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Anjolina Grisi de Oliveira obs: muitos slides foram cedidos por Adolfo Almeida Duran (UFBA) 2007.

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1 Anjolina Grisi de Oliveira obs: muitos slides foram cedidos por Adolfo Almeida Duran (UFBA) 2007

2 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE2 Caminho em um grafo não orientado –Um caminho de tamanho n de u para v, onde n é um inteiro positivo, em um grafo não orientado é uma seqüência de arestas e1,...,en do grafo de forma que f(e1) = {x 0,x 1 }, f(e2) = {x 1,x 2 }...f(en)={x n-1,x n }, onde x 0 =u e x n =v. G1 Conectividade Se o grafo é simples, denotamos o caminho por sua seqüência de vértices: x 0, x 1,...x n

3 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE3 Caminho em um multigrafo direcionado –Um caminho de tamanho n de u para v, onde n é um inteiro positivo, em um multigrafo direcionado é uma seqüência de arestas e1,...,en do grafo de forma que f(e1) =(x 0,x 1 ), f(e2) = (x 1,x 2 )...f(en)=(x n-1,x n ), onde x 0 =u e x n =v. Quando não existem arestas múltiplas, o caminho pode ser denotado por uma seqüência de vértices: (x 2, x 5, x 4, x 1 ) Conectividade

4 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE4 Circuito ou ciclo –Um caminho é um circuito se ele começa e termina no mesmo vértice. G1 Conectividade Circuito: x 1,x 2,x 5,x 4,x 1

5 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE5 Exemplos de ciclos Ciclo de tamanho 3 1  2  4  1 Ciclo de tamanho 3 1  2  3  1

6 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE6 Ciclo (ou circuito) A seqüência de vértices (x 1, x 2, x 5, x 4, x 1 ) é um exemplo de ciclo

7 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE7 Caminho (ou circuito) simples Um caminho ou circuito é chamado de simples se ele não contem a mesma aresta mais de uma vez.

8 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE8 Definição para grafos não orientados –Um grafo não orientado é chamado de conexo (ou conectado) se existe um caminho entre cada par de vértices distintos do grafo. G1 Conectividade Em uma rede de computadores, quaisquer dois computadores podem se comunicar se e somente se o grafo da rede é conexo.

9 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE9 Grafo desconexo –O grafo mostrado a seguir não é conexo pois, por exemplo, não existe um caminho entre x 3 e x 5.

10 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE10 Componente conexa –Um grafo G(V,A) desconexo é formado por pelo menos dois subgrafos conexos, disjuntos em relação aos vértices –Cada um destes subgrafos conexos é dito ser uma componente conexa de G.

11 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE11 Vértice de corte (ou pontos de articulação) Um vértice é dito ser um vértice de corte se sua remoção (juntamente com as arestas a ele conectadas) produz um grafo com mais componentes conexos. (se o grafo original é conexo, ele se torna desconexo). X 2 é um vértice de corte

12 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE12 Ponte Uma aresta é dita ser uma ponte se sua remoção produz um grafo com mais componentes conexos. (X 1,X 4 ) é uma ponte

13 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE13 Grafo fortemente conexo –No caso de grafos orientados (digrafos), um grafo é dito ser fortemente conexo se existe um caminho de a para b e de b para a, para cada par a,b de vértices do grafo. –ou seja, se cada par de vértices participa de um circuito. –Isto significa que cada vértice pode ser alcançável partindo-se de qualquer outro vértice do grafo.

14 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE14 Grafo fracamente conexo Um grafo direcionado G(V,A) é chamado de fracamente conexo se existe um caminho entre cada par de vértices no grafo não orientado subjacente. Cada um destes subgrafos é fortemente conexo. No entanto, o grafo todo é apenas fracamente conexo.

15 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE15 Caminhos e Isomorfismo –A existência de circuitos simples com um tamanho n é uma invariante

16 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE16 Caminhos e Isomorfismo - Além disso, caminhos podem ser usados para construir mapeamentos, que podem ser isomorfismos. u2 u5 u4 u1 u3 v2 v3v4 v5 v1 Caminho1: u1, u4, u3,u2, u5 Caminho2: v3, v2, v1,v5, v4

17 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE17 Contando caminhos entre vértices Teorema: Seja G um grafo cuja matriz de adjacência A usa a seguinte ordem nos vértices: v1,v2,...,vn. A quantidade de caminhos diferentes de tamanho r de vi para vj, onde r é um inteiro positivo é igual a ai,j entrada da matriz A r d c a b a,b,a,b,d a,b,a,c,d a,b,d,b,d a,b,d,c,d a,c,a,b,d a,c,a,c,d a,c,d,b,d a,c,d,c,d

18 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE18 Um circuito euleriano em um grafo G é um circuito simples que contem cada aresta de G. Circuito Euleriano

19 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE19 Teorema (Euler 1736) Um multigrafo conectado G possui um circuito euleriano se e somente se o grau de cada vértice de G é par. Prova: Ida: Seja G um grafo euleriano. Por cada ocorrência de vértice do circuito euleriano, existe uma aresta que chega nesse vértice e outra que sai desse vértice. Como toda aresta faz parte do circuito, isto é, nenhuma aresta fica fora do ciclo, necessariamente o número de arestas por cada vértice é par.

20 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE20 Volta: Suponhamos que todos os vértices possuem grau par. Seja v i um vértice do grafo. Tentemos, a partir de v i, construir um caminho que não passa duas vezes pela mesma aresta, e até que não seja possível continuar. Como todos os vértices possuem um grau par, sempre será possível entrar e sair de um vértice. A única exceção é o vértice v i onde o caminho vai terminar. Se esse caminho, que chamaremos C 1, contém todas as arestas de G, temos um ciclo euleriano. Senão, retiramos de G todas as arestas que fazem parte de C 1. No grafo resultante G', todos os vértices também possuem grau par e necessariamente um deles faz parte de C 1, senão o grafo não seria conexo.

21 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE21 Volta (cont.): Recomeçamos o mesmo processo com o grafo G', partindo de um vértice comum com C 1, obtendo assim um novo circuito C 2. A figura abaixo mostra que dois circuitos que têm um vértice em comum podem formar um circuito único: chegando no vértice comum em um dos dois circuitos, continuamos o percurso no outro circuito. Continuando esse processo, necessariamente obteremos um circuito único que contém todas as arestas de G.

22 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE22 As pontes de Königsberg É possível sair de uma das ilhas, passar uma única vez por cada uma das pontes e retornar ao ponto de origem ?

23 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE23 As pontes de Königsberg Como nem todos os vértices têm grau par, o grafo não é euleriano. Logo, é impossível atravessar todas as pontes uma só vez e voltar ao lugar de partida

24 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE24 Aplicação em jogos Como fazer um desenho que comece a partir de um ponto, retorne a esse ponto e o lápis não seja levantado do papel? Podemos construir um circuito Euleriano Existem vários algoritmos para construir um circuito Euleriano Vamos estudar um baseado na prova do teorema de Euler

25 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE25 Algoritmo de Hierholzer Algoritmo para a construção de um ciclo euleriano sugerido a partir da prova do teorema de Euler Comece em qualquer vértice u e percorra aleatoriamente as arestas ainda não visitadas a cada vértice visitado até fechar um ciclo Se sobrarem arestas não visitadas, recomece a partir de um vértice do ciclo já formado Se não existem mais arestas não visitadas, construa o ciclo euleriano a partir dos ciclos formados, unindo-os a partir de um vértice comum

26 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE26 Algoritmo de Hierholzer Algoritmo para a construção de um ciclo euleriano sugerido a partir da prova do teorema de Euler Ciclo 1: 1,2,5,9,10,11,6,3,1Ciclo 2: 2,6,5,10,6,7,12,8,7,4,3,2 Ciclo Euleriano: 1,2,6,5,10,6,7,12,8,7,4,3,2,5,9,10,11,6,3,1

27 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE27 Algoritmo de Hierholzer Ciclo 1: 1,2,5,9,10,11,6,3,1Ciclo 2: 2,6,5,10,6,7,12,8,7,4,3,2 Ciclo Euleriano: 1,2,6,5,10,6,7,12,8,7,4,3,2,5,9,10,11,6,3,

28 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE28 Teorema Um multigrafo conectado G possui um caminho euleriano, mas que não é circuito, se e somente se possui exatamente dois vértices com grau ímpar i f i f

29 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE29 Um caminho (ou circuito) em um grafo G(V,E) é dito ser hamiltoniano se ele passa exatamente uma vez em cada um dos vértices de G Caminhos, circuitos Hamiltonianos Apenas caminho hamiltoniano Caminho e circuito hamiltoniano

30 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE30 Mais exemplos Circuito e caminho caminhonão hamiltoniano

31 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE31 Grafo hamiltoniano Não existe uma caracterização para identificar grafos hamiltonianos como existe para os eulerianos A busca de tal caracterização é um dos maiores problemas ainda não solucionados da teoria dos grafos

32 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE32 Grafo hamiltoniano Muito pouco é conhecido dos grafos hamiltonianos A maioria dos teoremas existentes são da forma: “Se G possui arestas suficientes, então G é hamiltoniano” Eles dão condições suficientes apenas Se P então Q: P → Q P é condição suficiente para Q (basta que P ocorra para Q ocorrer) Q é condição necessária para P (se Q não ocorrer então P também não ocorrerá)

33 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE33 Circuito hamiltoniano em grafos completos Todo grafo completo, que contém mais de 2 vértices contem um circuito hamiltoniano Seja v 1,v 2,...,v n os vértices de G. Como existe uma aresta entre qualquer par de vértices, é possivel, a partir de v 1 percorrer essa sequência até v n e voltar para v 1

34 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE34 Teorema (Dirac 1952) Uma condição suficiente, mas não necessária, para que um grafo conexo simples G com n (>2) vértices tenha um circuito hamiltoniano é que o grau de todo vértice de G seja  n/2 O grafo abaixo, possui um circuito hamiltoniano mas não respeita a condição do teorema de Dirac

35 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE35 Teorema (Ore 1960) Uma condição suficiente, mas não necessária, para que um grafo simples G com n (>2) vértices tenha um circuito hamiltoniano é que a soma dos graus de cada par de vértices não adjacentes seja no mínimo n. Permite identificar mais grafos com circuitos hamiltonianos que o anterior, mas demora muito para efetuar os cálculos. Uma busca por tentativa e erro pode ser mais eficiente em alguns casos

36 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE36 O adjetivo "hamiltoniano" deve-se ao matemático irlandês Sir William Rowan Hamilton ( ). Diz-se que ele inventou um jogo que envolve um dodecaedro (sólido regular com 20 vértices, 30 arestas e 12 faces). Hamilton rotulou cada vértice do dodecaedro com o nome de uma cidade conhecida. O objetivo do jogo era que o jogador viajasse "ao redor do mundo" ao determinar uma viagem circular que incluísse todas as cidades exatamente uma vez, com a restrição de que só fosse possível viajar de uma cidade a outra se existisse uma aresta entre os vértices correspondentes.

37 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE37 A figura abaixo mostra um grafo que representa este problema, ou seja os vértices e arestas de um dodecaedro.

38 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE38 Ciclo Hamiltoniano origem

39 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE39 O problema do Caminho mais curto Um motorista deseja encontrar o caminho, mais curto possível, entre duas cidades do Brasil Caso ele receba um mapa das estradas de rodagem do Brasil, no qual a distância entre cada par adjacente de cidades está exposta, como poderíamos determinar uma rota mais curta entre as cidades desejadas? Uma maneira possível é enumerar todas as rotas possíveis que levam de uma cidade à outra, e então selecionar a menor.

40 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE40 O problema do menor caminho consiste em determinar um menor caminho entre um vértice de origem s  V e todos os vértices v de V. 

41 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE u 3 s v xy Grafos com pesos: - Cada aresta possui um número associado (peso) - O tamanho do caminho é a soma dos pesos das arestas do caminho

42 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE42 O algoritmo de Dijkstra O algoritmo de Dijkstra aqui descrito identifica o menor caminho entre dois vértices de um grafo não orientado. Se desejamos calcular o menor caminho de a para z em um grafo conexo simples com pesos, primeiro encontramos um menor caminho entre a e um primeiro vértice, depois entre a e um segundo vértice, esse procedimento é repetido até que seja encontrado um menor caminho entre a e z.

43 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE43 O algoritmo de Dijkstra Um conjunto S de vértices é construído inserindo-se um vértice a cada iteração. A cada iteração também é adotado um procedimento para rotular vértices: um vértice w é rotulado com o tamanho do menor caminho de a até ele, e que contem somente vértices do conjunto S. O vértice a ser inserido em S é aquele com o menor rótulo.

44 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE44 O algoritmo de Dijkstra O algoritmo começa rotulando a com 0 e os demais vértices com . Usamos a notação L 0 (a)=0 e L 0 (v)= . (na iteração 0). A notação S k é usada para denotar o conjunto S após a iteração k. Começamos com S 0 = . O conjunto S k é formado a partir de S k-1 adicionado-se um vértice u que não está em S k-1 e possui o menor rótulo. Após a inclusão de u em S k, atualizamos os rótulos de todos os vértices que não estão nesse conjunto da seguinte maneira: L k (v) é o tamanho do menor caminho de a até v que contem apenas os vértices de S k.

45 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE45 O algoritmo de Dijkstra Seja v um vértice que não está em S k. Para atualizar o rótulo de v, observe que L k (v) é o tamanho do menor caminho de a para v e que contém apenas os vértices que estão em S k.. Esse caminho ou é o menor caminho que contem apenas os elementos de S k-1 (sem a inclusão de u) ou é o menor caminho de a até u no passo k-1 com adição da aresta (u,v). L k (v) = min(L k-1 (v),L k-1 (u)+ peso(u,v))

46 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE46 O algoritmo de Dijkstra procedimento Dijkstra Para i := 1 até n: L(v)= . L(a) = 0 S=  Enquanto z  S u := Elemento que  S e L(u) é mínimo S := S  {u} Para cada vértice v  S : Se L(u) + peso(u,v) < L(v) então L(v) = L(u) + peso(u,v) (observe que L(v) = min(L(v),L(u)+ peso[u,v]) Retornar L(z)

47 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE47 Exemplo: Qual o tamanho do menor caminho de A até D? 0: L(A)=0 e todos os outro é  ; S=  ; Seja u o nó de menor rótulo. 1: S= S  {u}. Logo, S={A} A F BC D E     

48 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE48 2: Para cada vértice v  S : (S aqui apenas possui A) Se L(u) + peso(u,v) < L(v) então L(v) = L(u) + peso(u,v) (lembrando que u acabou de ser incluído em S) Logo: L(B)=4; L(F)=2; A F BC D E   2  (A)

49 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE49 Próximo passo: colocar em S o nó de menor rótulo S={A}  {F} Em seguida, atualizar os rótulos a partir de F L(B)=3; L(C)=10; L(E)=12; A F BC D E   2  (A,F) (A) (A,F)

50 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE50 Próximo passo: colocar em S o nó de menor rótulo S={A,F}  {B} Em seguida, atualizar os rótulos a partir de B: L(C)=8; A F BC D E  (A) 8 (A,F) (A,F,B)

51 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE51 Próximo passo: colocar em S o nó de menor rótulo S={A,F,B}  {C} Em seguida, atualizar os rótulos a partir de C: L(D)=14; L(E)=10; A F BC D E  (A,F) (A,F,B) (A,F,B,C)

52 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE52 Próximo passo: colocar em S o nó de menor rótulo S={A,F,B,C}  {E} Em seguida, atualizar os rótulos a partir de E: L(D)=13; A F BC D E (A,F)(A,F,B) (A,F,B,C) (A) (A,F,B,C) 13

53 Matemática Discreta/Grafos CIn-UFPE53 Exemplo: Menor caminho de A até D 0: L(A)=0 e todos os outro é  ; S=  ; 1: S={A}; L(B)=4; L(F)=2; 2: S={A,F}; L(B)=3; L(C)=10; L(E)=12; 3: S={A,F,B}; L(C)=8; 4: S={A,F,B,C}; L(D)=14; L(E)=10; 5: S={A,F,B,C,E}; L(D)=13; 6: S={A,F,B,C,E,D} A F BC D E (A,F,B,C.E) 13


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