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Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa1.

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1 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa1

2 Para ser aprovado na disciplina o aluno deverá ser capaz de: 1. Resolver problemas envolvendo configurações de cargas em repouso no vácuo; 2. Resolver problemas envolvendo cargas em movimento no vácuo; 3. Utilizar as equações de Maxwell nas formas integral e diferencial para a obtenção de campos e potenciais; 4. Descrever o comportamento dos campos elétrico e magnético em meios materiais. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 2

3 3 Objeto 1 Objeto 3 Objeto 4 Objeto 2 Objetos em interação Configuração em um dado instante no tempo

4 Questão central: é possível prever o que acontecerá com estes objetos em um instante de tempo posterior, em função da interação entre eles? Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa4

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7 7

8 8 Qual a natureza da interação entre os objetos no mundo natural?

9 Nosso foco de interesse no Eletromagnetismo Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa9 Estruturas em larga escala no Universo Força Gravitacional (massa) Estruturas em mesoescala Força eletromagnética (carga elétrica) Estrutura nuclearForça Nuclear Forte (carga nuclear) Interações fracasForça Nuclear Fraca (carga nuclear)

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11  Ao final desta aula você deverá ser capaz de: ◦ Descrever a natureza da interação entre partículas com carga elétrica usando o conceito de força; ◦ Calcular a força elétrica experimentada por uma partícula carregada interagindo com outras partículas carregadas; ◦ Calcular a força elétrica sobre uma partícula carregada devido à interação com corpos extensos carregados. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa11

12 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 12 x Cargas Distribuição de cargas em condutores y z P r r i ’  (r’) Dado um conjunto de cargas e campos qual será a configuração de equilíbrio? Ponto onde o campo é calculado.

13 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 13 a) Fonte do campo – propriedade das partículas que cria o campo: - Carga elétrica é fonte de campo elétrico (E); - Partículas carregadas em movimento são a fonte de campo magnético (B); - Campos que variam no tempo podem ser fontes de outros campos. b) Eletrostática: envolve o cálculo de campos em sistemas de referência nos quais as partículas carregadas estão em repouso relativo. Neste caso o problema básico se reduz ao cálculo do campo elétrico E (ou, alternativamente, do potencial elétrico  ); c) Eletrodinâmica: estudo dos campos quando estamos em sistemas de referência nos quais as partículas caregadas estão em movimento. Neste caso, temos os campos E e B.

14 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa14 Cuidado Muitas vezes, o termo carga elétrica é usado indistintamente para designar a propriedade ou a partícula ou a quantidade de carga elétrica Cuidado Muitas vezes, o termo carga elétrica é usado indistintamente para designar a propriedade ou a partícula ou a quantidade de carga elétrica d) Carga elétrica: propriedade que permite às partículas interagirem via campo eletromagnético; e) Partícula carregada: partícula com carga elétrica não nula; f) Quantidade de carga elétrica: quantidade da propriedade carga elétrica que uma partícula possui, medida em algum sistema de unidades.

15 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa15 Fenomenologia Análise da natureza a partir da observação dos fenômenos e da coleta de observações obtidas em campo (observação em física) Empirismo Dedutivismo Indutivismo Análise da natureza obtida a partir de derivações de natureza lógica a partir de princípios gerais Análise da natureza a partir da construção de dados obtidos pelos sentidos (experimentos em Física) Generalizações obtidas a partir da observação de alguns casos (leis físicas)

16 A carga elétrica apresenta as seguintes propriedades básicas: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 16 A carga elétrica é conservada (conservação global da quantidade de carga). A quantidade de carga elétrica é quantizada. Toda quantidade carga elétrica observada é múltiplo da quantidade de carga fundamental, a quantidade de carga do elétron ou do próton. A carga elétrica apresenta dois tipos (sabores) denominados de positivo (+) e negativo (-).

17 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 17 Propriedade básica do eletromagnetismo: uma partícula com carga elétrica influencia o comportamento de outra partícula com carga elétrica: Partículas com cargas de sinais contrários ⇨ atração Partículas com cargas de sinais iguais ⇨ repulsão F 21 F 12 q1q1 q2q2 F 21 F 12 q1q1 q2q2

18 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa18 O módulo da força elétrica entre duas partículas carregadas depende do valor do produto da quantidade de carga elétrica em cada uma. Matematicamente:

19 O módulo da força entre duas partículas carregadas é inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa19 d 2d3d

20 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 20 F 12 q1q1 F 21 q2q2 r2r2 r 1 – r 2 r1r1 z y x Dado um sistema de referências, representamos as partículas e a força entre elas pelo seguinte diagrama: Eixos do sistema Vetor que localiza a partícula 2 Vetor que localiza a partícula 1 Vetor que liga as duas partículas Força da partícula 1 sobre a partícula II Força da partícula 1I sobre a partícula I Na eletrostática, a terceira lei de Newton é válida em sua forma forte: F 12 = - F 21 Na eletrostática, a terceira lei de Newton é válida em sua forma forte: F 12 = - F 21 A distância entre as cargas se escreve:

21 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 21 Nesta expressão F 21 é a força exercida pela partícula com quantidade de carga q 2 sobre a partícula com carga q 1. A constante k depende do sistema de unidades usado! Sistema Internacional de Unidades Partículas com cargas de sinais opostos F 21 F 12 q1q1 q2q2 F 21 F 12 q1q1 q2q2 Partículas com cargas de sinais iguais

22 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 22 Quando temos mais de duas partículas interagindo, a força resultante sobre uma delas, devida às demais, é dada pela soma das forças sobre a partícula em análise: q1q1 q2q2 r2r2 r1r1 z y x q3q3 q4q4 qjqj F j1 F j2 F j3 F j4 FjFj Para um sistema com n partículas:

23 No caso de termos distribuições contínuas de matéria, a soma deve ser transposta para uma integral sobre a densidade de quantidade de carga elétrica. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa23 F(r) q  (r’) r'r' r – r’ r z y x Cada pequeno elemento de volume é tratado como uma partícula carregada.

24 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa24

25  Ao final desta aula você deverá ser capaz de: ◦ Definir o campo elétrico criado por uma partícula carregada; ◦ Calcular o campo elétrico devido a uma partícula na origem; ◦ Calcular o campo elétrico devido a um corpo extenso carregado; ◦ Calcular a força elétrica sobre uma partícula em uma região na qual temos um campo elétrico; ◦ Calcular o fluxo do campo elétrico por uma superfície; ◦ Utilizar a Lei de Gauss em sua forma integral no cálculo do campo elétrico em situações de alta simetria. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa25

26 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa26 Espaço vazio Pontos do espaço Espaço com uma partícula carregada Partícula carregada Pontos do espaço Campo Elétrico é um conjunto de propriedades presentes em cada ponto do espaço decorrentes da presença de uma partícula com carga elétrica estar localizada em um determinado ponto. O Campo Elétrico não é um lugar, mas é em um lugar.

27 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa27 F(r) q r z y x Partícula fonte do Campo Elétrico. Partícula teste Força sobre a partícula teste  q é chamada partícula de teste: não pode interferir na distribuição que cria o campo;  A partícula de teste é, por definição, positiva. O campo tem a direção e o sentido da força elétrica experimentada pela partícula.

28 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 28 Interpretação do conceito de campo: ao invés de falarmos da força sobre uma partícula podemos falar sobre a força por unidade de carga da partícula ⇒ campo. Se dividirmos a força sobre a partícula pela quantidade de carga desta partícula, então o campo na região da partícula será dado por (q + é chamada de partícula de teste): Partícula Distribuição contínua de matéria O campo não depende da partícula na posição r. Ele é uma propriedade do espaço na posição r, quer haja ou não uma partícula nesta posição. E(r) r z y x Partícula fonte do Campo Elétrico.

29  Uma forma de representar o campo elétrico é usando linhas de força.  Para traçá-las, devemos desenhar a linha tangente ao campo elétrico em cada ponto do espaço. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa29 Convenção: as linhas de força são mais próximas nas regiões nas quais o módulo do campo elétrico é maior.

30 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa30 Cargas isoladas Dipolo

31 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa31 Em um fluido: O fluxo de um fluído por uma superfície é o volume de fluído que atravessa esta superfície por unidade de tempo.

32 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa32 Linhas que entram e saem no volume limitado por S. Superfície S Linhas que somente saem do volume limitado por S Linhas que somente entram no volume limitado por S. A n da A

33 O objetivo é o cálculo do fluxo do campo elétrico em uma superfície fechada. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa33 Estratégia: Etapa 1: calcular o fluxo para uma calota recortada sobre uma superfície esférica. Etapa 2: mostrar que o fluxo é o mesmo entre duas calotas de uma mesma superfície esférica que delimitam o mesmo ângulo sólido. Etapa 3: mostrar que o resultado que vale para a superfície esférica é válido para qualquer outra superfície.

34 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa34 C r θ Circunferência S S Ω Ω r r Esfera

35 E1E1  dd q n da 2 E2E2 n Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 35 O que acontece com a componente do campo normal à superfície? Hipótese: Os elementos de área da são tão pequenos que o campo pode ser considerado constante. Observe que: da 1 Portanto:

36 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 36 O que acontece com a componente do campo normal à superfície? dd n r E da Integrando sobre S:

37 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa37  dd n r E da Como é o mesmo ângulo sólido, o fluxo é o mesmo! Truque: tomamos uma superfície esférica tão pequena quanto quisermos em torno da carga! Então: Lei de Gauss

38 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa38 Para uma distribuição de cargas (pontuais ou uma densidade volumétrica de carga): Partículas carregadas Distribuição volumétrica de partículas carregadas

39 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 39 Para podermos escrever em forma diferencial a lei de Gauss vamos analisar o teorema da divergência de Gauss para um campo vetorial qualquer: S V Fluxo de A Aplicando ao campo elétrico: Forma diferencial da Lei de Gauss

40 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa40

41  Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: ◦ Calcular o rotacional do campo eletrostático; ◦ Definir o que é o potencial eletrostático; ◦ Calcular o potencial eletrostático devido a uma partícula carregada na origem; ◦ Calcular o potencial eletrostático devido a corpos extensos carregados. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa41

42 Para que um campo vetorial A fique univocamente determinado, precisamos saber seu divergente e seu rotacional: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa42 Para o campo eletrostático já sabemos qual é seu divergente: Mas qual será o seu rotacional?

43 O campo eletrostático é um campo de rotacional nulo. Isso é facilmente verificável a partir da expressão para E: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 43 O rotacional atua somente sobre a variável r e não sobre a variável r’, portanto o rotacional atua somente sobre a fração no integrando, a qual pode ser reescrita como:

44 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa44 Logo: Potencial eletrostático Chamando o termo entre colchetes por  : Logo:

45 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa 45 Portanto, o campo elétrico pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar: Observações: Na definição do potencial eletrostático a integração é sobre todas as cargas no universo; O potencial é definido a menos de uma constante arbitrária. Esta expressão é geral!

46 Uma consequência: somente diferenças de potencial são importantes! Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa46 r1r1 y x Partícula fonte do Campo Elétrico. r2r2 (r2)(r2) (r2)(r2)

47  Como o potencial é definido a menos de uma constante, temos liberdade de escolher o ponto no qual o potencial é nulo! Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa47 Escolha padrão: potencial nulo no infinito! r y x Partícula fonte do Campo Elétrico.  2 (r)  (r  ) =0 Última galáxia do universo! rr

48 Vamos calcular o trabalho que devemos executar contra o campo eletrostático E, para levarmos uma partícula com carga elétrica q de um ponto a até um ponto b com velocidade constante. Observe-se que esse trabalho é executado contra a força elétrica F = q E: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa48 a b dldl q Usando que E = -  : O campo eletrostático é um campo conservativo: E

49  Vamos ver alguns exemplos do Grifitths.exemplos do Grifitths Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa49

50 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa50 Teríamos um mundo perfeito se não tivéssemos limites! O que fazer em um contorno? Vamos aplicar a lei de Gauss a um disco cujas bases estão uma na parte superior da superfície e outra na base inferior. As faces laterais possuem áreas desprezíveis.

51 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa51 ds 1 ds 2 n1n1 n2n2  E2E2 E1E1

52 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa52

53 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa53 Esta equação expressa o fato de que há uma descontinuidade nas componentes normais do campo elétrico. As componentes tangenciais, no entanto, são contínuas. Logo:

54 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa54 Potencial devido a uma distribuição de dipolos sobre uma superfície S Consideremos uma camada formada por duas superfícies muito próximas:

55 O potencial pode ser escrito como: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa55 Para d << |r - r’|, podemos expandir o denominador na segunda integral usando a identidade:

56 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa56 Logo, após substituir esta expressão na integral do potencial e tomar o limite: Obtemos: Densidade de carga Momento de dipolo

57 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa57 Observando que: Então: Há uma descontinuidade no potencial ao cruzar a dupla camada !!!

58 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa58

59  Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: ◦ Identificar as equações de Poisson e Laplace; ◦ Definir o que são condições de contorno; ◦ Identificar as condições de contorno presentes em problemas envolvendo cargas, corpos carregados e superfícies condutoras; ◦ Solucionar problemas de cálculo de campo eletrostático que envolvam condições de contorno. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa59

60 O campo eletrostático é descrito a partir das duas equações: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa60 Lembrando que o campo eletrostático pode ser escrito em termos de um potencial escalar (devido à segunda das igualdades acima): Equação de Poisson

61 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa61 Importante: nessa equação a quantidade  (r) indica a densidade de carga na posição onde estamos calculando o potencial. q 1,r 1 q 2, r 2 q 3,r 3

62 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa62 Se na região de interesse não existem fontes do campo, então temos a equação de Laplace: Equação de Laplace

63 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa63 Superfície de contorno Região III Superfície de contorno Região I 1.Solucionamos a equação de Poisson em cada região; 2.Aplicamos as condições de contorno às soluções obtidas.

64 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa64 Motivação Temos, normalmente, condições de contorno a serem satisfeitas. Isto torna as integrais mais difíceis de serem calculadas. Solução de uma equação diferencial passa pela obtenção da solução geral (classe de soluções) e da aplicação das condições de contorno relevantes ao problema Vamos começar pelo teorema da divergência de Gauss: S V A Fluxo de A Volume limitado por S

65 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa65 Vamos fazer: Então: Derivada normal à superfície S dirigida de dentro para fora Substituindo essa expressão no Teorema da Divergência de Gauss: Primeira identidade de Green

66 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa66 Vamos agora trocar  por  (e vice-versa) e subtrairmos da identidade a nova identidade, obteremos o que chamamos de segunda identidade de Green: Se agora tomarmos as seguintes identidades:

67 Então quando r está no interior da superfície S: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa67 Se r estiver fora do volume de integração a integral sobre o volume é nula.

68 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa68 Problema: unicidade da solução para o potencial. Quais são as condições de contorno apropriadas ao problema? f(x,y,z) conhecida sobre a superfície S -> Condições de Dirichlet Ou, alternativamente, f’(x,y,z) conhecida sobre a superfície S -> Condições de Newmann. Suponhamos que existam duas soluções para a equação de Poisson em um volume V limitado por uma superfície S (  1 e  2 ) as quais satisfazem as mesmas condições de contorno. Seja U =  2 -  1. Então, no interior de S: Portanto, ou U é nulo (igual a zero) ou  U/  n = 0 sobre S, conforme sejam dadas condições de contorno de Dirichlet ou Newmann. S V

69 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa69 Vamos usar agora a primeira identidade de Green, com: Em qualquer caso (U=0 ou  U/  n = 0 no contorno) temos que: Portanto, temos que  U=0 o que implica que a função U é constante no interior do volume V. Caso 1: condições de Dirichlet no contorno -> U S = 0. Nesse caso temos que: A solução é única Caso 2: condições de Newmann no contorno ->  U/  n = 0. Nesse caso temos que: Observações: S imposição das duas condições ao mesmo tempo não é possível; As duas soluções são, em geral, diferentes.

70 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa70 Obtivemos anteriormente a solução para a equação de Poisson: Na obtenção dessa equação usamos, nas identidades de Green: Potencial da carga puntiforme Condição de Newmann Condição de Dirichlet

71 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa71 Este é um exemplo de um a classe de funções que satisfazem à equação mais geral: Equação de Laplace dentro do volume V. Se usarmos na expressão para o potencial G ( r, r’ ) =  e escolhermos F( r, r’ ) tal que consigamos eliminar  ou sua derivada da expressão para o potencial obteremos apenas uma das condições de contorno dentro da integral para  : Caso 1: condições de contorno de Dirichlet – G D = 0 para todo r’ sobre S

72 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa72 Interpretação da função F – Essa função satisfaz a equação de Laplace dentro do volume V. Portanto representa uma solução do potencial criado por cargas externas a V. V S Valor médio do potencial sobre a superfície S. Vale zero se a superfície S vai ao infinito. Caso 2: condições de contorno de Newmann –  G N /  n’= - 4  /S para todo r’ sobre S

73 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa73

74  Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: ◦ Solucionar problemas envolvendo a equação de Laplace nos casos unidimensional e bidimensional ◦ Solucionar problemas envolvendo a equação de Laplace utilizando o método das imagens. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa74

75 Seja um intervalo (a,b) e um conjunto de funções {U n (x)} definidas neste intervalo. As funções são ditas ortogonais se: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

76 76 Delta de Kronecker

77 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa77 No intervalo (a,b) uma função qualquer f(  ) pode ser expandida em termos destas funções:

78 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa78 É aquele conjunto de funções para o qual existe um número N 0 tal que o erro cometido, ao aproximarmos a função f por N 0 termos da expansão, é arbitrariamente pequeno. Se o intervalo no qual as funções U são definidas é infinito, então a soma se transforma em uma integral. É aquele conjunto de funções para o qual existe um número N 0 tal que o erro cometido, ao aproximarmos a função f por N 0 termos da expansão, é arbitrariamente pequeno. Se o intervalo no qual as funções U são definidas é infinito, então a soma se transforma em uma integral.

79 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa79 Estas funções satisfazem à condição de ortogonalidade: E completeza: Delta de Dirac Transformada de Fourier (funções periódicas)

80 80 1. Solução da equação de Laplace em uma dimensão A equação de Laplace em uma dimensão é dada por: A, b são constantes a serem determinadas das condições de contorno. Algumas características da solução que são também válidas em duas e três dimensões: O potencial em uma dada posição é a média em duas posições simétricas: As soluções da equação de Laplace não tem mínimos ou máximos locais 2. Solução da equação de Laplace em duas dimensões O potencial em uma dada posição é a média da posições em torno do ponto. Em particular, se tomarmos um circulo de raio R em torno do ponto: As soluções da equação de Laplace não tem mínimos ou máximos locais. Os extremos acontecem no contorno. Teoremas de unicidade: 1)A solução da equação de Laplace em um volume V é unicamente determinada se o potencial  for especificado na superfície de contorno da região V. 2)Em um volume V cercado por condutores e contendo uma densidade de carga dada  o campo elétrico é unicamente determinado se a carga total em cada um dos condutores for especificada. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

81 81 O método das imagens Idéia central: usar simetrias e os teoremas de unicidade para obter o potencial. Qual o potencial na região acima do plano? Observe que existe, além da carga q, uma carga induzida no plano (desconhecida). O potencial no plano é mantido constante. x y z q  = 0 d Terra Neste problema temos as seguintes condições de contorno:  = 0 quando z = 0;   0 quando r  . Vamos “trocar” nosso problema real por um outro: imagine que temos outra carga, -q, colocada na posição –d e esqueçamos o plano! x y z q  = 0 d -d -q Expressão válida na região z > 0. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

82 82 A carga induzida no plano condutor será dada por: A carga total induzida no plano, será dada por: Observe que a carga q será atraída em direção ao plano pela presença da carga induzida –q. Qual a força de atração? A energia pode ser calculada a partir do trabalho para trazer a carga q do infinito até a posição d: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

83 83

84  Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:  Solucionar problemas envolvendo a equação de Laplace utilizando a técnica de separação de variáveis. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa84

85 85 Separação de variáveis, equação de Laplace em coordenadas cartesianas. Vamos supor que o potencial possa ser escrito como um produto de três funções que dependem, cada uma delas de apenas uma das três variáveis x, y, z: Substituindo na expressão da eq. de Laplace: Vamos supor  2,  2 > 0. Então as soluções das equações diferenciais serão dadas por: E o potencial será escrito como:  e  constantes arbitrárias. Vamos considerar o exemplo de uma caixa retangular na qual o potencial é nulo em todas as superfícies externas exceto uma, mantida em um certo potencial V(x,y). x z y  = 0  = V(x,y) z = c x = a y = b Qual o potencial em pontos dentro da caixa? Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

86 86 Nos pontos x = y = z = 0 o potencial é nulo vemos que: Para que o potencial seja nulo em x = a e y = b devemos ter que: Definindo: A solução geral será escrita como: Vamos usar agora a última das condições de contorno:  (x,y,z=c) = V(x,y) Dupla série de Fourier para a função V(x,y) Podemos inverter para obter os coeficientes A mn : Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

87 87 Vamos supor que estamos em uma situação onde o potencial depende apenas da coordenada z. Neste caso, a solução será do tipo e  i  x, e  i  y. Considere a situação mostrada na figura abaixo: x y  = V   = 0 a0 0  x  a 0  y    (x,y=0) = V  (x=0,y) =  (x=a,y) = 0  (x,y   ) = 0 Vamos aplicar as condições de contorno à solução que já temos: A condição de contorno em y = 0 :  (x,y=0) = V determina a constante A n : Logo: Obs.: Para y/a << 1 temos que tomar muitos termos da série; Para y/a >> 1 apenas os primeiros termos são necessários. Para y  a/  podemos aproximar o potencial apenas pelo primeiro termo da série (n = 1): Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

88 88 Neste caso particular a série pode ser somada. Usando a fórmula de Moivre para exponencial de números complexos, podemos escrever o seno que aparece na expressão para o potencial na forma de uma exponencial: Observando que a expansão da função logaritmo: Temos que: E o potencial pode ser escrito como: A parte imaginário do logaritmo é a fase do argumento. Então: Portanto: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

89 89 Vamos analisar agora situações onde temos uma simetria cilíndrica. Primeiro vamos relembrar o sistema de coordenadas cilíndricas: Em coordenadas cilíndricas o Laplaciano se escreve: Método de solução: separação de variáveis: Após substituir na equação de Laplace somos levados a três equações, uma para cada uma das variáveis independentes: Temos que analisar as condições de contorno do problema para determinar a natureza das constantes k,  e. Condição de contorno : o potencial deve ser univocamente determinado  deve ser um inteiro Imposição: vamos tomar a hipótese de que k seja uma constante real e positiva. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

90 90 Vamos agora analisar a equação para a parte radial. Primeiro vamos fazer a seguinte mudança de variáveis: x = kr. Com esta mudança de variável a equação para r se escreve: Equação de Bessel Para solucionar esta equação vamos utilizar o método de Frobenius: supomos que a solução possa ser escrita como um a série de potências da variável x: A substituição da expressão acima na equação diferencial nos leva a: Os termos com j ímpar são todos nulos. Em função do termo a 0 o termo geral da série pode ser escrito como: Escolhendo o valor de a 0 = [ 2   (   então as duas soluções, com  serão dadas por: Função de Bessel de primeiro tipo No entanto, para = m, um inteiro, as soluções não são Linearmente independentes: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

91 91 Para > 0 as funções de Bessel formam um conjunto ortogonal de funções  podemos expandir uma função f(x) n intervalo 0 < x < a em termos das funções de Bessel: Esta forma é adequada para funções que se anulam em x = a. Exemplo Considere o cilindro da figura. Qual o potencial no interior do cilindro? x z y a L Nas demais superfícies o potencial é nulo Para que o potencial seja unívoco e se anule em z = 0 devemos ter: A parte radial será dada por: i)Para que o potencial seja finito em r = 0 devemos fazer D = 0; ii)Para que o potencial seja nulo em r = a, a constante k pode somente tomar os valores: Raízes das funções de Bessel Combinando esses resultados: Vamos agora usar a condição de contorno em z = L. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

92 92 Temos aqui uma série de Fourier na variável  e uma série de Fourier – Bessel em r cujos coeficientes são dados por: A equação de Laplace em coordenadas esféricas Polinômios de Legendre Como antes vamos admitir que o potencial possa ser escrito como o produto de três funções que dependem somente de uma das variáveis: Após substituir na equação de Laplace somos levados a: Para solucionar a equação para  vamos fazer a mudança de variáveis: o que nos leva a: Equação generalizada de Legendre Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

93 93 Se m = 0 então temos um problema com simetria axial, e a solução serão os Polinômios de Legendre de ordem l [P l (x)]. As funções Q(  ) serão escritas como: E a solução para o potencial será dada por: Dependem das condições de contorno Exemplo Considere uma esfera de raio a na qual temos um potencial especificado por V(  ) na superfície. Determine o potencial no interior (livre de cargas) da esfera. V = V(  ) A solução geral será dada por: Queremos uma solução para pontos interiores da esfera, incluindo o ponto r = 0. Portanto, deveremos fazer b l = 0. Os coeficientes a l serão determinados pelas condições de contorno: Esta é uma série de Legendre e os coeficientes a l serão dados por: Vamos considerar o seguinte caso particular: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

94 94 Neste caso, o potencial será dado por: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

95 95Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

96  Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:  Solucionar problemas envolvendo a equação de Laplace utilizando a técnica de expansão em multipolos. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa96

97 97 Expansão em multipolos Motivação: para pontos longe da distribuição de cargas, esta aparece aproximadamente como uma carga pontual. Consideremos um dipolo físico, composto por duas cargas de sinais opostos separadas por uma distância d. Queremos calcular o campo na posição P, distante das duas cargas. Usando que: d P r r+r+ r-r- q-q- q+q+  Estamos interessados em pontos distantes das duas cargas, de modo que r >> d e o terceiro termo pode ser desprezado: Usando esse resultado, o potencial pode ser escrito como: O potencial do dipolo cai com 1/r 2 Termos tipo pólo: Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

98 98 Vamos agora desenvolver uma expansão em multipolos para uma distribuição arbitrária de cargas. Nesse caso o potencial é dado por: Como antes, vamos fazer uma expansão do denominador, usando a lei dos co-senos: Reagrupando os termos, podemos reescrever a equação acima como: Polinômios de Legendre Logo: Expansão em multipolos n = 0 : termo de monopólo (termo dominante para grande r): Potencial exato para uma carga pontual na origem. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

99 99 n =1 : termo de dipolo (termo dominante se a carga total é nula) A integral que aparece é o momento de dipolo p da distribuição de cargas. O momento de dipolo depende de fatores geométricos. Para uma distribuição de cargas pontuais, o momento de dipolo se escreve: Dipolo físico Dipolo puro: q   ao mesmo tempo que d  0: valor exato. Quando calculamos o potencial a partir de uma expansão em multipolos, a origem do sistema de referências é fundamental: Termo de monopólo: não muda com a mudança da origem, pois depende da carga total; Termo de dipolo: muda com a mudança da origem. Porém, se a carga total for nula é invariante. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

100 100 Campo elétrico de um dipolo Vamos supor um dipolo com momento de dipolo na origem e apontando na direção do eixo z. Nesse caso: Dipolo puroDipolo físico Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

101 101Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa

102  Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: ◦ Definir o que é a Energia Potencial Eletrostática; ◦ Calcular a Energia Potencial eletrostática para distribuições de partículas carregadas ◦ Calcular a Energia Potencial Eletrostática devido a corpos extensos carregados. Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa102

103 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa103 Questão: qual o trabalho para trazer uma carga do infinito até um ponto do espaço? x z y  trajetória r1r1 r2r2

104 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa104 Se as cargas geradoras do campo estiverem localizadas nas posições r j então o potencial sobre a i-ésima carga será dado por: A energia potencial total do sistema de n cargas será dada então por:

105 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa105 Se a distribuição de cargas for contínua, a soma é substituída por uma integral: Vamos resolver o problema agora olhando, alternativamente para o campo elétrico. Vamos reescrever a equação acima, usando a equação de Poisson, como:

106 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa106 Esta expressão não contém mais referência alguma às cargas !!! Densidade de energia (w) Esta é uma quantidade positiva !!! Integrando por partes essa expressão:

107 Eletromagnetismo I – Bacharelado em Física/UFMS - Prof. Paulo Rosa107 Para um sistema de condutores mantidos a potenciais V i e cargas q i, no vácuo, podemos escrever o potencial em função das cargas e de certas grandezas geométricas chamadas de coeficiente de capacidade. O potencial no enésimo condutor pode ser escrito como: Termos que contém a geometria do problema Podemos, ao menos formalmente, inverter a equação acima para obter as cargas nos condutores: Se i =j (C ii ) temos as capacitâncias dos condutores. Para i  j falamos em coeficientes de capacitância Interpretação: a capacitância de um condutor é a carga total no condutor quando o mesmo é mantido a um potencial unitário, com os potenciais de todos os outros condutores mantidos no zero. Para um sistema de condutores:

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