fazê- lo em ordem a uma infinidade de números de meses. Esta seqüência é conhecida, atualmente, como a seqüência ou sucessão de Fibonacci.

15 O TRIÂNGULO DE PASCAL, A SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI E O NÚMERO DE OURO O que tem a ver a seqüência de Fibonnacci com o triângulo de Pascal? Veja que interessante, a seqüência aparece através da soma de vários números binomiais (do triângulo de Pascal), localizados acima e ao lado direito do número anterior, veja abaixo:

16 Existem diversas razões, envolvendo as medidas de um corpo humano, que também geram o número de ouro. Ao lado um esquema mostrando algumas dessas razões.

17 Principalmente com os exemplos aqui mostrados, vê-se que a matemática está presente em todos os domínios científicos. Dos girassóis às imagens médicas mostradas nos eletrocardiogramas ou outros exames mais complexos, das flutuações da bolsa aos tornados, a matemática também mostra e evidência a sua unidade através de fenômenos da natureza. Mais do que uma ferramenta, mais do que uma linguagem comum a todas as culturas, a matemática é uma ciência, trazendo, cada vez mais, surpresas na compreensão do nosso Universo. Para concluir pode-se citar o grande Mestre Galileu Galilei: «O grande livro do Universo está escrito em linguagem matemática.» Galileu ( )

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