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1 A “GIBBS LECTURE” DE GÖDEL ~ SINOPSE ~ ~ SINOPSE ~ M.S. Lourenço.

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1 1 A “GIBBS LECTURE” DE GÖDEL ~ SINOPSE ~ ~ SINOPSE ~ M.S. Lourenço

2 2 DIVISÃO PRINCIPAL •PARTE I: A SITUAÇÃO MATEMÁTICA •PARTE II: AS IMPLICAÇÕES FILOSÓFICAS •PARTE III: OUTRAS VISTAS

3 3 •PRIMÁRIA: GÖDEL, K., “Some basic theorems on the foundations of mathematics and their implications” [Gödel, 1951], in Kurt Gödel: Collected Works, Vol. III, Oxford University Press, 1995, pp BIBLIOGRAFIA

4 4 •SECUNDÁRIA : BOOLOS, G., “Introductory note to *1951” [Texto de apresentação de Gödel *1951], in Kurt Gödel: Collected Works, vol. III, Oxford University Press, 1995, pp FEFERMAN, S., "Are there absolutely unsolvable problems? Gödel's dichotomy", Philosophia Mathematica, III, vol.14, 2006, pp Disponível on-line: VAN ATTEN, M., “Two draft letters from Gödel on self-knowledge of reason”, Philosophia Mathematica, III, vol. 14, 2006, pp •DE APOIO: LOURENÇO, M.S., Os elementos do programa de Hilbert, Centro de Filosofia da Universidade de Lisboa, Lisboa, Consultar ‘Text A’ na página on-line de MSL: BIBLIOGRAFIA [Continuação]

5 5 1. O Âmbito do Nominalismo 2. Uma Realidade Separada 3. O Psicologismo 4. A Filosofia do Futuro PARTE III OUTRAS VISTAS

6 6 •É instrutivo determinar o âmbito da refutação do nominalismo apresentada na Parte II. •Isto resulta do facto de que o programa nominalista, apresentado aí como uma forma de sintacticismo, é exequível se, por exemplo, a quantificação for entendida como referindo-se a domínios finitos. •Nesse caso pode-se demonstrar que o uso destes conceitos (e a teoria daí resultante) é consistente, recorrendo apenas ao ponto de vista sintáctico. PARTE III 1. O ÂMBITO DO NOMINALISMO

7 7 PARTE III 1. O ÂMBITO DO NOMINALISMO [Continuação] •Mas o nominalismo generaliza, a partir deste âmbito, para a tese radical de que nada existe a que se possa chamar um facto matemático. •Usando uma imagem de Wittgenstein (Phi. Unt. §132), a tese pode-se formular dizendo que a verdade da proposição que exprime o facto matemático produz o efeito de uma aceleração do motor da linguagem quando este está em ponto morto. •São as regras da sintaxe que tornam a proposição verdadeira, independentemente dos factos. •É só neste sentido que as proposições da matemática são genuinamente vazias de sentido.

8 8 •E como há uma nesga de bem em tudo, mesmo no nominalismo, é de reconhecer que o mérito desta doutrina é o de ter posto a ênfase no facto de uma proposição matemática nada dizer acerca da realidade física ou psíquica no mundo espácio- temporal. •Na verdade, a proposição matemática é verdadeira logo devido ao sentido dos termos que ocorrem nela, independentemente do mundo real. PARTE III 1. O ÂMBITO DO NOMINALISMO [Continuação]

9 9 •O demérito desta doutrina, no entanto, consiste em afirmar que os conceitos que são denotados pelos termos da proposição são apenas convenções lexicográficas, criadas pelo sujeito cognitivo. •Ao contrário, a verdade é que os conceitos constituem uma realidade autónoma, da qual o sujeito cognitivo tem uma percepção, talvez apenas parcial, mas que de modo algum pode ser a sua criação. 2. UMA REALIDADE SEPARADA PARTE III

10 10 2. UMA REALIDADE SEPARADA [Continuação] PARTE III •A autonomia objectiva desta realidade verifica-se mesmo nas teorias que se deixam reduzir a regras de sintaxe. •Ora estas regras são baseadas no conceito de sucessão finita de símbolos, e este conceito e os seus axiomas não resultam de uma escolha arbitrária do sujeito cognitivo e têm, portanto, um carácter objectivo.

11 11 •As proposições matemáticas não descrevem o mundo espácio-temporal mas antes o mundo dos conceitos, em particular relações entre conceitos, e este mundo é tão objectivo e coerente como aquele. •Daqui segue-se que: •i)as relações entre os conceitos não podem ser expressas por proposições tautológicas, no sentido de vazias de conteúdo e •ii) que os termos primitivos não podem ser fixados por axiomas que se deixam reduzir a tautologias explícitas. 2. UMA REALIDADE SEPARADA [Continuação] PARTE III

12 12 •Os axiomas impõem-se-nos como válidos pela percepção que temos do sentido dos termos primitivos que neles ocorrem. •O sentido do termo “conjunto de inteiros” é perfeitamente captado pelo axioma que garante a existência do conjunto daqueles inteiros n que satisfazem uma propriedade correctamente definida f (n). •Não há nada mais simples a que este axioma ou a sua verdade possam ser reduzidos. PARTE III 2. UMA REALIDADE SEPARADA [Continuação]

13 13 •Um axioma é analítico se a sua verdade é estabelecida apenas pela análise do sentido dos termos que nele ocorrem. •Assim, se se considera a teoria dos conjuntos como fazendo parte da matemática stricto sensu, os seus axiomas são analíticos e de modo algum podem ser considerados nem como tautológicos nem como vazios de conteúdo. •O mundo dos conceitos é perfeitamente homólogo ao mundo espácio-temporal. PARTE III 2. UMA REALIDADE SEPARADA [Continuação]

14 14 •O conhecimento apenas parcial que temos do mundo dos conceitos não é mais gravoso do que o conhecimento que temos do mundo espácio-temporal, de modo que os paradoxos da teoria dos conjuntos representam tanto uma falha da nossa percepção do mundo dos conceitos como as ilusões dos dados dos sentidos representam uma falha da nossa percepção do mundo espácio-temporal. •É assim em princípio possível que uma proposição seja ao mesmo tempo analítica e indecidível. PARTE III 2. UMA REALIDADE SEPARADA [Continuação]

15 15 •Em conclusão há basicamente 3 posições sobre a natureza das proposições matemáticas: i)o platonismo, apresentado nas Partes II e III, ii)o aristotelismo e iii)o psicologismo. •O realismo aristotélico é uma posição monista, que faz com que os conceitos sejam como que uma faceta dos objectos e é por isso inconsistente com a tese de uma realidade separada ou a tese dos dois universos, o universo material e o universo dos conceitos. 3. O PSICOLOGISMO PARTE III

16 16 •Enquanto que o realismo aristotélico é apenas mencionado, a caracterização do psicologismo é só esboçada e Gödel não refere sequer os nomes que estão associados com a doutrina. •Em todo o caso tem que se partir da concepção da Psicologia do ponto de vista empírico, (talvez) como em Brentano. •A favor desta suposição conta o facto de Gödel atribuir a esta doutrina as teses já defendidas: PARTE III 3. O PSICOLOGISMO [Continuação]

17 17 •i) que o conteúdo da matemática é a investigação das relações entre conceitos e •ii) que os conceitos não são criações arbitrárias do sujeito cognitivo e constituem uma realidade que este não pode alterar. •O erro desta doutrina consiste em considerar, de uma maneira unilateral, os conceitos apenas como aspectos da intensionalidade da mente. PARTE III 3. O PSICOLOGISMO [Continuação]

18 18 •A análise fenomenológica de um conceito revela que um conceito, como por exemplo o conceito de conjunto, ocorre: •i) quando ao pensar nele o sujeito tem a experiência mental correlata, i.e., passa dos elementos para a síntese dos elementos num todo; PARTE III 3. O PSICOLOGISMO [Continuação]

19 19 •ii) quando formula juízos acerca das relações do conceito com outros conceitos, eventualmente com objectos da experiência empírica, como quando formula axiomas acerca dele; •iii) na vivência da Evidência (a Evidenzerlebnis, de Brentano) da verdade das relações em que o conceito é um dos termos da relação, como quando reconhece os axiomas encontrados como evidentes. PARTE III 3. O PSICOLOGISMO [Continuação]

20 20 •Deste ponto de vista, o sujeito cognitivo está munido de um espaço intensional, dentro do qual se enquadram não só as suas emoções mas também os seus pensamentos e as suas intenções. •As leis que vigoram neste espaço não se alteram, quer a sua referência seja o segmento cognitivo ou o segmento emotivo. •Assim as verdades da matemática são um subconjunto das leis que regulam o espaço intensional do sujeito cognitivo. PARTE III 3. O PSICOLOGISMO [Continuação]

21 21 •A Filosofia do futuro terá em relação a grandes segmentos da filosofia do presente a mesma relação que a Física depois de Newton tem com a Física medieval. •O futuro da Filosofia no entanto emerge daquela parte do seu passado que é constituída pela tradição da ciência de rigor, cujos primeiros exemplos modernos ocorrem nas obras de Leibniz e Frege. 4. A FILOSOFIA DO FUTURO PARTE III

22 22 4. A FILOSOFIA DO FUTURO [Continuação] •O método da Filosofia do futuro é a análise de conceitos. •A análise de conceitos é uma reflexão a priori, a qual extrai consequências das relações entre a extensão e a intensão dos conceitos. PARTE III

23 23 4. A FILOSOFIA DO FUTURO [Continuação] •Esta reflexão revela a Evidência daqueles insights que jazem latentes sob a crosta verbal em que os conceitos são expressos. •Os resultados da análise de conceitos serão estabelecidos com o rigor que se conhece de um resultado dedutivo, quer a dedução seja formal ou simplesmente informal. PARTE III


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