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Everton Guerra Marques. Roteiro Introdução à lógica Modal Saul Kripke Lógica modal K Lógica de Descrição x Lógica modal K Conclusão Referências.

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Apresentação em tema: "Everton Guerra Marques. Roteiro Introdução à lógica Modal Saul Kripke Lógica modal K Lógica de Descrição x Lógica modal K Conclusão Referências."— Transcrição da apresentação:

1 Everton Guerra Marques

2 Roteiro Introdução à lógica Modal Saul Kripke Lógica modal K Lógica de Descrição x Lógica modal K Conclusão Referências

3 Introdução à lógica modal Principais contribuidores da lógica modal Clarence Irving Lewis - em 1912 deu origem a lógica moderna, composta pelas três tradições: semântica, algébrica e sintática. Saul Aaron Kripke - amplamente conhecido como um dos mais importantes filósofos vivos. Publicou Semantical Considerations on Modal Logic em 1963, onde propôs uma resposta a uma dificuldade da teoria clássica da quantificação. Amir Pnueli - primeiro utilizador da lógica temporal. Vaughan Ronald Pratt - desenvolvedor do sistema de lógica dinâmica Arthur Norman Prior - fundou a lógica temporal e contribuiu com a lógica intencional.

4 Introdução à lógica modal A Lógica Modal faz parte da pesquisa atual em diversas áreas da ciência da computação. Encontram-se algumas aplicações na área de: Inteligência artificial Representação do conhecimento e dedução automática Especificação formal de sistemas Engenharia de software e lingüística computacional.

5 Introdução à lógica modal A Lógica Modal pode ser encarada como uma extensão da Lógica Proposicional. Grande parte das lógicas modais teve origem em uma lógica "fraca", conhecida como Lógica K. A lógica K leva este nome em homenagem a Saul Kripke por sua contribuição. A Lógica Modal é bastante utilizada na análise semântica, visto que as representações dos conectivos modais permitem expressar advérbios, dentre os quais a Lógica Clássica não pode representar.

6 Introdução à lógica modal Uma compreensão da Lógica Modal é particularmente valiosa na análise formal de argumento filosófico onde expressões da família modal são comuns e confusas. Trata-se da lógica do "é necessário que" (representado por “  ") e do é "possível que" (representado por “◊”). Portanto, não considera apenas a veracidade e a falsidade das proposições como se apresentam, mas como seria se fossem diferentes.

7 Introdução à lógica modal Como um operador pode ser derivado do outro, pode- se manter uma representação de apenas um deles e fazer uma transformação na expressão trabalhada sempre que se encontra o outro. Há algumas variações de lógica modal, dependendo de quais axiomas são incluídos no conjunto de axiomas básicos (da lógica proposicional).

8 Introdução à lógica modal Há outros operadores lógicos que podem ser derivados dos já definidos (os quatro da lógica proposicional, mas os dois acima citados). Por exemplo, o 'ou-exclusivo'. Apesar de não ter uma notação padrão, é comum representá-lo por f1 f2. A regra do ou-exclusivo é se duas fórmulas f1 e f2 são ambas verdadeiras ou ambas falsas, f1 f2 é falsa. Caso contrário é verdadeiro.

9 Introdução à lógica modal Esta lógica permite analisar não só o que dizem as coisas no mundo, mas o que diriam em um mundo alternativo; não factual, mas possível. Isto é, se interessa pelas verdades e falsidades que são geradas por asserções neste mundo real e em outros possíveis mundos, visto que se chama de mundo possível uma situação contra-fatual que não aconteceu, mas poderia ter acontecido. Neste sentido, uma proposição será necessária em um mundo se ela é verdadeira em todos os possíveis mundos relacionados com este, e possível em um mundo se essa é verdadeira em pelo menos um daqueles mundos relacionados a este.

10 Introdução à lógica modal Lógicas modais tratam de modalidades. Além dos conectivos são inseridos dois novos conectivos unários (modalidades):

11 Introdução à lógica modal Linguagem das lógicas modais: Alfabeto: Símbolos lógicos, e símbolos proposicionais (P). Linguagem: é menor conjunto que: então então com então

12 Introdução à lógica modal Aplicações Solução de problemas de sentenças proposicionais Análise formal de argumento filosófico Estudo da inteligência artificial

13 Saul Kripke Saul Aaron Kripke: nascido em 1940 em Omaha, Nebraska. É amplamente reconhecido como um dos filósofos vivos mais importantes. Sua obra é muito influente em diversas áreas da filosofia, desde a lógica até a filosofia da mente, passando pela filosofia da linguagem. Ele é professor emérito em Princeton e professor de filosofia na City University of New York (CUNY). Boa parte da sua obra é inédita, e circula na forma de gravações de áudio e cópias de manuscritos. Em 2001 ele recebeu o Prêmio Schock em Lógica e Filosofia.

14 Saul Kripke Kripke é conhecido principalmente por quatro contribuições para a filosofia: uma semântica para a lógica modal e outras lógicas relacionadas, publicadas quando ele tinha menos de vinte anos de idade; suas conferências Naming and necessity, proferidas em Princeton em 1970 (publicadas em 1972 e 1980); uma interpretação controversa de Wittgenstein; sua teoria da verdade;

15 Saul Kripke Dois dos primeiros trabalhos de Kripke (A Completeness Theorem in Modal Logic e Considerations on Modal Logic) influenciaram amplamente a lógica modal. Em Semantical Considerations on Modal Logic, publicado em 1963, Kripke responde a uma dificuldade da teoria clássica da quantificação. Toda a motivação para a abordagem relativa a mundos era refletir a idéia que objetos existentes em um mundo podem não existir em outro.

16 Saul Kripke Todavia, se as regras de quantificação padrão são utilizadas, cada termo deve referir a algo que existe em todos os mundos possíveis. Isso parece incompatível com nossa prática comum de usar termos para nos referirmos a coisas que existem apenas contigentemente, não necessariamente. A resposta de Kripke a essa dificuldade foi eliminar termos. Ele deu um exemplo de uma interpretação relativa a um mundo que preserva as regras clássicas. Todavia, o custo para a solução do problema foi caro. Primeiro, sua linguagem foi empobrecida artificialmente. Segundo, as regras para a lógica modal proposicional devem ser enfraquecidas.

17 Lógica Modal K Grande parte das lógicas modais teve origem em uma lógica "fraca", conhecida como Lógica K, que leva este nome em homenagem a Saul Kripke por sua contribuição. Um modelo de Kripke é uma tripla m = tal que: Wm é um conjunto não vazio dos mundos possíveis de m; Rm C Wm x Wm representa a relação de acessibilidade de m; hm : ν → ρ(Wm) é uma função que estabelece um valor de verdade arbitrário para cada fórmula atômica da linguagem e um valor para cada fórmula molecular em vista dos valores das fórmulas atômicas.

18 Lógica Modal K Axiomatização da Lógica Modal Normal Mínima (K) Primeiramente definiremos a sintática da lógica modal por sua axiomática. Existem vários tipos de lógica modal, começaremos descrevendo a axiomática da menor lógica normal, também chamada de lógica K: Axiomas A0) Todas as tautologias clássicas K)

19 Lógica Modal K Regras de Inferência Modus Ponens: Necessitação: Obs.: Para podermos derivar temos que ter provado A, não é sempre verdade que

20 Lógica modal K Estrutura de Krypke Uma estrutura (frame)de Krypke é um par (W,R) onde: W é um conjunto não vazio. Representa o conjunto de mundos possíveis é uma relação binária. Relação de acessibilidade. Modelo de Krypke μ = (W,R,v) é um modelo de Krypke se e somente se: (W,R) é uma estrutura de Krypke. Ou seja v leva símbolos proposicionais aos mundos nos quais eles são verdadeiros.

21 Lógica modal K No exemplo da figura 1 o conjunto de estados é W = {s1;s2; s3; s4; s5} e a relação de acessibilidade é R = {(s1; s2); (s1; s3); (s3; s3); (s3; s4); (s2; s4); (s2; s5);(s4; s1); (s4; s5); (s5; s5)g. O frame é F = (W;R).

22 Lógica Modal K No exemplo da figura 2 o frame é o mesmo da figura 1 e a função V é: V (p) = {s3; s4; s5} V (q) = {s1; s5} V (r) = {s1}

23 Lógica modal K Uma semântica de Kripke, ou sistema modal, é uma classe Kr de modelos de Kripke. O sistema K é o menor dos sistemas modais normais, isto é, a interseção de todos os sistemas modais normais, justificado pelos seguintes princípios: se trata de um sistema de lógica modal, visto que se trata de um conjunto de axiomas e regras de inferência que representam formalmente o raciocínio válido; é fechado para modus ponens e necessitação, isto é, se A é uma tese então  A é uma tese;

24 Lógica modal K contém os axiomas K e Df ◊: K: (  (A → B)) → ((  A) → (  B)); Df◊: (◊ A) ↔ (¬(  ¬A)); Uma assinatura é uma família C = {C n } {n ∈ N} tal que cada C n é um conjunto, sendo que C n ∩ C m = ø se n ≠ m. Os elementos do conjunto C n são chamados conectivos n-ários. Em particular, os elementos de C 0 são chamados constantes. O domínio de C é o conjunto |C| = ∪ {C n : C n ∈ N }

25 Lógica modal K Uma assinatura modal é uma assinatura C tal que C 1 = {¬,◊, ,}; C 2 = { →, ↔, ∧, ∨ }; C n = ø se n ≠ 1, n ≠ 2. É importante observar que a relação de conseqüência de uma lógica modal pode ser obtida a partir de diferentes semânticas de Kripke.

26 Lógica de Descrição X Lógica Modal K Lógica de Descrição Descende das redes de heranças estruturadas Tentou resolver ambigüidades em redes semânticas e frames que eram herança da falta de uma semântica formal. Restrição a um pequeno conjunto de operadores “adequadamente epistemológicos” para conceitos definidos (Classes). Importância de procedimentos de inferência básicos bem definidos. Primeira implementação: KL-ONE. Primeira aplicação: Processamento de linguagens naturais. Agora é aplicado em outros domínios.

27 Lógica de Descrição X Lógica Modal K Família de formalismos de representação de conhecimento baseado em lógica apropriada para “representação de” e “explicação sobre”: Conhecimento terminológico Configurações Ontologias Esquema de Banco de Dados

28 Lógica de Descrição X Lógica Modal K Sistemas de Lógicas de Descrição - Arquitetura

29 Lógica de Descrição X Lógica Modal K Sistemas de lógicas de Descrição - Arquitetura

30 Lógica de Descrição X Lógica Modal K Linguagem de descrição (DL ALC)

31 Lógica de Descrição X Lógica Modal K Uma lógica de descrição (DL ALC) Comumente caracterizada por um conjunto de construtores que permitem a construção de conceitos e papéis complexos através de itens atômicos Conceitos correspondem a classes / São interpretados como um conjunto de objetos Papéis correspondem a relações / São interpretados como relações binárias sobre objetos Exemplo: Pai feliz em DL ALC

32 Lógica de Descrição X Lógica Modal K Semântica formal – Baseado em interpretação assim como em predicados lógicos

33 Lógica de Descrição X Lógica Modal K Sintaxe e Semântica de ALC Semântica dada por significados de uma interpretação

34 Lógica de Descrição X Lógica Modal K Antigamente, lógicas de descrição não pareciam ser nada mais do que uma notação para falar sobre conhecimento estruturado. Mas como elas foram equipadas com uma sintaxe e semântica próprias, modelos e teorias de prova, em resumo, tornaram-se uma lógica,e tornou-se possível relacionar lógicas de descrição com outras áreas da lógica. Em particular, a conexão entre lógicas de descrição de um lado e lógicas modais do outro lado receberam atenção especial.

35 Lógica de Descrição X Lógica Modal K Schild (1991) foi o primeiro a fazer explicitamente a conexão entre a lógica de descrição e a lógica modal. Ele desenvolveu a correspondência entre lógicas de descrição e lógicas dinâmicas proposicionais, que são lógicas desenvolvidas para raciocínio sobre programas. Posteriormente Schild e De Giacomo e Lenzerini identificaram a correspondência entre lógicas de descrição e a lógica multi-modal K. A seguir, segue o mapeamento entre lógica de descrição e a lógica modal K.

36 Lógica de Descrição X Lógica Modal K Mapeamento entre ALC e Lógica Modal K

37 Lógica de Descrição X Lógica Modal K Mapeamento entre ALC e Lógica Modal K

38 Conclusão Schild (1991) mostrou que algumas lógicas de descrição são variantes notacionais de certas lógicas modais. Especificamente a DL ALC tem uma contra-parte na lógica modal, chamada de versão multi-modal da lógica K. Atualmente conceitos ALC e fórmulas em multi-modal K podem imediatamente serem traduzidas de uma para outra. Além disso, um conceito ALC é satisfatível se e somente se a fórmula K correspondente for satisfatível.

39 Conclusão Pesquisas sobre a complexidade do problema da satisfatibilidade para lógicas proposicionais modais foram iniciadas pouco tempo antes da complexidade das lógicas de descrição ser investigada. Conseqüentemente, essa relação tornou possível pegar emprestado da lógica modal resultados complexos, técnicas de raciocínio e construtores de linguagens que não eram considerados anteriormente em Lógicas de Descrição.

40 Conclusão Por outro lado, existem características da lógica de descrição, que não tiveram contrapartidas na lógica modal e, portanto,tornaram-se necessárias extensões ad hoc das técnicas de raciocínio desenvolvias para a lógica modal. Em particular, restrições de números, bem como o tratamento de indivíduos no ABox, exigiram tratamentos específicos baseado na idéia de reificação, o que equivale a expressar as extensões através de um tipo especial de axioma dentro da lógica.

41 Referências Wikipédia – Lógica modal Wikipédia – Saul Kripke Lógica formal – Meu TG Modal Logics And Description Logics Rijke, M. Modal Logics And Description Logics. IILC, University of Amsterdam

42 Referências An Overview of Tableau Algorithms for Description Logics Baader, F.; Sattler, U. An Overview of Tableau Algorithms for Description Logics. LuFG Theoretical Computer Science, RWTH Aachen, Germany An Introduction to Description Logics Nardi, D. ; Branchman, R. An Introduction to Description Logics. Nonstandard Inferences in Description Logics Baader, F. Nonstandard Inferences in Description Logics. Theoretical Computer Science. RWTH Aachen. Germany.Workshop

43 Referências Description logic Baader, F.; Cartzen, L. Description logic. E-book Description Logics - Basics, Applications, and More Horrocks, I. Description Logics-Basics, Applications, and More. Information Management Group. University of Manchester, UK. Workshop Tableau Algorithms for Description Logics Baader, F. Tableau Algorithms for Description Logics. Theoretical Computer Science. RWTH Aachen. Germany.Workshop


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