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Amilcar Soares CERENA – Instituto Superior Técnico Aracaju - UFS – Cintec –28 de Maio de 2012 Geoestatística para Avaliação de Recursos.

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1 Amilcar Soares CERENA – Instituto Superior Técnico Aracaju - UFS – Cintec –28 de Maio de 2012 Geoestatística para Avaliação de Recursos Petrolíferos

2 C E R E N A Centro de Recursos Naturais e Ambiente

3 Geoestatística para a Caracterização de Recursos Naturais

4 Níveis de conhecimento de um reservatório geologia geofísica poços dados de produção

5 Necessidade de um modelo da realidade •Planeamento da prospecção •Avaliação de reservas •Planeamento e Gestão da Produção •Gestão do recurso

6 Necessidade de um modelo da realidade GEOESTATÍSTICA Modelos de Estimação Análise do padrão espacial Simulação de Imagens...

7 “…um “bom modelo” é um modelo que começa por “não ser mau” e que depois dá bons resultados.” António Brotas

8 modelos interpoladores deterministas computação gráfica, visualização científica, animação

9 Modelos de estruturas geológicas: Curvas de Bezier, Splines, interpoladores polinomiais,..

10 Representação da incerteza dos fenómenos físicos dos recursos naturais Φ =.25 ?

11 Classificação de Reservas com base na Incerteza

12 Classificação de Reservas – SPE/WPC 3 tipos de Reservas baseados na Incerteza PROVADAS Proven = 1P or P90= 90% Probability of Occurrence PROVÁVEIS Proven + Probable = 2P or P50 = 50% Probability of Occurrence POSSÍVEIS Proven + Probable + Possible = 3P or P10 = 10% Probability of Occurrence 1P2P3P P90 P50 P10 PROVEN PROBABLE POSSIBLE Reservas

13 O formalismo probabilista: base dos modelos de caracterização de reservatórios petrolíferos “I would rather be vaguely right than precisely wrong” (P. Keynes) • Representação da incerteza/ignorância pelo conceito de probabilidade • O conceito unitário de variável aleatórea

14 Caracterização de Reservatórios Petrolíferos Integração da sísmica nos modelos de propriedades internas do reservatório. Integração do modelos geológico ( canais fluviais, fracturas, litogrupos) nos modelos das propriedades internas “Downscaling” do sinal sísmico (inversão estocástica) Integração dos dados dinâmicos de produção – History Matching

15 Estimação geoestatística: interpolador linear

16 Estimação geoestatística: Krigagem Os pesos de cada uma das amostras é determinado pela sua proximidade ao ponto a estimar

17 h  (h) 1 0 hvhv 1 0 Análise da Continuidade Espacial de um fenómeno físico Coeficientes de Correlação Correlogramas Covariâncias Variogramas

18 I. Estimação Geoestatística krigagem normal inferência de um valor de uma propriedade ou atributo de um fenómeno espacial, em pontos ou áreas compreendidos entre amostras ou observações de valores dessa propriedade. E{Z(x i )} = E{Z(x j )} = m C(Z(x i ), Z(x j ))=C(h) ?       N i xZxZ 1 * 0  

19 II – Simulação estocástica de grandezas heterogéneas Integração do conceito de incerteza nos modelos dos reservatórios petrolíferos

20 Estimação ou Simulação ? O valor médio é suficiente para representar o conhecimento de uma grandeza – teor de um poluente, porosidade de um solo, temperatura, precipitação ?...depende da variabilidade/variância da grandeza e da nossa ignorância

21 A “imagem” média é suficiente para representar o conhecimento de uma grandeza? Estimação Simulação

22 Estimação Grandezas muito homogéneas (pequena variabilidade) Topo e base de um estrato geológico Temperatura, precipitação total,..

23 Simulação Grandezas muito heterogeneas (grande variabilidade) Porosidade de um solo Biodiversidade Poluição

24 O Conceito de Incerteza Tipo de solo, Porosidade, Precipitação, Resposta do modelo dinâmico de fluidos: Modelo estimado dos valores mais prováveis • Fornece unicamente a resposta dinâmica do modelo mais provável que não é necessariamente a resposta mais provável Não fornece nenhuma medida de incerteza, valores extremos, risco, etc.. Uma só resposta: reserva de água, poluição média, etc..

25 O Conceito de Incerteza...

26 Respostas do modelo dinâmico Quantificação da incerteza das reservas de água, análise de risco,... Modelo simulado O Conceito de Incerteza Porosidade, Permeabilidade, Água/Óleo,...

27 O Conceito de Incerteza Incerteza resulta da complexidade do fenómeno natural e da nossa ignorância em relação ao mesmo Não pode ser evitada Pode ser minimizada Deve ser gerida

28 Objectivo dos modelos de simulação estocástica: integrar a incerteza num processo de decisão

29 Integração da Incerteza num Processo de Decisão i – Quantificação da incerteza nas variáveis de entrada do modelo. ii – Transformação da incerteza dos inputs na incerteza da resposta

30 A Incerteza pode ser ilustrada /quantificada através do conceito de probabilidade f(z) z • Valor mais provável • Probabilidade de ocorrência de um valor extremo • Variância • Máximo e Mínimo

31 Medidas de Incerteza Medidas de dispersão de uma variábel aleatória: variancia, distância inter-quartis, medidadas de localização: percentis, quartis, P10, P90,… Q1 Q3

32 Medidas de Incerteza: reservas P90 P50 P10

33 Simulação grandezas heterogéneas Um processo de simulação espacial tem normalmente duas etapas: 1- caracterização de uma lei de distribuição de probabilidades : Estimação geoestatística de parâmetros da lei, Adopção de situações idênticas, opiniões periciais, etc.. 2- Simulação de valores dessas leis de distribuição

34 1- Caracterização de uma lei de distribuição de probabilidades caracterização de uma lei de distribuição de probabilidades : Estimação geoestatística de parâmetros da lei, Adopção de situações idênticas, opiniões periciais, geofísica, modelos geológicos, etc.. O modo como uma lei de distribuição de probabilidades é caracterizada- as porosidades locais, as reservas de óleo globais, etc..- depende da quantidade e qualidade de informação disponível

35 GRV P.D.F. Most Likely=70150 A lei de distribuição do GRV (Gross Rock Volume) pode ser inferida a partir dos primeiros estudos geológicos e geofísicos z f(z) z(x 8 ) x8x8 Estimação geoestatística de médias e variâncias locais da permabilidade, porosidade, etc.. O Conceito de Espaço

36 Estimação Geoestatística Inferência espacial de um parâmetro (média, variância,..) ou de uma lei de distribuição

37 I. Estimação Geoestatística krigagem normal inferência de um valor de uma propriedade ou atributo de um fenómeno espacial, em pontos ou áreas compreendidos entre amostras ou observações de valores dessa propriedade. E{Z(x i )} = E{Z(x j )} = m C(Z(x i ), Z(x j ))=C(h) ?       N i xZxZ 1 * 0  

38 2. Estimação de fenómenos não estacionários: Krigagem simples Z(x)= m(x)+ R(x) x Z(x) R(x) m(x) Z(x 0 )

39 Simulação com médias locais: Krigagem simples Exemplo da simulação da porosidade com as impedâncias acústicas como médias locais

40 2. Estimação de fenómenos não estacionários: Krigagem com deriva externa

41 3. Estimação de variáveis categóricas Estimação das probabilidades locais

42 4- Formalismo da Indicatriz: Estimação das proporções locais Proporção de valores superiores a 5 ppm ?

43 Estimação das proporções locais ? ( )/4=0.75 ?.70x0+.1x1+.1x1+.1x1=.3

44 5- Estimação de valores extremos: mapas de incerteza local F Z (z k ;x) = prob {Z(x) < z k } = E{I zk (x)}= m I (z k ) prob {Z(x)  ]a,b] } = F Z (b;x) – F Z (a;x) = E{I b (x)}-E{I a (x)} O estimador é assim obtido: Tendo por base o variograma estacionário:

45 6- Modelos de Co-Estimação Co-Krigagem Co-Krigagem Colocalizada

46 Z 1 (x j )- i=1, …, N 1 Z 2 (x j )- i=1, …, N 2 ? Cokrigagem

47 Cokrigagem Co-localizada Só é tomada em conta a variável auxiliar localizada no ponto a estimar - z 2 (x 0 )

48 Com os modelos de estimação geoestatítica pode caracterizar-se em qualquer ponto do espaço o valor mais provável e a variância local e leis de distribuição locais

49 Abordagem #1- Caracterização/Simulação das Características Internas –porosidades e permeabilidades – sem condicionamento às litologias

50 Abordagem #2- 1- Caracterização das litologias nos poços; Simulação das litologias: - Caracterização das litologias pela geofísica 2- simulação das características internas dentro de cada uma das litologias.

51 2- Simulação de valores de uma lei de distribuição de probabilidades Método de Monte Carlo Utilização de números aleatórios para geração de valores a partir de uma lei de distribuição de probabilidades

52 Método de Monte Carlo “the use of random numbers to solve deterministic systems or stochastic models” 1- Método da transformada inversa 2- Método de Aceitação-Rejeição Geração de variáveis aleatórias Amostragem de variáveis aleatórias a partir de distribuições de probabilidade

53 Método de Monte Carlo 1- Método de Transformada Inversa Lei de distribuição de probabilidades: F Z (z) é uma função contínua e crescente: 1 > F Z ( z ) > 0 z1 < z2 e F Z ( z1 ) < F z ( z2 ) 1 – Gerar U a partir de U( 0,1 ) 2- z1 = F -1 z(U )

54 Simulação de Monte Carlo 2- Método de Aceitação-Rejeição Especificar uma função t(x) que majora a densidade f: t(x) >= f(x) for all x. x1 é aceite x2 é aceite x1 é rejeitado x2 é rejeitado x1 x2 f(x) t(x) r(x) = t(x) / c é uma função denisdade 1- Gerar x 2- Gerar u a partir de U( 0,1 ) 3- u <= f(x) / t(x) x é aceite Caso contrário x é rejeitado

55 Algoritmos para Gerar Variáveis Aleatórias Contínuas Uniforme Método Inverso: Gerar U  U( 0,1 ) Retornar X = F -1 ( U ) 1- Gerar U  U( 0,1 ) 2 – Retornar X = a + ( b - a ). U Exponencial 1- Gerar U  U( 0,1 ) 2 – Retornar X = - . lnU

56 Algoritmos para Gerar Variáveis Aleatórias Contínuas Standard Normal 1- Gerar U1 e U2  U( 0,1 ) 2 – Retornar X1 = sqr( -2. lnU1 ). cos2 . U2 Método 1: Box e Muller (1958) X2 = sqr( -2. lnU1 ). sin2 . U2 X1 e x2  N( 0,1 ) Método 2: Método Polar (Marsaglia e Bray(1964)) 1- Gerar U1 e U2  U( 0,1 ) 2 – Considere V1 = 2. U1 - 1 e V2 = 2. U2 – 1 i=1,2 e W = V1 2 + V Se W > 1 voltar a 1. Caso contrário Y = sqr[ ( -2. lnW ) / W ] X1 = V1. Y e X2 = V2. Y X1 e x2  N( 0,1 )

57 Algoritmos para Gerar Variáveis Aleatórias Contínuas Lognormal 1 – Gerar Y  N ( ,  2 ) 2 – Retornar X = e Y Triangular Note-se X  triang( 0, 1, ( c – a ) / ( b – a ) ) então X‘ = a + ( b - a )X  triang( a, b, c ) 1 – Gerar U  U ( 0,1 ) 2 – se U   c retorna X = sqr( c. U ); caso contrário retorna X = 1 - sqr[ ( 1 - c) ( 1 – U ) ]

58 Simulação Distribuições Empíricas Ordenar por ordem decrescente os n valores de Zi Calcular p i =(i-0.5)/n associada ao Z i ordenado 1 – Gerar U  U (0,1) 2 – Retornar o valor Z = Z i + ( Z i+1 – z i ). ( p i – U ) / ( p i - p i+1 ) Ex: n=100 dados: 2.1, 0.3, 11.4, ….. Depois de ordenar, a cada valor Zi é associada a seguinte “probabilidade cumulativa” pi: min=Z 1 =0.3  p 1 =0.005; Z 2 =0.6  p 2 =0.015; Z 3 =0.65  p 3 =0.025;…; máx=Z 100 =11.4  p 100 =.995 Considere U=0.1 retorna Z=0.3+.5x( )=0.45 Criar uma “probabilidade cumulativa de Z:

59 Simulação de variáveis categóricas aleatórias Litoclasse #1 – 25 % Litoclasse #2 – 40 % Litoclasse #3 – 35 % Criar uma pseudo “probabilidade cumulativa” : L1L2L3 1 – Gerar U  U ( 0,1 ) 2- Se.25  U > 0 retorna X = L1 Se.65  U >.25 retorna X = L2 Se 1  U >.65 retorna X= L3 F(x) X

60 Simulação de um conjunto de variáveis independentes Exemplo 1: optimização de uma operação de transporte e carregamento Carregamento do camião Descarregamento do camião Transporte da carga Retorno ao ponto incial

61 Simulação de Monte Carlo Histogramas experimentais dos tempos de operação simulações Total 1Total2 Descarregamento do camião t f(t) t3 Total 3 t f(t) Histograma simulado do tempo total do ciclo... Retorno ao ponto incial t f(t) t4... Transporte da carga t f(t) t2... Carregamento do camião t f(t) t1... Análise de Sensibilidade

62 Simulação de Monte Carlo Histograma da orientação das fracturas Histograma do número de segmentos das fracturas Exemplo 2 : Simulação de um campo de fracturas Densidade das Fracturas Dimensão do Campo Histograma do comprimento das fracturas

63 Simulação de Monte Carlo 1ª simulação Sobreposição com uma 2ª simulação de outra família de fracturas Simulação de 355 fracturas Simulação de 513 fracturas

64 Exemplo 3 : Cálculo de Reservas reservasATh Net Gross Swi FVF RF Produção cumulativa          ****()**  1 1 STOIIP = Stock Tank Oil Initial In Place GIIP for Gas A = área do reservatório (km 2 / acres) Th = espessura total do reservatório (metros) Net & Gross = espessura total do reservatório líquida & bruta (metros)  = porosidade = fracção de vazios Swi = saturação de água inicial (fracção) FVF = Fcator de formação de volume de óleo e gás (adimensional) RF = factor de recuperação (fracção) A*Th = GRV = Vol. Bruto de Rocha

65 Leis de Distribuições das variáveis de entrada:

66 Simulação de Variáveis Dependentes Considere-se que 2 variáveis X e Y são altamente correlacionadas. Se um valor alto de x for gerado por uma simulação de MC de X, então um valor alto de y é esperado na simulação de Y. Problema: Isto não pode ser garantido a partir de simulações independentes de f(X) e f(Y) Simulação de variáveis dependentes implica o conhecimento da distribuição bi-variada de f(X,Y)

67 Simulação de Monte Carlo Simulação de 2 variáveis aleatórias dependentes Aplicação da lei de Bayes em passos sucessivos: F( Z 1, Z 2 ) = F( Z 2 | Z 1 ). F(Z 1 ) Simulação de 2 valores z 1 e z 2 a partir da função de distribuição conjunta F( Z 1,Z 2 ): 1 st Gerar o valor z 1 a partir da pdf F(Z 1 ). 2 nd Gerar o valor z 2 a partir da função de distribuição condicional F( Z 2 | Z 1 =z 1 )

68 Simulação de Monte Carlo Simulação de de duas variáveis a partir da distribuição bi- variada: permeabilidade e porosidade K  z1 F z1 K z1 u F(  |K=z1)  z2 u

69 Simulação de Monte Carlo Simulação de campos de fracturas com variáveis dependentes Orientation lenght Bi-histograma obtido a partir de um outcrop

70 Simulação Sequencial F(Z 1,Z 2,….,Z N )=F(Z 1 ).F(Z 2 |Z 1 ).F(Z 3 |Z 1,Z 2,Z 3 )… F(Z N |Z 1,…Z N-1 ) Gerar (simular) um conjunto de valores z 1,…,z N da lei de distribuição F(Z 1,Z 2,…,Z N ), pode ser feito em passos sucessivos: 1º- gera-se um valor z 1 da lei marginal F(Z 1 ) 2º -simula-se um valor z 2 da lei de distribuição condicional F(Z 2 |Z 1 =z 1 ) Simula-se o valor z N de F (Z N |Z 1 =z 1,Z 2 =z 2,…,Z N-1 =z N-1 )

71 Simulação Sequencial

72 Simulação Sequencial Gaussiana (SGS)

73 Ex: Sequential Gaussian Simulation (SGS)

74 1- honram os dados experimentais

75 2- reproduzem os estatísticos

76 3- reproduzem os variogramas

77 Simulação de litofácies: krigagem da indicatriz de variáveis categóricas Modelo Geoestatístico de um Reservatório do Médio Oriente

78 Simulação de canais de areia: (krigagem da indicatriz com anisotropias locais ) Reservatório fluvial de canais de areia (Oman) Algoritmo pixel-based para caracterizar corpos de areia

79 Simulação de permeabilidade com deriva local Reservatório Angolano. Integração de redes neuronais probabilistas no modelo estocástico para caracterizar o campo de permeabilidades

80 Integração de campos fracturados na simulação de permeabilidade Incorporação do campo de fracturas para caracterização da permeabilidade secundária Reservatório Angolano

81 Obrigado

82 Integration of Seismic Data in Stochastic Modelling of Internal Properties •Forward Modeling Correlation between seismic data and well data (porosity, rocktypes,..) Spatial continuity of both variables Simulation or co- simulation Data Model of Porosity, Rocktypes,..

83 Forward Modeling: Different approaches to generate images of porosity conditioned to well and seismic data

84 i) Co-Simulation of “main” variable (porosity) conditioned to the secondary variable (seismic). Co-simulation based on a sequential approach (colocated co-kriging to estimate means and variances of local distributions)

85 ii) Block Direct Simulation of well porosity and seismic (Liu and Journel, 2008 ). z(x) are the values Z (porosity) in point support z v (x) are the values Z in block support Block Direct Sequential Simulation

86 Block Direct Simulation i.In the node x 0 of a random path of a regular grid, the following means and variances are calculated by block co-kriging: ii.Simulation of a “point” value z s (x 0 ) by re-sampling the global cdf global of Z(x) (Direct Sequential Simulation Approach). Note that the kriging system requires the knowledge of spatial convariaces point-point, point-block and block-block : C(.,.), C(.,v) e C(v,v)

87 •Inverse Modeling is based on the physical relation: * = Convolving the reflectivity coefficients c(x) with a given wavelet w, one obtain the synthetic seismic amplitudes a*(x)= c(x) * w Typical Inverse Problem: one whish to know the acoustic impedances which give rise to the known real seismic.

88 Geostatistical Seismic Inversion The aim of geostatistical inversion of seismic is to produce numerical models that share two properties: •The numerical model honors a physical relationship (convolution model) with the actual data. •The numerical model reflects the assumed geological spatial continuity

89 Geostatistical Seismic (Trace-by-Trace) Inversion (Bertolli et al, 1993): it is an iterative process based on the sequential simulation of trace values of acoustic impedances. * = 1- Choose randomly a trace to be generated. Simulation of N realizations of AI of that trace N Sinthetic trace realizations 3-Compare with the real seismic, choose and retain the best realization 4- return until all traces are simulated Optimization algorithm 2- Convolution with a known wavelet

90 GSI – Global Stochastic Inversion Geostatistical Inversion With Global Perturbation Method Part I - Theory

91 The approach of Global Stochastic Inversion is based on two key ideas: •the use of the sequential direct co- simulation as the method of “transforming” 3D images, in a iterative process and •to follow the sequential procedure of the genetic algorithms optimization to converge the transformed images towards an objective function GSI – Global Stochastic Inversion

92 2- Convolution of transformed Simulated Acoustic Impedance * 1 – Simulation of Acoustic Impedance

93 3 – Comparing the synthetic amplitudes a*(x) with the real seismic a(x) obtaining local correlation coefficients cc(x) 5 – Return to step one to obtain a new generation of AI images until a given objective function is reached. 4 – From the N realizations, retain the traces with best matches and “compose” a best image of AI

94 In a last step, porosity images are derived from the seismic impedances and the uncertainty derived from the seismic quality is assessed based on the quality of match between synthetic seismogram obtained by seismic inversion and real seismic.

95 Obrigado

96 C E R E N A Centro de Recursos Naturais e Ambiente

97 ?

98 Incerteza das variáveis de entrada: BOOTSTRAP “pulling yourself up by your bootstraps” …. var1 var2var3 …. var Var=1/N(var1+var2+var3+….) Histograma de var1, var2,…. Dá origem à incerteza de Var Dados originais Re-amostra 1Re-amostra 2Re-amostra 3 N=9 N=8

99 Incerteza das variáveis de entrada: BOOTSTRAP Freq. (%) Net-to-Gross (%) Freq. (%) Mean Net-to-Gross (%) N=30 1- Gerar por MC, 30 valores da distribuição do Net-to Gross 2- Calcular a média dos valores de Net- to-Gross 3 – Voltar ao paaso 1 muitas vezes para aceder à distribuição e inceretza da média Distribuições da média do Bootstrap :

100 Incerteza das variáveis de entrada: BOOTSTRAP Freq. (%) Net-to-Gross (%) Freq. (%) Net-to-Gross (%) Freq. (%) Net-to-Gross (%) Freq. (%) Net-to-Gross (%) Acesso à inceretza da distribuição do Bootstrap

101 Incerteza das variáveis de entrada: BOOTSTRAP Var 1 Var 2  =.62 Freq. (%) Coeficiente de Correlação  Acesso à incerteza do coeficiente de correlação do Bootstrap

102 A simulação por bootstrap é mais conservativa do que a simulação de MC das distribuições orignais dos dados Nota: o Bootstrap assume independência entre variáveis. Só é aplicável nas etapas iniciais da avaliação do reservatório f(%) = = Distribuições da simulações de MC Simulação de MC da incerteza do Bootstrap Var1 Var2 Var3 r r Unc 1 Unc 2 Unc 3

103 Integration of seismic information in static models of internal properties Forward Modelling and Inverse Modelling

104 Integration of Seismic Data in Stochastic Modelling of Internal Properties •Forward Modeling Correlation between seismic data and well data (porosity, rocktypes,..) Spatial continuity of both variables Simulation or co- simulation Data Model of Porosity, Rocktypes,..

105 Forward Modeling: Different approaches to generate images of porosity conditioned to well and seismic data

106 i) Co-Simulation of “main” variable (porosity) conditioned to the secondary variable (seismic). Co-simulation based on a sequential approach (colocated co-kriging to estimate means and variances of local distributions)

107 ii) Block Direct Simulation of well porosity and seismic (Liu e Journel, 2008 ). z(x) are the values Z (porosity) in point support z v (x) are the values Z in block support Block Direct Sequential Simulation

108 Block Direct Simulation i.In the node x 0 of a random path of a regular grid, the following means and variances are calculated by block co-kriging: ii.Simulation of a “point” value z s (x 0 ) by re-sampling the global cdf global of Z(x) (Direct Sequential Simulation Approach). Note that the kriging system requires the knowledge of spatial convariaces point-point, point-block and block-block : C(.,.), C(.,v) e C(v,v)

109 •Inverse Modeling is based on the physical relation: * = Convolving the reflectivity coefficients c(x) with a given wavelet w, one obtain the synthetic seismic amplitudes a*(x)= c(x) * w Typical Inverse Problem: one whish to know the acoustic impedances which give rise to the known real seismic.

110 Geostatistical Seismic Inversion The aim of geostatistical inversion of seismic is to produce numerical models that share two properties: •The numerical model honors a physical relationship (convolution model) with the actual data. •The numerical model reflects the assumed geological spatial continuity

111 Geostatistical Seismic (Trace-by-Trace) Inversion (Bertolli et al, 1993): it is an iterative process based on the sequential simulation of trace values of acoustic impedances. * = 1- Choose randomly a trace to be generated. Simulation of N realizations of AI of that trace N Sinthetic trace realizations 3-Compare with the real seismic, choose and retain the best realization 4- return until all traces are simulated Optimization algorithm 2- Convolution with a known wavelet

112 Integration of Dynamic Data (production data) into Static Models

113 geology geophysics Well data Production Data Integration of Different Data

114

115 Real models Main amplitude: 17blocks Real porosity Real permeability Main amplitude: 17blocks

116 DSS-LA θ hyhy hxhx hθhθ hФhФ aθaθ aФaФ Anisotropy = f( θ ; r) θ : Direction of maximun continuity (azimuth) θ DSSx o ≠ θ DSSx i R =a θ /a Φ : Anisotropy ratio Ratio DSSx o ≠ Ratio DSSx i DSS-LA (Horta, 2011)

117 Anisotropy parameterization Thinner channels Wider channels Objective Optimize the main parameters of channels morphology- Local Ratios of Anisotropy and Directions of Anisotropy of variogram models

118 Local anisotropy trend model Smooth trends of local anisotropy Reflects the direction and ratio of anisotropy of the study area x1 x2 y1 ang1ang2 ang3 ang4 sc1 sc2 sc3 Tunning anisotropy parameters (θ, r ) Direction of anisotropy Ratio of anisotropy

119

120 Well Production P21P7P1P8 P9 P23P11 P13 P15 P17 P25 P27 P22 Model permeability Wells permeability

121 Obrigado


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