Campos elétricos na matéria

Apresentação em tema: "Campos elétricos na matéria"— Transcrição da apresentação:

1 Campos elétricos na matéria
Aula 9

2 Objetivos Ao fina desta aula, você deverá ser capaz de:
Calcular o campo elétrico no interior de dielétricos; Calcular o campo elétrico criado por corpos polarizados; Calcular a Energia Potencial em meios dielétricos. Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

3 Polarizabilidade atômica.
Campos Elétricos na Matéria Pergunta básica: o que acontece se temos um dielétrico na presença de um campo elétrico? Dielétrico Material que não possui cargas livres, apenas cargas ligadas. Na presença de campos elétricos temos a formação de dipolos elétricos pela separação dos centros de cargas positivas e negativas. E : campo externo aplicado; Ei : campo interno, que aparece devido à separação das cargas; p : momento de dipolo. E = 0 E - + Ei p Polarizabilidade atômica.

4 Campos Elétricos na matéria II
Moléculas: nesse caso a situação mais geral é dada por: A polarizabilidade é um tensor Moléculas polares : há um alinhamento dos momenta de dipolo. Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

5 Campos Elétricos na matéria III
Se o campo for constante, não há força líquida sobre a molécula, mas teremos um torque sobre ela. Logo: Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

6 Campos Elétricos na matéria IV
Esse é o torque experimentado por um dipolo puro, em relação à origem. Em relação a qualquer outro ponto o torque será dado por: Se a molécula for livre para girar ela o fará até se alinhar com o campo externo. Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

7 Polarização Definimos como Polarização, P, ao momento de dipolo por unidade de volume de um material polarizado  temos agora dois campos no interior do material: o campo externo, E, e o campo criado pela polarização do material (devido a P). Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

8 Campo criado pelo material polarizado
O campo do dipolo será dado por: Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

9 Campo criado pelo material polarizado II
Observando que: Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

10 Campo criado pelo material polarizado II
Após uma integração por partes: Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

11 Campo criado pelo material polarizado III
Podemos usar o teorema da divergência, para transformar a primeira integral: Equivalente ao potencial de uma densidade de carga volumétrica: b=- . P Equivalente ao potencial de uma densidade de carga superficial: b = P . n Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

12 Campo no interior do dielétrico: campo microscópico vs campo macroscópico
Campo microscópico: muito difícil de calcular! Campo macroscópico: campo médio. Muito mais simples! r R Cargas de polarização O campo na posição r é dado por: Campo médio devido às cargas externas à esfera. Campo médio devido às cargas internas à esfera. Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

13 Campo devido às cargas externas no interior da esfera
O campo externo médio sobre a esfera é o campo no centro da esfera devido aos dipolos externos. O potencial nesse caso será dado pelo momento de monopolo: A integração é sobre o volume externo à esfera (descontado o volume da esfera) Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

14 Campo devido a uma única carga no interior da esfera
Intermezzo I – Campo médio no interior de uma esfera devido a uma partícula com carga q q r' r Campo devido a uma única carga no interior da esfera Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

15 Intermezzo II – Campo médio no interior de uma esfera – Campo devido à esfera na posição da partícula com carga q Por outro lado, o campo na posição da partícula com carga q pode ser escrito como: Densidade de carga na esfera uniformemente carregada Carga total dentro da esfera q r' r Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

16 Intermezzo II – Campo médio no interior de uma esfera – Campo devido à esfera na posição da partícula com carga q Somando sobre todas as cargas, temos o momento de dipolo total dentro da esfera: Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

17 Intermezzo II – Campo médio no interior de uma esfera
Por outro lado, o módulo do campo na posição da partícula com carga q, pode ser obtido pela Lei de Gauss: R q r Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

18 Intermezzo I – Campo médio no interior de uma esfera
Como vimos, campo médio devido às cargas no interior de uma esfera, dentro da esfera, pode ser escrito como (Problema 3.41 do Griffiths): Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

19 Campo devido às cargas internas no interior da esfera
Para uma esfera suficientemente pequena, para a qual a polarização possa ser considerada constante em todo volume, esse é o campo de uma esfera uniformemente polarizada. : Portanto, podemos estender a integração inclusive sobre o volume da esfera, descontando esse campo: Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

20 Campo interno no interior do dielétrico
Para o cálculo do campo devido aos dipolos no interior da esfera vamos usar o resultado: Portanto, as contribuições P/30 se cancelam e temos que o potencial é dado simplesmente por: Integração sobre o volume do dielétrico Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

21 Vetor deslocamento elétrico
A carga total será a soma da carga de polarização com as cargas livres que porventura estejam presentes no dielétrico: Cargas livres Cargas de polarização Na Lei de Gauss, o que importa é a densidade de carga total que temos na posição onde o campo é calculado: Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

22 Vetor deslocamento elétrico II
Ou seja: Algumas observações importantes: Os vetores E e D não são equivalentes, pois a densidade de cargas livres não é a única fonte de D; Não existe uma lei de Coulomb para D; O rotacional de D não é nulo: Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

23 Condições de contorno Como antes, o vetor deslocamento elétrico obedece às condições de contorno que expressam descontinuidade de sua componente perpendicular e continuidade na componente paralela: Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

24 Dielétricos lineares Para muitas substâncias existe uma relação linear entre o campo aplicado e a resposta do dielétrico, a Polarização: Susceptibilidade elétrica (quantidade adimensional) Se essa relação for válida dizemos que o dielétrico é linear Campo total: cargas livres + cargas de polarização Se o meio for linear, então: Permissividade elétrica do material Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

25 Constante dielétrica Se normalizarmos a permissividade elétrica do material pela permissividade do vácuo temos a constante dielétrica do material (uma quantidade adimensional): Pode ser um tensor Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

26 Problemas de contorno – dielétricos lineares
Nesse tipo de dielétrico a densidade de cargas ligadas é proporcional à densidade de cargas livres: Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

27 Problemas de contorno – dielétricos lineares II
Se não há cargas livres no interior do material então a densidade de cargas ligadas no interior do material é nula e toda carga deve estar na superfície  vale a equação de Laplace e todas as ferramentas usadas para a sua solução no vácuo ou no interior de condutores em equilíbrio eletrostático. Nesse caso, é conveniente reescrever as condições de contorno na forma: Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

28 Energia em meios dielétricos
O trabalho necessário para “carregar” um dielétrico é dado por: Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

29 Energia em meios dielétricos II
Pelo teorema da divergência, a primeira integral pode ser transformada em uma integral de superfície que se anula se a superfície estiver no infinito. Logo: Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

30 Energia em meios dielétricos III
Usando o fato de que o meio é linear: Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

31 Forças sobre dielétricos
A variação de energia nos sistema quando o dielétrico sofre um deslocamento dx é dado por: Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

32 Forças sobre dielétricos II
Usando que a energia no capacitor é dada por: Prof. Paulo RosaINFI/UFMS

33 Fim da Aula 9 Prof. Paulo RosaINFI/UFMS