Amilcar Soares CERENA – Instituto Superior Técnico

Apresentação em tema: "Amilcar Soares CERENA – Instituto Superior Técnico"— Transcrição da apresentação:

1 Amilcar Soares CERENA – Instituto Superior Técnico asoares@ist.utl.pt
Geoestatística para Avaliação de Recursos Petrolíferos Amilcar Soares CERENA – Instituto Superior Técnico Aracaju - UFS – Cintec –28 de Maio de 2012

2 Centro de Recursos Naturais e Ambiente
C E R E N A Centro de Recursos Naturais e Ambiente

3 para a Caracterização de Recursos Naturais
Geoestatística para a Caracterização de Recursos Naturais

4 Níveis de conhecimento de um reservatório
geofísica geologia poços dados de produção

5 Necessidade de um modelo da realidade
Planeamento da prospecção Avaliação de reservas Planeamento e Gestão da Produção Gestão do recurso

6 Necessidade de um modelo da realidade
GEOESTATÍSTICA Modelos de Estimação Análise do padrão espacial Simulação de Imagens ...

7 “…um “bom modelo” é um modelo que começa por “não ser mau” e que depois dá bons resultados.”
António Brotas

8 modelos interpoladores deterministas computação gráfica, visualização científica, animação

9 Modelos de estruturas geológicas: Curvas de Bezier, Splines, interpoladores polinomiais,..

10 Representação da incerteza dos fenómenos físicos dos recursos naturais
Φ = .25 ? .05 .40 .25

11 Classificação de Reservas com base na Incerteza

12 Classificação de Reservas – SPE/WPC
3 tipos de Reservas baseados na Incerteza 1P 2P 3P P90 P50 P10 PROVEN PROBABLE POSSIBLE PROVADAS Proven = 1P or P90= 90% Probability of Occurrence PROVÁVEIS Proven + Probable = 2P or P50 = 50% Probability of Occurrence POSSÍVEIS Proven + Probable + Possible = 3P or P10 = 10% Probability of Occurrence Reservas

13 “I would rather be vaguely right than precisely wrong” (P. Keynes)
O formalismo probabilista: base dos modelos de caracterização de reservatórios petrolíferos Representação da incerteza/ignorância pelo conceito de probabilidade O conceito unitário de variável aleatórea “I would rather be vaguely right than precisely wrong” (P. Keynes)

14 Caracterização de Reservatórios Petrolíferos
“Downscaling” do sinal sísmico (inversão estocástica) Integração da sísmica nos modelos de propriedades internas do reservatório. Integração do modelos geológico ( canais fluviais, fracturas, litogrupos) nos modelos das propriedades internas Integração dos dados dinâmicos de produção – History Matching

15 Estimação geoestatística: interpolador linear

16 Estimação geoestatística: Krigagem
Os pesos de cada uma das amostras é determinado pela sua proximidade ao ponto a estimar

17 Análise da Continuidade Espacial de um fenómeno físico
hh (h) 1 Coeficientes de Correlação Correlogramas Covariâncias Variogramas (h) 1 Análise da Continuidade Espacial de um fenómeno físico hv

18 I. Estimação Geoestatística krigagem normal
inferência de um valor de uma propriedade ou atributo de um fenómeno espacial, em pontos ou áreas compreendidos entre amostras ou observações de valores dessa propriedade. ( ) [ ] å = N i x Z 1 * a l E{Z(xi)} = E{Z(xj)} = m C(Z(xi), Z(xj))=C(h) ?

19 II – Simulação estocástica de grandezas heterogéneas
Integração do conceito de incerteza nos modelos dos reservatórios petrolíferos

20 Estimação ou Simulação ?
O valor médio é suficiente para representar o conhecimento de uma grandeza – teor de um poluente, porosidade de um solo, temperatura, precipitação ? ...depende da variabilidade/variância da grandeza e da nossa ignorância

21 A “imagem” média é suficiente para representar o conhecimento de uma grandeza?
Estimação Simulação

22 Estimação Grandezas muito homogéneas (pequena variabilidade)
Topo e base de um estrato geológico Temperatura, precipitação total, ..

23 Grandezas muito heterogeneas (grande variabilidade)
Simulação Grandezas muito heterogeneas (grande variabilidade) Porosidade de um solo Biodiversidade Poluição

24 O Conceito de Incerteza
Modelo estimado dos valores mais prováveis Resposta do modelo dinâmico de fluidos: Uma só resposta: reserva de água, poluição média, etc.. Tipo de solo, Porosidade, Precipitação, Fornece unicamente a resposta dinâmica do modelo mais provável que não é necessariamente a resposta mais provável Não fornece nenhuma medida de incerteza, valores extremos, risco, etc..

25 O Conceito de Incerteza
...

26 O Conceito de Incerteza
Modelo simulado Respostas do modelo dinâmico Porosidade, Permeabilidade, Água/Óleo,... Quantificação da incerteza das reservas de água, análise de risco, ...

27 O Conceito de Incerteza
Incerteza resulta da complexidade do fenómeno natural e da nossa ignorância em relação ao mesmo Não pode ser evitada Pode ser minimizada Deve ser gerida

28 Objectivo dos modelos de simulação estocástica: integrar a incerteza num processo de decisão

29 Integração da Incerteza num Processo de Decisão
i – Quantificação da incerteza nas variáveis de entrada do modelo. ii – Transformação da incerteza dos inputs na incerteza da resposta

30 A Incerteza pode ser ilustrada /quantificada através do conceito de probabilidade
f(z) z Valor mais provável Probabilidade de ocorrência de um valor extremo Variância Máximo e Mínimo

31 Medidas de Incerteza Medidas de dispersão de uma variábel aleatória: variancia, distância inter-quartis, medidadas de localização: percentis, quartis, P10, P90 ,… Q1 Q3

32 Medidas de Incerteza: reservas
P90 P50 P10

33 Simulação grandezas heterogéneas
Um processo de simulação espacial tem normalmente duas etapas: 1- caracterização de uma lei de distribuição de probabilidades : Estimação geoestatística de parâmetros da lei, Adopção de situações idênticas, opiniões periciais , etc.. 2- Simulação de valores dessas leis de distribuição

34 1- Caracterização de uma lei de distribuição de probabilidades
caracterização de uma lei de distribuição de probabilidades : Estimação geoestatística de parâmetros da lei, Adopção de situações idênticas, opiniões periciais , geofísica, modelos geológicos, etc.. O modo como uma lei de distribuição de probabilidades é caracterizada- as porosidades locais, as reservas de óleo globais, etc..- depende da quantidade e qualidade de informação disponível

35 z f(z) z(x8) x8 Estimação geoestatística de médias e variâncias locais da permabilidade, porosidade, etc.. O Conceito de Espaço 246400 70150 7600 GRV P.D.F. Most Likely=70150 A lei de distribuição do GRV (Gross Rock Volume) pode ser inferida a partir dos primeiros estudos geológicos e geofísicos

36 Estimação Geoestatística
Inferência espacial de um parâmetro (média, variância,..) ou de uma lei de distribuição

37 I. Estimação Geoestatística krigagem normal
inferência de um valor de uma propriedade ou atributo de um fenómeno espacial, em pontos ou áreas compreendidos entre amostras ou observações de valores dessa propriedade. ( ) [ ] å = N i x Z 1 * a l E{Z(xi)} = E{Z(xj)} = m C(Z(xi), Z(xj))=C(h) ?

38 2. Estimação de fenómenos não estacionários: Krigagem simples
Z(x)= m(x)+ R(x) x Z(x) R(x) m(x) Z(x0)

39 Simulação com médias locais: Krigagem simples
Exemplo da simulação da porosidade com as impedâncias acústicas como médias locais

40 2. Estimação de fenómenos não estacionários: Krigagem com deriva externa

41 3. Estimação de variáveis categóricas
Estimação das probabilidades locais

42 4- Formalismo da Indicatriz: Estimação das proporções locais
5.1 3.2 4.1 Proporção de valores superiores a 5 ppm ? 10. 0.5 8.4 8.8 7.0 2.2 9.2

43 Estimação das proporções locais
( )/4=0.75 .70x0+.1x1+.1x1+.1x1=.3 1 ? ? 1. 1 1 1 1

44 5- Estimação de valores extremos: mapas de incerteza local
FZ(zk;x) = prob {Z(x) < zk} = E{Izk(x)}= mI (zk) prob {Z(x)  ]a,b] } = FZ(b;x) – FZ(a;x) = E{Ib(x)}-E{Ia(x)} O estimador é assim obtido: Tendo por base o variograma estacionário:

45 6- Modelos de Co-Estimação
Co-Krigagem Co-Krigagem Colocalizada

46 Z1(xj)- i=1, …, N1 Z2(xj)- i=1, …, N2
Cokrigagem Z1(xj)- i=1, …, N Z2(xj)- i=1, …, N2 ?

47 Cokrigagem Co-localizada
Só é tomada em conta a variável auxiliar localizada no ponto a estimar - z2(x0)

48 Com os modelos de estimação geoestatítica pode caracterizar-se em qualquer ponto do espaço o valor mais provável e a variância local e leis de distribuição locais

49 Abordagem #1- Caracterização/Simulação das Características Internas –porosidades e permeabilidades – sem condicionamento às litologias

50 Abordagem #2- 1- Caracterização das litologias nos poços; Simulação das litologias: - Caracterização das litologias pela geofísica 2- simulação das características internas dentro de cada uma das litologias.

51 2- Simulação de valores de uma lei de distribuição de probabilidades
Método de Monte Carlo Utilização de números aleatórios para geração de valores a partir de uma lei de distribuição de probabilidades

52 Geração de variáveis aleatórias
Método de Monte Carlo “the use of random numbers to solve deterministic systems or stochastic models” Amostragem de variáveis aleatórias a partir de distribuições de probabilidade Geração de variáveis aleatórias 1- Método da transformada inversa 2- Método de Aceitação-Rejeição

53 Método de Monte Carlo 1- Método de Transformada Inversa
Lei de distribuição de probabilidades: FZ(z) é uma função contínua e crescente: 1 > FZ( z ) > z1 < z2 e FZ( z1 ) < Fz( z2 ) 1 – Gerar U a partir de U( 0,1 ) 2- z1 = F-1z(U )

54 Simulação de Monte Carlo
2- Método de Aceitação-Rejeição Especificar uma função t(x) que majora a densidade f: t(x) >= f(x) for all x. r(x) = t(x) / c é uma função denisdade x1 é aceite x2 é aceite x1 é rejeitado x2 é rejeitado x1 x2 f(x) t(x) 1- Gerar x 2- Gerar u a partir de U( 0,1 ) 3- u <= f(x) / t(x) x é aceite Caso contrário x é rejeitado

55 Algoritmos para Gerar Variáveis Aleatórias Contínuas
Método Inverso: Gerar U  U( 0,1 ) Retornar X = F-1( U ) Uniforme 1- Gerar U  U( 0,1 ) 2 – Retornar X = a + ( b - a ) . U Exponencial 1- Gerar U  U( 0,1 ) 2 – Retornar X = - . lnU

56 Algoritmos para Gerar Variáveis Aleatórias Contínuas
Standard Normal Método 1: Box e Muller (1958) 1- Gerar U1 e U2 U( 0,1 ) 2 – Retornar X1 = sqr( -2 . lnU1 ) . cos2 . U2 X2 = sqr( -2 . lnU1 ) . sin2 . U2 X1 e x2  N( 0,1 ) Método 2: Método Polar (Marsaglia e Bray(1964)) 1- Gerar U1 e U2 U( 0,1 ) 2 – Considere V1 = 2 . U e V2 = 2 . U2 – 1 i=1,2 e W = V12 + V22 3- Se W > 1 voltar a 1. Caso contrário Y = sqr[ ( -2 . lnW ) / W ] X1 = V1 . Y e X2 = V2 . Y X1 e x2  N( 0,1 )

57 Algoritmos para Gerar Variáveis Aleatórias Contínuas
Lognormal 1 – Gerar Y  N ( ,2 ) 2 – Retornar X = eY Triangular Note-se X  triang( 0, 1, ( c – a ) / ( b – a ) ) então X‘ = a + ( b - a )X triang( a, b, c ) 1 – Gerar U  U ( 0,1 ) 2 – se U  c retorna X = sqr( c . U ); caso contrário retorna X = 1 - sqr[ ( 1 - c) ( 1 – U ) ]

58 Simulação Distribuições Empíricas
Criar uma “probabilidade cumulativa de Z: Ordenar por ordem decrescente os n valores de Zi Calcular pi=(i-0.5)/n associada ao Zi ordenado 1 – Gerar U U (0,1) 2 – Retornar o valor Z = Zi + ( Zi+1 – zi ) . ( pi – U ) / ( pi - pi+1 ) Ex: n=100 dados: 2.1, 0.3, 11.4, ….. Depois de ordenar, a cada valor Zi é associada a seguinte “probabilidade cumulativa” pi: min=Z1=0.3 p1=0.005; Z2=0.6  p2=0.015; Z3=0.65  p3=0.025;…; máx=Z100=11.4  p100=.995 Considere U=0.1 retorna Z=0.3+.5x( )=0.45

59 Simulação de variáveis categóricas aleatórias
Litoclasse #1 – 25 % Litoclasse #2 – 40 % Litoclasse #3 – 35 % Criar uma pseudo “probabilidade cumulativa” : F(x) 1 1 – Gerar U  U ( 0,1 ) .65 2- Se .25  U > 0 retorna X = L1 Se .65  U > .25 retorna X = L2 .25 Se 1  U > .65 retorna X= L3 L1 L2 L3 X

60 Simulação de um conjunto de variáveis independentes
Exemplo 1: optimização de uma operação de transporte e carregamento Transporte da carga Descarregamento do camião Carregamento do camião Retorno ao ponto incial

61 Simulação de Monte Carlo
Histogramas experimentais dos tempos de operação simulações Simulação de Monte Carlo Carregamento do camião t f(t) t1 ... Análise de Sensibilidade Transporte da carga t f(t) t2 ... Histograma simulado do tempo total do ciclo Descarregamento do camião t f(t) t3 ... f(t) Retorno ao ponto incial t f(t) t4 ... t ... Total 1 Total2 Total 3

62 Simulação de Monte Carlo
Exemplo 2 : Simulação de um campo de fracturas Histograma da orientação das fracturas Histograma do comprimento das fracturas Densidade das Fracturas Histograma do número de segmentos das fracturas Dimensão do Campo

63 Simulação de Monte Carlo
Sobreposição com uma 2ª simulação de outra família de fracturas 1ª simulação Simulação de 355 fracturas Simulação de 513 fracturas

64 Exemplo 3 : Cálculo de Reservas
Th Net Gross Swi FVF RF Produção cumulativa = - é ë ê ù û ú * ( ) f 1 A = área do reservatório (km2 / acres) A*Th = GRV = Vol. Bruto de Rocha Th = espessura total do reservatório (metros) Net & Gross = espessura total do reservatório líquida & bruta (metros) f = porosidade = fracção de vazios Swi = saturação de água inicial (fracção) FVF = Fcator de formação de volume de óleo e gás (adimensional) RF = factor de recuperação (fracção) STOIIP = Stock Tank Oil Initial In Place GIIP for Gas

65 Leis de Distribuições das variáveis de entrada:

66 Simulação de Variáveis Dependentes
Considere-se que 2 variáveis X e Y são altamente correlacionadas. Se um valor alto de x for gerado por uma simulação de MC de X, então um valor alto de y é esperado na simulação de Y. Problema: Isto não pode ser garantido a partir de simulações independentes de f(X) e f(Y) Simulação de variáveis dependentes implica o conhecimento da distribuição bi-variada de f(X,Y)

67 Simulação de Monte Carlo Simulação de 2 variáveis aleatórias dependentes
Aplicação da lei de Bayes em passos sucessivos: F( Z1, Z2 ) = F( Z2 | Z1 ) . F(Z1) Simulação de 2 valores z1 e z2 a partir da função de distribuição conjunta F( Z1,Z2 ): 1st Gerar o valor z1 a partir da pdf F(Z1). 2nd Gerar o valor z2 a partir da função de distribuição condicional F( Z2 | Z1=z1)

68 Simulação de Monte Carlo
Simulação de de duas variáveis a partir da distribuição bi-variada: permeabilidade e porosidade Fz1 K F(|K=z1)  z2 u u z1 z1 K 

69 Simulação de Monte Carlo
Simulação de campos de fracturas com variáveis dependentes Orientation lenght Bi-histograma obtido a partir de um outcrop

70 Simulação Sequencial F(Z1,Z2,….,ZN)=F(Z1).F(Z2|Z1).F(Z3|Z1,Z2,Z3)… F(ZN|Z1,…ZN-1) Gerar (simular) um conjunto de valores z1,…,zN da lei de distribuição F(Z1,Z2,…,ZN), pode ser feito em passos sucessivos: 1º- gera-se um valor z1 da lei marginal F(Z1) 2º -simula-se um valor z2 da lei de distribuição condicional F(Z2|Z1=z1) Simula-se o valor zN de F (ZN |Z1=z1,Z2=z2,…,ZN-1=zN-1)

71 Simulação Sequencial

72 Simulação Sequencial Gaussiana (SGS)

73 Ex: Sequential Gaussian Simulation (SGS)

74 1- honram os dados experimentais

75 2- reproduzem os estatísticos

76 3- reproduzem os variogramas

77 Modelo Geoestatístico de um Reservatório do Médio Oriente
Simulação de litofácies: krigagem da indicatriz de variáveis categóricas Modelo Geoestatístico de um Reservatório do Médio Oriente

78 Reservatório fluvial de canais de areia (Oman)
Simulação de canais de areia: (krigagem da indicatriz com anisotropias locais ) Reservatório fluvial de canais de areia (Oman) Algoritmo pixel-based para caracterizar corpos de areia

79 Simulação de permeabilidade com deriva local
Reservatório Angolano. Integração de redes neuronais probabilistas no modelo estocástico para caracterizar o campo de permeabilidades

80 Integração de campos fracturados na simulação de permeabilidade
Reservatório Angolano Incorporação do campo de fracturas para caracterização da permeabilidade secundária

81 Obrigado

82 Integration of Seismic Data in Stochastic Modelling of Internal Properties
Forward Modeling Model of Porosity, Rocktypes,.. Data Correlation between seismic data and well data (porosity, rocktypes, ..) Spatial continuity of both variables Simulation or co-simulation

83 Forward Modeling: Different approaches to generate images of porosity conditioned to well and seismic data

84 Co-simulation based on a sequential approach
i) Co-Simulation of “main” variable (porosity) conditioned to the secondary variable (seismic). R = 0.617 3500 4500 5500 6500 7500 8500 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 Porosity Acoustic Impedance Upper layers (42-49) Co-simulation based on a sequential approach (colocated co-kriging to estimate means and variances of local distributions)

85 Block Direct Sequential Simulation
ii) Block Direct Simulation of well porosity and seismic (Liu and Journel, 2008 ). z(x) are the values Z (porosity) in point support zv(x) are the values Z in block support Block Direct Sequential Simulation

86 Block Direct Simulation
In the node x0 of a random path of a regular grid, the following means and variances are calculated by block co-kriging: Simulation of a “point” value zs(x0) by re-sampling the global cdf global of Z(x) (Direct Sequential Simulation Approach). Note that the kriging system requires the knowledge of spatial convariaces point-point , point-block and block-block : C(.,.) , C(.,v) e C(v,v)

87 * Inverse Modeling is based on the physical relation: =
Convolving the reflectivity coefficients c(x) with a given wavelet w, one obtain the synthetic seismic amplitudes a*(x)= c(x)*w * = Typical Inverse Problem: one whish to know the acoustic impedances which give rise to the known real seismic.

88 Geostatistical Seismic Inversion
The aim of geostatistical inversion of seismic is to produce numerical models that share two properties: The numerical model honors a physical relationship (convolution model) with the actual data . The numerical model reflects the assumed geological spatial continuity

89 Optimization algorithm
Geostatistical Seismic (Trace-by-Trace) Inversion (Bertolli et al, 1993): it is an iterative process based on the sequential simulation of trace values of acoustic impedances. Optimization algorithm * = N Sinthetic trace realizations 1- Choose randomly a trace to be generated. Simulation of N realizations of AI of that trace 3-Compare with the real seismic, choose and retain the best realization 2- Convolution with a known wavelet 4- return until all traces are simulated

90 GSI – Global Stochastic Inversion
Geostatistical Inversion With Global Perturbation Method Part I - Theory

91 GSI – Global Stochastic Inversion
The approach of Global Stochastic Inversion is based on two key ideas: the use of the sequential direct co-simulation as the method of “transforming” 3D images, in a iterative process and to follow the sequential procedure of the genetic algorithms optimization to converge the transformed images towards an objective function

92 1 – Simulation of Acoustic Impedance
2- Convolution of transformed Simulated Acoustic Impedance * Time slices of the simulated Acoustic Impedance.

93 3 – Comparing the synthetic amplitudes a
3 – Comparing the synthetic amplitudes a*(x) with the real seismic a(x) obtaining local correlation coefficients cc(x) 4 – From the N realizations, retain the traces with best matches and “compose” a best image of AI 3D views of acoustic impedances, synthetic amplitudes and real amplitudes. 5 – Return to step one to obtain a new generation of AI images until a given objective function is reached.

94 In a last step, porosity images are derived from the seismic impedances and
the uncertainty derived from the seismic quality is assessed based on the quality of match between synthetic seismogram obtained by seismic inversion and real seismic.

95 Obrigado

96 Centro de Recursos Naturais e Ambiente
C E R E N A Centro de Recursos Naturais e Ambiente

97 ?

98 Incerteza das variáveis de entrada: BOOTSTRAP
Dados originais N=9 var Re-amostra 1 N=8 Re-amostra 2 N=8 Re-amostra 3 N=8 …. …. var1 var2 var3 Var=1/N(var1+var2+var3+….) Histograma de var1, var2,…. Dá origem à incerteza de Var “pulling yourself up by your bootstraps”

99 Incerteza das variáveis de entrada: BOOTSTRAP
Freq. (%) Net-to-Gross (%) 10 70 42 N=30 Distribuições da média do Bootstrap : Freq. (%) Mean Net-to-Gross (%) 10 70 42 1- Gerar por MC, 30 valores da distribuição do Net-to Gross 2- Calcular a média dos valores de Net-to-Gross 3 – Voltar ao paaso 1 muitas vezes para aceder à distribuição e inceretza da média

100 Incerteza das variáveis de entrada: BOOTSTRAP
Freq. (%) Net-to-Gross (%) 10 70 42 Acesso à inceretza da distribuição do Bootstrap Freq. (%) Net-to-Gross (%) 10 70 42 Freq. (%) Net-to-Gross (%) 10 70 42 Freq. (%) Net-to-Gross (%) 10 70 42

101 Incerteza das variáveis de entrada: BOOTSTRAP
=.62 Acesso à incerteza do coeficiente de correlação do Bootstrap Var 2 Freq. (%) .37 .62 .78 Coeficiente de Correlação 

102 A simulação por bootstrap é mais conservativa do que a simulação de MC das distribuições orignais dos dados Distribuições da simulações de MC f(%) f(%) f(%) f(%) = Var1 Var2 Var3 r Simulação de MC da incerteza do Bootstrap f(%) = Unc 1 Unc 2 Unc 3 r Nota: o Bootstrap assume independência entre variáveis. Só é aplicável nas etapas iniciais da avaliação do reservatório

103 Forward Modelling and Inverse Modelling
Integration of seismic information in static models of internal properties Forward Modelling and Inverse Modelling

104 Integration of Seismic Data in Stochastic Modelling of Internal Properties
Forward Modeling Model of Porosity, Rocktypes,.. Data Correlation between seismic data and well data (porosity, rocktypes, ..) Spatial continuity of both variables Simulation or co-simulation

105 Forward Modeling: Different approaches to generate images of porosity conditioned to well and seismic data

106 Co-simulation based on a sequential approach
i) Co-Simulation of “main” variable (porosity) conditioned to the secondary variable (seismic). R = 0.617 3500 4500 5500 6500 7500 8500 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 Porosity Acoustic Impedance Upper layers (42-49) Co-simulation based on a sequential approach (colocated co-kriging to estimate means and variances of local distributions)

107 Block Direct Sequential Simulation
ii) Block Direct Simulation of well porosity and seismic (Liu e Journel, 2008 ). z(x) are the values Z (porosity) in point support zv(x) are the values Z in block support Block Direct Sequential Simulation

108 Block Direct Simulation
In the node x0 of a random path of a regular grid, the following means and variances are calculated by block co-kriging: Simulation of a “point” value zs(x0) by re-sampling the global cdf global of Z(x) (Direct Sequential Simulation Approach). Note that the kriging system requires the knowledge of spatial convariaces point-point , point-block and block-block : C(.,.) , C(.,v) e C(v,v)

109 * Inverse Modeling is based on the physical relation: =
Convolving the reflectivity coefficients c(x) with a given wavelet w, one obtain the synthetic seismic amplitudes a*(x)= c(x)*w * = Typical Inverse Problem: one whish to know the acoustic impedances which give rise to the known real seismic.

110 Geostatistical Seismic Inversion
The aim of geostatistical inversion of seismic is to produce numerical models that share two properties: The numerical model honors a physical relationship (convolution model) with the actual data . The numerical model reflects the assumed geological spatial continuity

111 Optimization algorithm
Geostatistical Seismic (Trace-by-Trace) Inversion (Bertolli et al, 1993): it is an iterative process based on the sequential simulation of trace values of acoustic impedances. Optimization algorithm * = N Sinthetic trace realizations 1- Choose randomly a trace to be generated. Simulation of N realizations of AI of that trace 3-Compare with the real seismic, choose and retain the best realization 2- Convolution with a known wavelet 4- return until all traces are simulated

112 Geostatistical History Matching
Integration of Dynamic Data (production data) into Static Models

113 Integration of Different Data
geophysics geology Well data Production Data

114

115 Real models Real porosity Real permeability Main amplitude: 17blocks

116 DSS-LA DSS-LA (Horta, 2011) Anisotropy = f(θ; r)
θ : Direction of maximun continuity (azimuth) θDSSxo ≠ θDSSxi R =aθ/a Φ: Anisotropy ratio RatioDSSxo ≠ RatioDSSxi θ hy hx hθ hФ aθ aФ

117 Anisotropy parameterization
Objective Optimize the main parameters of channels morphology- Local Ratios of Anisotropy and Directions of Anisotropy of variogram models Thinner channels Wider channels

118 Local anisotropy trend model
Smooth trends of local anisotropy Reflects the direction and ratio of anisotropy of the study area x1 x2 y1 ang1 ang2 ang3 ang4 sc1 sc2 sc3 Tunning anisotropy parameters (θ, r ) Direction of anisotropy Ratio of anisotropy

119

120 Well Production P21 P7 P1 P8 P9 P23 P11 P13 P15 P17 P25 P27 P22
Model permeability Wells permeability

121 Obrigado