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1 Teoria Matemática das Eleições: Geometria e Paradoxos Métodos finitos em Matemática, disciplina do Mestrado em Ensino da Matemática do Departamento de.

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1 1 Teoria Matemática das Eleições: Geometria e Paradoxos Métodos finitos em Matemática, disciplina do Mestrado em Ensino da Matemática do Departamento de Matemática Pura da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto

2 Haverá alguma dificuldade em VOTAR? O que pode correr mal quando votamos?

3 Gaius Plinius Caecilius Secundus, Plínio o Jovem (61 ou )

4 Uma moção foi colocada perante o Senado sobre os escravos libertos do consul Afranius Dexter que foi encontrado morto, ou pelas suas próprias mãos, ou pela mão dos seus escravos, morto num acto criminoso, ou em obediência aos seus desejos. Uma pessoa (…) pensou que, depois do inquérito, deviam ser perdoados. Uma segunda pessoa pensou que deviam ser desterrados para uma ilha, uma terceira pessoa que deviam ser executados. A diversidade das propostas significa que tinham de ser votadas individualmente.

5 Suponhamos que a proporção das preferências era: Perdão - 40% Desterro - 35% Execução - 25% E se a votação fosse apenas entre Perdão e Desterro? Ou apenas entre Perdão e Execução? Ou apenas entre Desterro e Execução?

6 O matemático francês Jean-Charles Borda ( ) foi o primeiro a estudar sistematicamente o problema. O que descobriu surpreendeu os seus contemporâneos. Olhando para o sistema eleitoral como um método de agregar opiniões para encontrar uma escolha colectiva, notou que métodos diferentes conduzem a resultados diferentes. O paradoxo de Borda, como veio a ser conhecido, foi muito discutido na época, sem se encontrar uma solução satisfatória. Paradoxos

7 Borda apresentou o problema à Academia Real Francesa em 16 de Junho de Colocou um exemplo em que 21 votantes escolhiam entre 3 candidatos. Considerou as preferências relativas de cada votante, isto é a forma como cada eleitor hierarquizava os candidatos. O que reparou foi que era possível eleger um candidato que a maioria dos eleitores colocava em último lugar. Bastava para isso que os votos dos outros dois estivessem suficientemente divididos. Analisemos o exemplo apresentado por Borda. Onde significa que X é preferido a Y. O sistema usado nas democracias baseia-se no chamado voto plural, que é mais conhecido pela sigla Um homem um voto.

8 VotosPreferência Apenas uma pessoa coloca o candidato A em primeiro lugar, seguido do B e, depois, do C. Na segunda linha vemos que há 7 votantes que preferem o candidato A, que põem em segundo lugar o candidato C e em terceiro o B. Neste exemplo, o candidato mais votado segundo o sistema plural (um homem um voto) é A, com 8 votos a favor, contra 7 em B e 6 em C. No entanto, esse é o candidato mais detestado pela maioria do eleitorado, uma vez que 13 votantes em 21 o colocam em último lugar! Consideremos a seguinte tabela com as preferências dos 21 eleitores de Borda:

9 Voto plural A ordenação das alternativas é feita contando, para cada uma, o número de boletins de voto em que esta ficou colocada em primeiro lugar. As alternativas são ordenadas por ordem crescente do correspondente número de votos obtidos. Sistemas de votação Sistema Sequencial aos Pares com Agenda Depois de acordada uma ordenação preliminar das alternativas, a que se chama uma agenda consideram-se os resultados de eleições de pares de alternativas, pela ordem dada na agenda, eliminando as derrotadas da agenda e prosseguindo até a agenda conter apenas um elemento. As alternativas são finalmente ordenadas por ordem inversa de eliminação da agenda.

10 Sistemas de votação Expresso, suplemento Economia Sábado, 11 de Maio de 2002 Sistema de Hare Elimina(m)-se, em eleições sucessivas, a(s) alternativa(s) com o menor número de primeiros lugares, sendo as alternativas ordenadas por ordem inversa de eliminação.

11 Sistemas de votação Contagem de Borda Atribui-se a cada posição do boletim de voto, um número de pontos: 0 para a última, 1 para a penúltima, …, n-1 para a primeira. Os pontos ganhos por cada alternativa são totalizadas e as alternativas são ordenadas por ordem crescente de pontos obtidos.

12 Analisemos um exemplo em onde quinze pessoas seleccionam a sua bebida preferida entre L (leite), C (cerveja), e V (vinho). As preferências dos eleitores são dadas pela tabela: VotosPreferência Será mesmo o leite a bebida preferida dos votantes? Então o resultado da maioria (onde cada pessoa vota na sua bebida favorita) é: Aparentemente, o leite é a bebida escolhida! Problemas

13 Se é, seria de esperar que os votantes preferissem o leite à cerveja. Mas como mostra a tabela seguinte, estes votantes preferem realmente a cerveja ao leite. VotosPreferênciaLeiteCerveja Total69 Do mesmo modo, 9 votantes preferem o vinho ao leite e 10 preferem o vinho à cerveja. Isto cria uma contradição e uma potencial controvérsia entre os votantes, porque estas comparações entre pares sugerem que os eleitores preferem realmente o, o resultado oposto ao da maioria. O que correu mal?

14 Modernamente chama-se a isso a eleição de um perdedor de Condorcet, isto é, de um candidato que perde em comparações bilaterais com todos os outros. Aqui, o leite é preterido em relação à cerveja se apenas estas duas hipóteses se colocassem, era preterido de novo se só se colocasse a hipótese de escolha entre leite e vinho, mas era preferido se todas as hipóteses fossem colocadas em simultâneo. No exemplo de Borda, o candidato A perdia as eleições se apenas as disputasse com o candidato B, perdê-las-ia de novo se apenas se defrontasse com o candidato C, mas ganhá-las-ia se fosse às urnas contra os dois em simultâneo.

15 Marie Jean Antoine Nicolas de Caritat Marquês de Condorcet ( ) Método de Condorcet Os resultados são decididos estritamente nos termos de uma comparação entre pares de candidatos. O vencedor de Condorcet é o candidato que vence todos os candidatos restantes em eleições um contra um. Sistemas de votação

16 Sistema de votação (im)perfeito… VotosPreferência Consideremos, novamente, o perfil envolvendo 15 eleitores e 3 alternativas. Plural L C V Procuremos as ordenações finais, para este perfil, usando cada um dos sistemas eleitorais acima descritos. Contagem de Borda L V C Hare C L V S. S. P. A. LVC V C L S. S. P. A. VCL L V C Borda V C L Condorcet V C L

17 Conclusão… Arranjar um processo, método ou algoritmo, um sistema eleitoral ou de votação, que decida, a partir do conjunto das listas de preferência, a que se chama o perfil eleitoral, uma ordenação das alternativas que reflicta o melhor possível as preferências dos eleitores Desafio O resultado de uma eleição pode depender bastante do sistema eleitoral usado!

18 Condições… Numa primeira análise, as seguintes condições parecem ser imprescindíveis para que um sistema de votação democrático traduza as preferências dos eleitores: Condição de Pareto (ou de unanimidade): Se a alternativa X ficou colocada acima da alternativa Y em todos os boletins de voto então na lista final deve ter-se. Monotonia: Se de uma eleição para outra, envolvendo os mesmos eleitores e os mesmos candidatos, a posição de um dos candidatos for alterada, em um ou mais boletins de voto, mas sempre a favor desse candidato, então a sua posição na ordenação final não deve ser inferior à posição em que ficou colocado na primeira eleição. Critério do Vencedor de Condorcet (CVC): Se existir um vencedor de Condorcet, este deve ser o vencedor da eleição.

19 Condições… Simetrias: Igualdade (ou Anonimato): Permutar as listas de preferência, sem as alterar, não deve ter nenhum efeito no resultado da eleição. Neutralidade: Se todos os eleitores cometerem o erro de trocar as alternativas X e Y, então basta trocar X com Y no resultado final para corrigir o erro. Independência das Alternativas Irrelevantes (IAI): Se em duas eleições distintas, envolvendo os mesmos eleitores e os mesmos candidatos, a ordem relativa de dois dos candidatos não foi alterada em nenhum boletim de voto, então a ordem relativa desses mesmos candidatos no resultado final deve ser a mesma.

20 Questão: Será que algum dos métodos satisfaz estas condições? Kenneth Arrow Em 1951, (prémio Nobel da Economia em 1972) provou o seguinte resultado: Teorema: Não existe nenhum sistema de votação que satisfaça simultaneamente as condições de Pareto, IAI e igualdade! Ideia da demonstração: As condições de Pareto e a da Independência de Alternativas Irrelevantes conduzem a uma DITADURA!!!

21 Exemplos… O Sistema Sequential aos Pares com Agenda não satisfaz a condição de Pareto! 444 ACB BAD DBC CDA ACD Com agenda: ABCD. Tem-se: ABCD CD D D é o vencedor apesar de todos os eleitores preferirem B a D ! Considere-se o seguinte perfil:

22 Exemplos… O Sistema de Hare não satisfaz a condição de Monotonia! Considere-se o seguinte par de eleições, em que na segunda delas 3 dos eleitores alteram os seus boletins de voto de para, uma mudança favorável a A, enquanto os outros eleitores não alteram as suas listas de preferências 1ª Eleição ACBB BACA CBAC 2ª Eleição 1597 ACB BAC CBA

23 23 Exemplos… 1ª Volta A:12 B:10 C: AABB BBAA 2ª Volta A:21 B:10 1ª Eleição ACBB BACA CBAC 2ª Eleição 1597 ACB BAC CBA 1ª Volta A: 15 B: 7 C: ACC CAA 2ª Volta A: 15 B: 16 O candidato A, que ganhou a primeira eleição, perde a segunda quando só houve alterações a seu favor !

24 Exemplos… A contagem de Borda não satisfaz IAI! Considere-se o seguinte par de eleições, em que alguns dos eleitores (4) mudam a sua lista de preferências, mas ninguém altera a posição relativa de A versus B. 1ª Eleição 74 AC BB CA 2ª Eleição 74 AB BC CA A: 14 B: 11 C: 8 A: 14 B: 15 C: 4 Resultados: Vê-se assim que a posição relativa de A e B é alterada de uma eleição para a outra.

25 25 Sistema de votação (im)perfeito II Sistemas/CondiçõesParetoCVCMonoIAI PluralSimNãoSimNão BordaSimNãoSimNão HareSimNão Seq. Pares c/ agendaNão SimNão

26 26 IAI não é realista… Teorema: Quando o número de candidatos (ou alternativas) é igual ou superior a 3, qualquer sistema que satisfaça as condições IAI e Pareto é um sistema que não admite empates. Demonstração: Suponhamos que tal não acontecia, ou seja que existia um perfil para o qual há duas alternativas, X e Y, que resultam empatadas:... XY X = Y YX... Na figura acima, a parte esquerda representa o perfil da eleição, ou seja o conjunto de todos os boletins de voto, havendo alguns onde a alternativa X está acima de Y e outros onde o contrário acontece, mas admite-se que uma dessas possibilidades não ocorra.

27 27 Seja Z uma terceira alternativa qualquer (cuja existencia é garantida por uma das hipóteses feitas). Uma vez que o sistema satisfaz IAI e a condição de Pareto, resulta que se, numa nova eleição, os eleitores com X > Y colocassem Z entre X e Y, enquanto que aqueles com X < Y colocassem Z acima de Y, ter-se-ia:... X Z Z Y X = Y, Z > Y... Y X e portanto Z > X

28 28 Agora, se todos os eleitores trocarem Y com Z, o que não altera as posições relativas de X vs. Y e de X vs. Z XY Y Z Z > X, X=Y... ZX e portanto Z > Y… o que contradiz a hipótese de o sistema verificar a condição de Pareto.

29 29 O Critério de Condorcet não é inquestionável... Saari, dá um exemplo semelhante ao que se segue, mostrando que o vencedor de Condorcet não é invariante para a adição de empates. 31 A B C + 10 A C B B A C 31 A B C 32 B A C 22 B A C 10 C B A A C B C B A A é o vencedor de Condorcet (58.5%) Perfil empatado B é o vencedor de Condorcet (50.6%) Isto mostra que a condição CVC não é tão indiscutivelmente razoável quanto possa parecer numa primeira análise...

30 30 Geometria, Eleições e Paradoxos

31 31

32 32

33 Teoria Matemática das Eleições Aos métodos que atribuem um número de pontos aos candidatos ordenados pela ordem de preferência do eleitor, chamamos métodos eleitorais posicionais. Quando normalizados para atribuir um único ponto ao candidato mais preferido de um eleitor, o ponto atribuído define um vector de voto.

34 Teoria Matemática das Eleições Consideremos o seguinte exemplo:

35 Teoria Matemática das Eleições Perfis dos eleitores:

36 Teoria Matemática das Eleições

37 Teoria Matemática das Eleições Resultados de eleições entre pares

38 Teoria Matemática das Eleições Resultados de eleições entre pares - Paradoxos

39 Suponhamos que só um eleitor numa população grande (n eleitores) tem tipo 3:

40 Teoria Matemática das Eleições Probabilidades - Paradoxos Caso discreto:

41 Teoria Matemática das Eleições Probabilidades - Paradoxos Caso discreto:

42 Teoria Matemática das Eleições Probabilidades - Paradoxos Caso discreto:

43 Teoria Matemática das Eleições Probabilidades - Paradoxos Resultados Posicionais: Os registos de para todos os candidatos são:

44 Teoria Matemática das Eleições Probabilidades - Paradoxos Resultados Posicionais: Os resultados para todos os pares de candidatos são:

45 Teoria Matemática das Eleições Paradoxos Apesar do método plural e da eleição um contra um identificarem o mesmo candidato como sendo o melhor classificado e deste facto parecer abonar a favor do método uninominal, não devemos esquecer que o ranking de um perfil por unanimidade também assemelha-se bastante importante, devendo assim esperar que os resultados da eleição favoreçam os três tipos particulares representados no perfil. Resultados Posicionais:

46 Teoria Matemática das Eleições Nas questões matemáticas não se compreende a incerteza nem a dúvida, assim como tão pouco se podem estabelecer distinções entre verdades médias e verdades de grau superior. Hilbert

47 Lewis Carrol (1876) (as eleições) são mais um jogo de habilidade que um teste real aos desejos dos eleitores. na minha opinião é preferível que as eleições sejam decididas de acordo com os desejos da maioria do que os daqueles que têm mais habilidade no jogo, por isso penso ser desejável que todos devam saber as regras pelas quais este jogo se pode ganhar.

48 Referências Bibliográficas ASSUNÇÃO, J. B. 2002O Plebescito Francês. Caderno Economia do Semanário Expresso de 11 de Maio de 2002 BUESCU, J. 2001O Mistério do Bilhete de identidade e Outras Histórias, crónicas as Fronteiras das Ciências. Gradiva. Lisboa CONDORCET, J.-M. 1785Éssai sur lapplication de lanalyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix. Paris CONDORCET, J.-M. 1789Sur la forme des élections. Paris

49 Referências Bibliográficas CRATO, N. 2002Paradoxos eleitorais. Revista do Semanário Expresso do dia 13 de Fevereiro de 2002 GEANAKOPLOS, J 2001Three Brief Proofs of ARROWS IMPOSSIBILITY THEOREM. Cowles Foundation Discussion Paper No. 1123RRR. Cowles Foundation For Research In Economics. Yale University MACHIAVELO, A. 2004Sistemas de votação, Página acedida em 18 de Janeiro de 2004 SAARI, D. 1991A Fourth Grade Experience. CiteSeer (?)

50 Referências Bibliográficas SAARI, D. 1995Basic Geometry of Voting. Springer-Verlag SAARI, D. 1997Are Individual Rights Possible?. Mathematics Magazine; Vol. 70, No. 2; SAARI, D. 1997The Symmetry and Complexity of Elections. Complexity 2; SAARI, D. & VALOGNES, F. 1998Geometry, Voting, and Paradoxes. Mathematics Magazine; Vol. 71, No. 4; SAARI, D. 2001ChaoticElections!A Mathematician Looks at Voting. Americam Mathematical Society

51 Referências Bibliográficas SAARI, D. & BARNEY, S. 2003Consequences os Reversing Preferences. Mathematical Intelligencer; Vol. 25, No. 4; TAYLOR, A. D. 1995Mathematics and Politics – Stategy, Voting, Power and Proff. Springer-Verlag TAYLOR, A. D. 2002The manipulability of voting systems, to appear in The American. Mathematical Monthly, 109 (April),


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