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Aula 05: 09/03/2012 energia de atrito Cálculo da energia de atrito. Atrito de parede de fluidos Newtonianos e não-Newtonianos. Fator de atrito de Darcy.

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1 Aula 05: 09/03/2012 energia de atrito Cálculo da energia de atrito. Atrito de parede de fluidos Newtonianos e não-Newtonianos. Fator de atrito de Darcy e de Fanning Fator de atrito de Darcy e de Fanning. Gráfico de Moody. Gráfico de Dodge-Metzner. TA 631 – OPERAÇÕES UNITÁRIAS I 1

2 Quais são os termos do balanço de energia mecânica? 2

3 (P 1 /ρ + v 1 2 /2α + Z 1 ) + W eixo W e = (P 2 -P 1 )/ρ + (v 2 2 -v 1 2 )/2α + (Z 2 – Z 1 ) + E f = (P 2 /ρ + v 2 2 /2α + Z 2 ) + E f O trabalho mecânico gera uma mudança na Energia de pressão, na Energia cinética e na Energia potencial do fluido e libera calor devido ao atrito com o meio. Energia que entra com o fluido + Energia mecânica = Energia que sai com o fluido + Calor onde: Z i = h i * g 3

4 Energia gasta no atrito no escoamento de um fluido em um tubo horizontal (Ê p1 + Ê h1 + Ê k1 ) + W e = (Ê p2 + Ê h2 + Ê k2 ) + Ê f Ponto 1Ponto 2 Como: Assim: Balanço de Energia MecânicaÊ m1 + W e = Ê m2 + Ê f Expandindo os termos de Ê m : Ê h1 = Ê h2 W e = 0 h 1 = h 2 Ê f = ∆P/ρ Ê f = f(L, v z,ε, µ, ρ, D) Ê k1 = Ê k2 v 1 = v 2 Ê f = Ê p2 -Ê p1 = (p 2 –p 1 )/ρ Energia de atrito: Perda de pressão ρ = constante 4

5 1.CÁLCULO DA ENERGIA DE ATRITO 1.1. Fluidos Newtonianos Regime Laminar Fazemos um balanço de forças em um elemento de volume de raio r dentro do tubo onde o fluido escoa na direção horizontal z: Em primeiro lugar vamos fazer a análise do escoamento de um fluido newtoniano viscoso em uma tubulação horizontal de seção constante. L R r Regime laminar Fluido incompressível Não há efeitos terminais Considerações: 5

6 Para que haja escoamento é necessário aplicar uma força ao fluido. Geralmente eleva-se a pressão do fluido no ponto inicial da tubulação usando uma bomba. Figura 1.1. Balanço de forças no equilíbrio em um tubo P P- ∆ P 6

7 Figura 1.1.b. Análise de forças na tubulação L Comprimento Direção do escoamento R Desenvolvimento gradual do perfil de velocidades do regime laminar e escoamento do fluido. Pressão aplicada 7

8 Figura 1.1.c. Movimento e resistência no elemento de volume P P- ∆ P L R r v z (r) v max σ r z σpσp 8

9 Pressão * Área transversal = Tensão * Área longitudinal ∆P*An = ∆  *At Onde: P = pressão em um ponto z ao longo da tubulação P-dP = pressão em um ponto z + dz ao longo da tubulação r = um ponto entre o centro e a parede, ao longo do raio  = tensão de cisalhamento dz = elemento de distância ao longo do comprimento do tubo [ P  ( P  dP )]  r 2 =  2  r dz (1.1) L R r Em estado estacionário: Força normal= Força de cisalhamento 9

10 É interessante expressar a perda de carga linear (dP/dz) em função da tensão de cisalhamento: Rearranjando, para expressar a tensão de cisalhamento (1.4) (1.2) (1.3) (1.5) [P  (P  dP)]  r 2 =  2  r dz (1.1) 10

11 A tensão de cisalhamento máxima se dá na parede (  p ) quando r=R e pode ser expressa como: Considerando o comprimento L : onde: R= raio do tubo (1.6) (1.7) Onde: ∆P= diferença de pressão no comprimento de tubulação L D = diâmetro da tubulação L D ∆P∆P σpσp V z (r) 11

12 L R r Substituindo (1.6) em (1.5) tem-se: De acordo com a equação (1.8), a tensão de cisalhamento varia linearmente ao longo do raio do tubo, variando desde zero em r = 0 até um valor máximo na posição r = R. Como os fluidos newtonianos obedecem à lei de Newton: µ = viscosidade newtoniana dv z / dr = variação de velocidades ao longo do raio do tubo (1.8) (1.9) 12

13 No interior de uma tubulação a medida que o raio aumenta, a velocidade diminui, e por isso dv z /dr é negativo. Rearranjando os termos de (1.10): (1.10) (1.11) A transferência de impulso é feita da região de maior concentração de movimento para a de menor concentração. No centro do tubo, dv z /dr=0, a tensão de cisalhamento é nula, 13

14 Integrando a relação (1.11) entre um ponto r e a parede R: integral indefinida Para a integração deve-se observar que trata-se de um integral indefinida; v z (r) e r não são pontos conhecidos. Surge, assim, uma constante arbitrária que chamaremos de C 1. 14

15 As condições de contorno deste caso são: (a) r = R  v z = 0 (b) r = r  v z = v z (r) C1 é obtido da aplicação da condição de contorno (a) para a qual são conhecidos os valores de v z e de r. Então: 15

16 Da substituição de C1 na resultante da integral indefinida, obtém-se a equação do perfil parabólico de velocidade para um fluido newtoniano em escoamento laminar. (1.12) Rearranjando os termos da equação acima temos: 16

17 Por outro lado, a velocidade média pode ser calculada pela definição: Ou ainda: Onde: dA = elemento diferencial de área = 2  r dr (1.13) 17

18 Integrando (1.13) do centro do tubo (r=0) até a parede (r = R): Substituindo v z (r), equação (1.12), na expressão acima temos: (1.14) (1.15) 18

19 (1.16) (1.18) (1.17) (1.19) Chegamos a expressão da velocidade média: 19

20 Substituindo (1.7) em (1.19) para incluir o termo ∆P: Rearranjando (1.20) e dividindo tudo por  : (1.20) (1.21) (1.7) (1.19) 20

21 Multiplicando ambos os lados por Lembrando que o número de Reynolds (Re) para fluidos Newtonianos em tubulações cilíndricas é definido como: (1.22) Rearranjando para separar o termo 1/ Re da expressão (1.22): (1.23) tem-se que: 21

22 Finalmente, chegamos a expressão geral para cálculo da energia gasta no atrito para fluidos newtonianos em regime laminar: Geralmente usa-se o termo Ê f para expressar a energia perdida por atrito por unidade de massa (J/kg) (1.24) ---- = = ∆P 32 L v 2 ρ Re D ---- = f F = f F ∆P L 2v 2 ρ D f F = f F = Re Então: (1.25) f F = fator de atrito de Fanning Êf =Êf =Êf =Êf = f F L 2v 2 D 22

23 A expressão define o fator de atrito de Fanning (f F ) como: A literatura cita o fator de atrito de Darcy (f D ): Os dois podem ser usados. Porém, na bibliografia recente tem-se empregado principalmente f F e, por isso, quando se menciona ao fator de atrito refere-se geralmente à f F. 16 f F = Re (1.25) (1.26) f D = Re

24 1.CÁLCULO DA ENERGIA DE ATRITO 1.1. Fluidos Newtonianos Região de transição O fator de atrito na região de transição, ou seja, quando 2100< Re< 4000, não pode ser predito, com o qual deve-se usar a solução gráfica. Diagrama de Moody (Figura 1.2). No caso de fluidos Newtonianos,emprega-se o Diagrama de Moody (Figura 1.2). Neste gráfico deve-se destacar que o fator de atrito é função da rugosidade relativa (  / D). Segue-se a tradução dos materiais de tubos que estão escritos em inglês: f F = f(----, ) f F = f(----, ) εDεDεDεD Re 24

25 Em inglêsEm português Smooth pipes Tubos lisos Drawn tubingTubos estirados Commercial steelAço comercial Wrought ironFerro forjado Asphalted cast ironFerro fundido asfaltado Galvanized ironFerro galvanizado Cast ironFerro fundido Wood stoveAduela de madeira ConcreteConcreto Riveted SteelAço rebitado 25 Materiais de construção do Diagrama de Mood y

26 Figura 1.2. Diagrama de Moody f = 16/Re 26

27 1.CÁLCULO DA ENERGIA DE ATRITO 1.1. Fluidos Newtonianos Regime turbulento a) Equação de Blasius que só é válida para tubos lisos ( < Re < 10 5 ): f F = 1,28. Re -0,25 (1.27a) f D = 0,32. Re -0,25 (1.27b) b) Correlação de von Karman válida para tubos lisos: (1.28) Quando o regime de escoamento é turbulento, ou seja, Re> 4000, existem várias maneiras de se obter f F. Existem algumas equações para tubos lisos e rugosos e solução gráfica. 27

28 28 c) Equação de Churchill válida para tubos rugosos: No site do professor Ortega, encontra-se um applet em JAVA útil para o cálculo de bomba centrífuga para água no qual aplicou-se a equação de Churchill.

29 c)Solução gráfica por meio do Diagrama de Moody, visto no item anterior. Os dados necessários são: As propriedades do fluido: densidade e viscosidade à temperatura de trabalho; Velocidade média do fluido: obtém-se conhecendo (volume/tempo/área); Diâmetro interno da tubulação; A rugosidade relativa da tubulação (  /D ); no caso do processamento de alimentos e de instalações sanitárias, usa-se tubo liso, ou seja, rugosidade igual a zero ( ε =0 ). 29

30 Fluidos lei da potência Regime laminar 1.2. Fluidos não-newtonianos Fluidos lei da potência Regime laminar Para obter expressões para cálculo do fator de atrito foram usadas as mesmas considerações da dedução do item 1.1. Sabendo que a tensão de cisalhamento para esses fluidos é definida como:

31 A variação da velocidade do fluido ao longo do raio se expressa como a velocidade média de um fluido lei da potência em um tubo pode ser escrita como: Por outro lado, a velocidade média de um fluido lei da potência em um tubo pode ser escrita como:

32 Neste caso, a perda de carga por unidade de comprimento pode ser expressa como: (1.33) A equação (1.33), quando inserida na expressão do fator de atrito, proporciona uma expressão do tipo: (1.34) Ou ainda: (1.32) 32

33 Onde o número de Reynolds da lei da potência é definido como: (1.35) A equação (1.34) é apropriada para o escoamento de fluidos lei da potência em regime laminar, que ocorre quando a seguinte desigualdade é satisfeita: (1.36) Dados experimentais indicam que a equação (1.34) superestima o fator de atrito para muitos fluidos lei da potência. Isso pode ser devido ao escorregamento na parede ou mudanças nas propriedades reológicas em emulsões e suspensões. 33

34 (1.37) Fluidos lei da potência Regime turbulento 1.2. Fluidos não-newtonianos Fluidos lei da potência Regime turbulento O fator de atrito nessa região, para fluidos lei da potência, pode ser predito pela Equação de Dodge-Metzner. Essa equação só é válida para tubos lisos. 34

35 Figura 1.3. Diagrama de Dodge-Metzner 35

36 Fluidos plásticos de Bingham 1.2. Fluidos não-newtonianos Fluidos plásticos de Bingham Regime laminar Regime laminar (1.38) para R 0  r  R. O raio crítico (R 0 ), que define o contorno externo do pistão, pode ser calculado a partir da tensão de cisalhamento inicial (  ): (1.39) O perfil de velocidades de um fluido plástico de Bingham pode ser escrito como: 36

37 É interessante levar em consideração que o fluido não sofrerá tensão de cisalhamento na região empistonada central, ou seja, quando  <  0. Então, a função tensão de cisalhamento será integrada entre a tensão de cisalhamento inicial (  0 ) e a tensão de cisalhamento na parede (  p ). (1.40) vazão volumétrica pode ser calculada a partir da vazão volumétrica de uma maneira similar àquela usada para fluidos pseudoplásticos: A perda de carga por unidade de comprimento de fluidos plásticos de Bingham, cujo modelo reológico é: 37

38 Onde c é uma função implícita do fator de atrito e quanto maior for esse valor, mais difícil será iniciar o escoamento: (1.41) em termos de velocidade média Escrito em termos de velocidade média, a equação (1.40) torna-se: (1.42) Portanto, o cálculo do fator de atrito fica: (1.43) 38

39 Hedstrom (He): O fator de atrito poderia ser escrito também em termos do número de Reynolds de Bingham (Re B ) e o número de Hedstrom (He): (1.44) Onde e (1.45) (1.46) 39

40 As equações (1.43) e (1.44) poderiam ser usadas para estimar f F em estado estacionário no regime laminar, que ocorre quando se satisfaz a desigualdade: (1.47) onde c c é o valor crítico de c definido como: (1.48) c c c c varia de 0 a 1 e o valor crítico do número de Reynolds de Bingham aumenta com o número de Hedstrom. 40

41 Fluidos plásticos de Bingham 1.2. Fluidos não-newtonianos Fluidos plásticos de Bingham Regime turbulento Regime turbulento (1.49) O fator de atrito para escoamento em regime turbulento de um fluido plástico de Bingham pode ser considerado um caso especial de um fluido Herschel-Bulkley e pode-se usar a seguinte relação: 41

42 (1.50) Com o aumento dos valores de tensão de cisalhamento inicial, o fator de atrito aumenta significativamente. Neste caso, quando a perda de carga é muito alta, c poderia ser muito pequeno, nesse caso a equação (1.49) se simplifica, ela ficaria da seguinte forma: 42

43 Fluidos Herschel-Bulkley 1.2. Fluidos não-newtonianos Fluidos Herschel-Bulkley Regime laminar Regime laminar (1.51) A velocidade de um fluido Herschel-Bulkley em função do raio pode ser descrita como: A velocidade do pistão se obtém substituindo r= R 0 na equação (1.51). 43

44 a) Solução numérica Há duas maneiras de se calcular o fator de atrito para fluidos do tipo Herschel-Bulkley, cujo moedelo reológico é: O fator de atrito de Fanning para escoamento laminar de fluidos Herschel-Bulkley pode ser calculado a partir das seguintes relações: 44

45 (1.52) Onde: (1.53) c pode ser expresso como uma função implícita de Re LP e uma forma modificada do número de Hedstrom (He M ): (1.54) 45

46 Onde: (1.35) (1.55) e Para encontrar f F para fluidos Herschel-Bulkley, c é determinado através de uma iteração da equação (1.54) usando a equação (1.53) e o fator de atrito poderia ser calculado a partir da equação (1.52). 46

47 b) Solução gráfica Existem soluções gráficas que facilitam os problemas computacionais. Essas figuras(Figuras ) indicam o valor do número de Reynolds crítico a diferentes He M para um valor particular de n. O número de Reynolds crítico é baseado em princípios teóricos e tem pouca verificação experimental. 47

48 Figura 1.6. f F para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,1. 48

49 Figura 1.7. f F para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,2. 49

50 Figura 1.8. f F para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,3. 50

51 Figura 1.9. f F para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,4. 51

52 Figura f F para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,5. 52

53 Figura f F para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,6. 53

54 Figura f F para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,7. 54

55 Figura f F para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,8. 55

56 Figura f F para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,9. 56

57 Figura f F para fluido Herschel-Bulkley com n= 1,0. 57

58 Fluidos Herschel-Bulkley 1.2. Fluidos não-newtonianos Fluidos Herschel-Bulkley Regime turbulento Regime turbulento Utilizam-se as soluções gráficas vistas no item anterior. 58

59 59 equações As equações são úteis para: desenvolvimento de modelos computacionais para aplicações diversas cuja solução gráfica não esteja pronta! Recordando outras soluções gráficas: -Fluido Newtoniano, Diagrama de Moody -Pseudoplásticos, Gráfico de Dodge- Metzner

60 60 fator de atrito Como calcular o fator de atrito para cada caso? RESUMO DA AULA: 1. Fluidos Newtonianos 1.1. Regime laminar f F = f F = Re Êf =Êf =Êf =Êf = f F L 2v 2 D 1.2. Região de transição f F = f(----, ) f F = f(----, ) εDεDεDεD Re Diagrama de Moody

61 61 1. Fluidos Newtonianos 1.3. Regime turbulento 3 modos de se obter f F a) Equação de Blasius válida para tubos lisos ( < Re < 10 5 ): f F = 1,28. Re -0,25 f D = 0,32. Re -0,25 f D = 0,32. Re -0,25 b) Correlação de von Karman válida para tubos lisos: c) Diagrama de Moody

62 62 2. Fluidos Não-newtonianos 2.1. Fluidos Lei da Potência Regime laminar Fluido Lei da potência em regime laminar satifaz a desigualdade:

63 Regime turbulento 2.1. Fluidos não-newtoniano Lei da Potência Equação de Dodge-Metzner Diagrama de Dodge-Metzner válida para tubos lisos

64 64 2. Fluidos Não-newtonianos 2.2. Plástico de Bingham Regime laminar Hedstrom (He): Ou, o fator de atrito poderia ser escrito também em termos do número de Reynolds de Bingham (Re B ) e o número de Hedstrom (He): Fluido Plástico de Bingham em regime laminar satifaz a desigualdade:

65 Plástico de Bingham Regime turbulento Quando a perda de carga é muito alta, c ( τ 0 /τ p ) pode ser muito pequeno e nesse caso a equação acima se simplifica:

66 66 2. Fluidos Não-newtonianos 2.3. Fluido Herschel-Bulkley Regime laminar: 2 modos a) Solução Numérica: cálculos iterativos b) Solução Gráfica: figuras Re crítico, diferentes He M e n específico He M é Hedstrom modificado

67 Figura f F para fluido Herschel-Bulkley com n= 0,5. 67 Exemplo de gráfico Regime turbulento: solução gráfica

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